Baát ñaúng thöùc daïng ñoàng baäc

1. Baát ñaúng thöùc daïng ñoàng baäc 10 TOAÙN Nhoùm thöïc hieän: • Nguyeãn Ñình Thu • Traàn Anh Kieät • Leâ Maïnh Thoâng • Ñoã Quang Bình • Leâ Trung Hieáu • Nguyeãn Minh Taâm Giaùo vieân höôùng daãn: Ñoã Kim Sôn

2. Muïc luïc • Khaùi nieäm baát ñaúng thöùc daïng ñoàng baäc • Ñoàng baäc hoùa baát ñaúng thöùc • Chuaån hoùa baát ñaúng thöùc • Lôùp haøm ñoái xöùng sô caáp ba bieán

3. Hàm số của các biến số thực được gọi là hàm chuẩn nhất bậc nếu với mọi số thực ta có và với Số tự nhiên được gọi là bất đẳng thức thuần nhất bậc Khaùi nieäm baát ñaúng thöùc thuaàn nhaát baäc

4. Cho các số thực không âm thỏa mãn Chứng minh dãy bất đẳng thức Ñoàng baäc hoùa baát ñaúng thöùc Với những bất đẳng thức có điều kiện ta có thể chuyển về dạng bất đẳng thức đồng bậc. Điều kiện này thường là một hệ thức liên hệ giữa các biến số Ví duï 1: . Nhaän xeùt: Mỗi vế bất đẳng thức hơn kém nhau một bậc; mà ta cũng thấy rằng biểu thức ở điều kiện cho trước có dạng bậc nhất. Sử dụng giả thuyết này ta làm cân bằng bậc của các bất đẳng thức.

5. Cân bằng bậc Cân bằng bậc Giaûi Đầu tiên ta chứng minh Hơn kém nhau 2 bậc ( luôn đúng) Hơn kém nhau 1 bậc ( luôn đúng) CMTT với BĐT cuối cùng

6. Ví duï 2: Cho các số thực thỏa mãn Chứng minh bất đẳng thức Nhaän xeùt: Với những bài toán có mũ phân số thì ta nên loại bỏ mũ hữu tỉ để bài toán trở nên đơn giản Giaûi Hơn kém nhau 2 bậc Đặt BĐT cần chứng minh ( luôn đúng)

7. Xét bất đẳng thức dạng trong đó và là 2 đa thức đồng bậc. Do tính chất của hàm thuần nhất ta có thể chuyển đẳng thức Thỏa mãn điều kiện Chuẩn hóa một cách thích hợp, ta có thể làm đơn giản các biểu thức của bất đẳng thức cần chứng minh, tận dụng được một số tính chất đặc biệt của hằng số. Chuaån hoùa baát ñaúng thöùc

8. Ví duï 1: Chứng minh nếu thì Tạo điều kiện có hằng số Đồng bậc

9. Giaûi Đặt 3 phân thức đều có cùng dạng Dùng t để làm ẩn đại diện

10. Nhaän xeùt: Tìm

11. là một nghiệm của (3) Tạo VT có để dễ xét dấu

12. trong biểu thức Cho ( luôn đúng) Vậy ta có Lần lượt thay rồi cộng lại được đpcm

13. Toång quaùt: Ta có thể CM nhiều BĐT bằng cách đặt Phần này biến BĐT đồng bậc thành không đồng bậc bằng cách lựa chọn những điều kiện thích hợp, có lợi cho biến đổi, tính toán

14. Lôùp haøm ñoái xöùng sô caáp ba bieán Tất cả các BĐT đối xứng ba biến số đều có thể quy về hàm đối xứng Điểm mạnh của phương pháp này là xử lý được những BĐT đối xứng ba biến, chặc và khó vì ta không thực hiện được nhiều phép ước lược trung gian thô và điều đó cũng có nghĩa là ta phải làm việc với nhiều bước tính toán nhất là với bài toán dạng phân thức hoặc bậc cao.

15. Nếu là các số thực dương và t là số thực thì Nếu là nghiệm của phương trình thì Kieán thöùc cô baûn:

16. CMR nếu thì Ví duï 1: Lớp hàm sơ cấp 3 biến đối xứng

17. Giaûi Đặt Biến đổi tương đương ta được ( đúng)

18. Ví duï 2: Xét ba số không âm thỏa Lớp hàm đối xứng sơ cấp ba biến Giaûi Đặt Tìm mối quan hệ giữa p và r:

19. vì

20. Theo bất đẳng thức Schur Mà theo giả thuyết Mà Để chứng minh bất đẳng thức trên thì chỉ cần chứng minh đúng vì