Boolesche Zufallsfunktionen

1. Boolesche Zufallsfunktionen Florian Voß Seminar „Simulation und Bildanalyse in Java II“ Universität Ulm, Abteilungen SAI & Stochastik 10.11.2003

2. Inhalt : • Motivation • Boolesche Zufallsmengen • Boolesche Zufallsfunktionen • Spezialfälle • Boolean Islands • Rocky Deeps • Literatur

3. 1. Motivation Modellierung und Simulation von Materialstrukturen durch Boolesche Zufallsmengen AAC-Schaum Aluminium-Schaum

4. 1. Motivation Modellierung und Simulation von Oberflächen durch Boolesche Zufallsfunktionen Bruchoberfläche von Glasfaser Bild von Elektronenmikroskop (Bsp. Boolean Islands) UO2-Pulver (Bsp. Rocky Deeps)

5. 2. Zufällige Mengen Boolesche Zufallsmengen: Seien • {xi,iI} ein Poisson-Punktprozess von Keimen in Rd • Ai unabhängige Kopien eines zufälligen Primärkorns A0, d.h. unabhängige identischverteilte zufällige Mengen in Rd • Dann ist A=iI(xi + Ai) eine Boolesche Zufallsmenge (Boolesches Modell).

6. 2. Zufällige Mengen Eine Realisierung eines Poisson-Prozesses von Keimen in R2 Eine Realisierung einer Booleschen Zufallsmenge in R2

7. 2. Zufällige Mengen Eine Realisierung einer Booleschen Zufallsmenge in R3. Das Komplement kann z. B. einen Schaum modellieren.

8. 3. Boolesche Zufallsfunktionen Erweiterung der Booleschen Zufallsmenge um eine Dimension

9. 3. Boolesche Zufallsfunktionen Eine Realisierung von Boolean Islands Eine Realisierung von Rocky Deeps

10. 3. Boolesche Zufallsfunktionen Definition : Seien • µn das Lebesgue-Maß auf Rn •  ein -endliches Maß auf R • I ein Poisson-Punktprozess in RnR mit Intensitätsmaß µn(dy)(dt), y Rn, t R. Somit ist die Intensität des Poisson-Prozesses „konstant“ in horizontalen t-Schnitten, daraus folgt horizontale Stationarität.

11. 3. Boolesche Zufallsfunktionen • Sei {*(x, t) | *( . , t): Rn R} eine Familie von unabhängigen oben halbstetigen Zufallsfunktionen mit Parameter t, sodass Xu:={x : *(x, t)  u}, -<u<+, f.s. kompakt sind.

12. 3. Boolesche Zufallsfunktionen • Die Boolesche Zufallsfunktion mit dem primären Korn *( . ,t) und Intensität (dt) ist dann wie folgt definiert : (x):=sup{*(y,t)(x,t) | (y,t) I} • Dabei werden • Die Bezeichnung *(x,t) für Umbra und Funktion verwendet. • *(y,t)(x,t) verstanden als Umbra von *(x,t) verschoben um (y,t) • *(x, t) primäres Korn (zentriert im Ursprung) genannt.

13. 3. Boolesche Zufallsfunktionen Kapazitäts-Funktional : • Sei BRn R eine kompakte Menge. • Die Wahrscheinlichkeiten Q(B):=P(Bc), dass B die Umbra von  nicht schneidet, charakterisieren die Boolesche Funktion .

14. 3. Boolesche Zufallsfunktionen • Für die Formel von Q(B) wird die Bildoperation Dilatation benötigt: AB:={a + b | a  A, b  B} Dilatation B der Umbra einer Funktion  mit dem Kreis B

15. 3. Boolesche Zufallsfunktionen • Dann gilt: • Dabei bezeichnet t die horizontale n-dimensionale Hyperebene in Höhe t. • -B={(-x,-t) RnR | (x,t) B}

16. 3. Boolesche Zufallsfunktionen Boolesche Funktionen für den Fall =t1+t2 mit verschiedenen Primärkörnern für t = t1 und t = t2

17. 3. Boolesche Zufallsfunktionen Eindimensionale Verteilung : • Sei B={(0,t)} und qt:=Q({(0,t)}) • qt wird die PorositätdesSchnittes von  in Höhe t genannt. • Dann gilt:

18. 3. Boolesche Zufallsfunktionen • Hieraus folgt außerdem: • Der Erwartungswert hängt nicht von x ab, da  stationär ist.

19. 3. Boolesche Zufallsfunktionen Zweidimensionale Verteilung : • Sei nun B={(0,t),(h,u)} • Dann ist P((0) < t, (h) < u)=Q(B)=Q(h,t,u)=

20. 3. Boolesche Zufallsfunktionen • Die Kovarianz C(h)=E[(0) (h)] – m² kann bestimmt werden durch :

21. 3. Boolesche Zufallsfunktionen • Das Variogramm 1. Ordnung 1(h)=½E|(0) - (h)| kann bestimmt werden durch : • Denn |(0)-(h)|= (0)+(h)-2inf{(0),(h)}.

22. 3. Boolesche Zufallsfunktionen • Das Variogramm 2. Ordnung 2(h)=½E[((0) - (h))2] kann bestimmt werden durch : 2(h) =C(0) - C(h)

23. 3. Boolesche Zufallsfunktionen Teilbarkeit unter Vereinigung • Sei {j}={*j, j(dt)} eine Familie von Booleschen Zufallsfunktionen nummeriert mit jJ, sodass Dann ist =sup{j, j  J} eine Boolesche Zufallsfunktion.

24. 3. Boolesche Zufallsfunktionen • Sei  eine Boolesche Zufallsfunktion in RnR. Dann ist H eine Boolesche Zufallsfunktion für alle Hyperebenen HRn parallel zur t-Achse und eine Boolesche Zufallsmenge für H orthogonal zur t-Achse.

25. 3. Boolesche Zufallsfunktionen • Jede Boolesche Zufallsfunktion  : Rn R ist unendlich teilbar unter dem sup, d.h. für jedes kN kann  geschrieben werden als : =sup{i,i{1,..,k}} wobei i k unabhängige identischverteilte Boolesche Zufallsfunktionen sind.

26. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Definition: • Spezialfall, bei dem (dt) ein Diracmaß im Ursprung ist, d.h. (dt)= 0(dt). • Der Keim-Prozess I ist dann ein n-dimensionaler stationärer Poisson-Punktprozess in 0 mit Intensität . • O.B.d.A. setzen wir *(x)0 f.s.

27. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Simulation von Boolean Islands mit Kegeln als Primärkörner (Sicht von oben) Realisierung von Boolean Islands

28. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Metallische Oberfläche modelliert durch Boolean Islands (mit Sicht von oben)

29. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Kapazitäts-Funktional : • Sei B eine kompakte Menge. Dann gilt: • Falls B um den vertikalen Vektor (0,t) verschoben wird, d.h. Bt=B + (0,t), dann gilt :

30. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Berechnung verschiedener Kenngrößen • Um Eigenschaften wie z.B. den Erwartungswert des Volumens des primären Korns * zu berechnen, benötigt man folgende Formel :

31. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Volumen vom Untergraph von * und seinem Träger: • B={0} • Sei nun B das vertikale Segment der Länge  dessen höchster Punkt der Ursprung ist.

32. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Anzahl von Maximumstellen: • Falls * f.s. nur eine Maximumstelle hat, dann gilt für die spezifische Anzahl von Maximumstellen z, d.h. die durchschnittliche Anzahl von Maximumstellen pro Einheitsvolumen im Rn : • Dabei ist G(t) die Verteilungsfunktion der maximalen Höhe des primären Korns *

33. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Konvexität für Boolean Islands: • Um Parameter  schätzen zu können, benötigt man Annahmen über die Konvexität des Primärkorns. • Außerdem kann dann die Oberfläche des Primärkorns berechnet werden.

34. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Steiner-Formel: • in R3 für die Einheitskugel B: • in R2 für die Einheitskreisscheibe B:

35. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Oberfläche von *: • Sei der Rand der Umbra glatt genug, um ein Oberflächenmaß s(*) einführen zu können, im Halbraum RnR+. • Sei B die Einheitskugel mit dem Mittelpunkt im Ursprung und sei * konvex , dann gilt:

36. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Annahme über die Konvexität des Trägers von * • Betrifft die Berechnung von . Falls  Boolean Islands ist, dann erfüllt Q(B) für die Einheitskugel B0 mit Zentrum in 0 die Gleichung: • Für A=Supp(*) ergibt dies im R2 bzw.R3 ein Polynom vom Grad 2 bzw. 3 in  (Steiner-Formel)

37. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands • Zum Beispiel über Methode der kleinsten Quadrate können die Koeffizienten bestimmt werden und so getestet werden, ob 0 Boolesche Zufallsmenge ist. • Außerdem kann aus dem Wert des Koeffizienten höchsten Grades  geschätzt werden.

38. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Annahme über die Konvexität der Schnitte: • Durch das gleiche Vorgehen wie für den Träger kann getestet werden, ob alle horizontalen Schnitte t Boolesche Zufallsmengen sind. • So erhält man eine starke Vermutung, dass  Boolesche Zufallsfunktion ist.

39. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands • Falls der Schnitt in Höhe t eine Boolesche Zufallsmenge ist mit Intensität t, dann gilt : wobei G(t) die Verteilungsfunktion der maximalen Höhe von * ist. • Hieraus kann G(t) geschätzt werden aus experimentellen Werten von t und .

40. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Supremum von Boolean Islands : • Sei {j,jJ} eine endliche Familie von Boolean Islands mit Keimen in Höhe tj. Dann ist :=supjJ{j} eine Boolean-Islands-Funktion mit Keimen in Höhe tmin=minjJ{tj}.

41. 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands Supremum von 2 Boolean Islands mit Keimen in Höhe t1 bzw. t2

42. 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps Definition: • (dt) = 0, falls t > 0 (dt) = |dt|, falls t 0 • * unabhängig von t, d.h. *(x, t) = *(x) für t 0.

43. 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps Eine Realisierung von Rocky Deeps

44. 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps Simulation von Rocky Deeps (hier das Komplement)

45. 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps Kapazitäts-Funktional: • Sei Bh eine kompakte Menge verschoben um den Vektor (0,h). Dann gilt :

46. 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps • Die Ableitung von logQ(Bh) nach h ist : • Hieraus kann man die Boolesche Struktur testen und  schätzen bei konvexem Primärkorn (Steiner-Formel).

47. 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps Supremum von Rocky-Deeps-Funktionen: • Sei {j,jJ} eine Familie von Rocky Deeps Funktionen mit Top-Level tj[tmin,tmax], wobei [tmin,tmax] ein endliches Intervall ist. • Dann ist :=supjJ{j} eine Rocky Deeps Funktion.

48. 5. Literatur • J. Serra „Image Analysis and Mathematical Morphology “, Vol. 1 , 1982, Academic Press • J. Serra „Image Analysis and Mathematical Morphology “, Vol. 2 , 1988, Academic Press (Kapitel 15) • J. Serra „Boolean Random Functions“, Journal of Microscopy, Vol. 156, Pt 1, 1989, S. 41-63 • J.M. Chautru „The Use of Boolean Random Functions in Geostatistics“, in M. Armstrong (ed.), Geostatistics, Vol. 1, 1989, Kluwer, S. 201-212 • C. Lantuejoul „Geostatistical Simulation : Models and Algorithms“, 2002, Springer, S. 171-175