第一节平面向量的概念及其线性运算

第一节平面向量的概念及其线性运算

平面向量有关概念的理解 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.

解①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．解①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则分析在正确理解有关概念的基础上，注意特殊情况是解决问题的关键．因此，

③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．若b＝0，则a与c不平行．综上所述，正确命题的序号是②③.

规律总结　上述五例都是考查向量的基本概念和简单性质．向量的基本概念和性质是研究和应用向量解决问题的基础，所以要理解并熟悉它们．由于向量的相关概念和性质较多，所以复习时，要注意构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想，以便于记忆和理解．规律总结　上述五例都是考查向量的基本概念和简单性质．向量的基本概念和性质是研究和应用向量解决问题的基础，所以要理解并熟悉它们．由于向量的相关概念和性质较多，所以复习时，要注意构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想，以便于记忆和理解．

变式训练1下列各命题中，正确的有． ①零向量没有方向． ②向量就是有向线段． ③单位向量都相等． ④两相等向量若共起点，则终点也相同． ⑤若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点．

【解析】①不正确，零向量方向任意． ②不正确，有向线段是向量的一种表示形式． ③不正确，单位向量的模为1，方向不定． ④正确． ⑤不正确，A、B、C三点还可以共线．【答案】　④

平面向量的线性运算 (精选考题·苏州调研)已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：

分析　依据平面向量的加减法则，可以有多种证法．分析　依据平面向量的加减法则，可以有多种证法．方法一，用两种途径表示向量，再求和得向量的表达式．方法二，作两条辅助线，用辅助线确定的向量进行代换．

证明方法一：如图所示， ∵E、F分别是AD、BC的中点， ② 同理 ① 由①＋②得，

方法二： 如图所示，连接则

规律总结　在证明向量关系式时，首先根据向量加减法的平行四边形法则和三角形法则，找到相关向量的一些关系式，再以欲证式子为目标进行代换或变形．要注意充分利用所给平面图形中的几何性质设置向量，并表述相应的运算．

变式训练2如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若 ，试用a，b将向量表示出来．

【解析】　因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成▱ABCO，所以【解析】　因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成▱ABCO，所以，所以，所以 .由于A，B，O，F四点也构成▱ABOF，所以同理，在▱BCDO中， = b＋(a＋b)＝a＋2b，

平面向量的共线问题 (1)求证：起点相同的三个非零向量a，b,3a－2b的终点在同一条直线上． (2)设非零向量a、b不共线，c＝ka＋b，d＝a＋kb(k∈R)，若c∥d，试求k. 分析　(1)设出共同起点和三个向量的终点，证明由两终点决定的向量共线．(2)利用c∥d和平行向量定理，找到非零向量a、b的线性关系，由不共线得方程组，求k.

(1)证明：设起点为O，O＝a，O＝b，O＝3a－2b，则，(1)证明：设起点为O，O＝a，O＝b，O＝3a－2b，则，公共点A，∴A，B，C三点共线，即向量a，b,3a－2b的终点在同一直线上． (2)∵c∥d，∴由向量共线的充要条件得：c＝λd(λ∈R)，即ka＋b＝λ(a＋kb)，∴(k－λ)a＋(1－λk)b＝0. 又∵a、b不共线， ∴由平面向量的基本定理得⇒k＝±1. 共线且有

规律总结(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：①证明向量平行；②说明两个向量有公共点．规律总结(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：①证明向量平行；②说明两个向量有公共点． (2)由向量平行，求相关系数的一般方法是：先由平行向量定理找到两不共线向量的线性关系，从而得实数方程，通过解方程求得未知数．

变式训练3设e1，e2是不共线的向量，已知向量 ，若A，B，D三点共线，求k的值．

【解析】　∵A、B、D三点共线，设 又∵ ，∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，得λ＝2，k＝－4λ，∴k＝－8.

平面向量性质的应用 (12分)已知点G为△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且的值．

分析根据重心的性质，同时用向量 表示 .由共线，得的线性关系，从中得到x，y的关系，最后求的值．

解　根据题意G为三角形的重心， ，，2分 4分由于M与G共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得，即 7分

即 9分因此，即x＋y－3xy＝0，11分两边同除以xy整理得 . 12分

规律总结通过向量的线性关系，求未知数的值，首先要充分利用平面几何图形的性质，找到向量的线性关系，这个关系，往往通过向量共线或平行得到；再利用共线向量定理得未知数的关系，从而求值．规律总结通过向量的线性关系，求未知数的值，首先要充分利用平面几何图形的性质，找到向量的线性关系，这个关系，往往通过向量共线或平行得到；再利用共线向量定理得未知数的关系，从而求值．

变式训练4已知a、b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b/2，t(a＋b)三向量的终点在一条直线上，求实数t的值．变式训练4已知a、b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b/2，t(a＋b)三向量的终点在一条直线上，求实数t的值．

【解析】 　如图所示， ∵a，b，t(a＋b)三向量的终点在一条直线上， ∴存在实数λ使，得又∵a、b不共线，∴ 解得t＝1/3.

1．关于向量的基本概念和性质 (1)相等向量与平行向量的区别：向量平行是向量相等的必要条件． (2)向量平行(共线)与直线平行(共线)有区别：直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线(重合)的情况． (3)对于两个向量平行的充要条件：a∥b⇔a＝λb，只有b≠0才是正确的．而当b＝0时，a∥b是a＝λb的必要不充分条件．

2．向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”2．向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线表示的向量，而差向量是另一条对角线表示的向量，方向从减向量指向被减向量． (2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．

(3)当两个向量的起点重合时，用平行四边形法则；当两个向量首尾相接时，用三角形法则．(3)当两个向量的起点重合时，用平行四边形法则；当两个向量首尾相接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：但这时必须“首尾相连”． 3．关于向量的模 (1)当a，b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|； (2)当a，b方向相反时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)； (3)当a，b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.

下列命题正确的是() A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C．向量是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

错解一　因为向量a与b共线，所以a＝λ1b，又因为向量b与c共线，所以b＝λ2c，则a＝λ1λ2c，向量a与c共线，故选A.错解一　因为向量a与b共线，所以a＝λ1b，又因为向量b与c共线，所以b＝λ2c，则a＝λ1λ2c，向量a与c共线，故选A. 错解二　因为向量a与b不共线，向量b与c不共线，根据传递性，向量a与c不共线，故选B. 错解三　因为向量A与C是共线向量，所以A、B、C、D四点共线，所以应选C.

错解分析　错解一的错因是对零向量的特殊性认识不到位，忽视了零向量与任意向量共线；错解二的错因是非零向量共线传递的负迁移；错解三的错因是把向量共线等同于点共线，解此类题需紧扣定义、条件进行排除，关键是理解和牢固掌握共线向量、相等向量的概念．错解分析　错解一的错因是对零向量的特殊性认识不到位，忽视了零向量与任意向量共线；错解二的错因是非零向量共线传递的负迁移；错解三的错因是把向量共线等同于点共线，解此类题需紧扣定义、条件进行排除，关键是理解和牢固掌握共线向量、相等向量的概念．

正解　选项A中用了非零向量共线的传递性，而条件中没有非零向量的条件，若b＝0时，结论显然不成立；选项B中向量的不共线是无传递性的，故结论不成立；选项C中向量共线，直线AB与CD可能平行，故推不出A、B、C、D共线，结论不成立；因此正确选项是D.

第一节 平面向量的概念及其线性运算