1 / 15

全微分

全微分. 教学目的： 全微分的有关概念和意义 教学重点： 全微分的计算和应用 教学难点： 全微分应用于近似计算. 全微分. 全微分. 类似地可以建立多元函数微分的概念. 二元函数全微分. 定义 d z = fx ( x , y )d x + fy ( x , y )d y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的全微分。. 例题. 例 1 设矩形的长和宽分别用 x 、 y 表示，则此矩形的面积为 z = xy. Δz = (x +Δx)(y +Δy) － xy. = yΔx+ xΔy+ΔxΔy. 所以 z=xy 可微.

ira-levy
Download Presentation

全微分

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 全微分 教学目的：全微分的有关概念和意义 教学重点：全微分的计算和应用 教学难点：全微分应用于近似计算

  2. 全微分

  3. 全微分 类似地可以建立多元函数微分的概念.

  4. 二元函数全微分 定义dz = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy为z = f (x, y)在点(x, y)的全微分。

  5. 例题 • 例1设矩形的长和宽分别用x、y表示，则此矩形的面积为z = xy. • Δz = (x +Δx)(y +Δy)－xy = yΔx+ xΔy+ΔxΔy 所以z=xy可微

  6. 全微分存在定理 • 定理2若函数z = f (x, y)在点(x, y)的两个偏导数都连续，则它在点(x, y)必可微. • 例2求z = x2 + y2+xy 在点(-1, 1)处的全微分.

  7. 例题 • 若函数z = f(x, y)在区域D上处处可微， • 则称f(x, y)为区域D上的可微函数. 例3 解 由此得

  8. 全微分的推广 • 二元函数全微分的概念与性质，可类似地推广到更多元的函数. 例如，若三元函数u = f (x, y, z)的各个偏导数都连续，则u的全微分 du = fx(x, y, z)dx + fy(x, y, z)dy + fz(x, y, z)dz

  9. 例题 • 例4 求函数u = x + sin2y + eyz的全微分du. 解 因为 所以

  10. 全微分的应用 • 如果函数z = f (x, y)在点(x, y)可微，由全微分的定义知Δz与dz之差是的高阶无穷小, • 所以当|Δx|、|Δy|都很小时， Δz ≈ dz = fx(x, y)Δx + fy(x, y)Δy • 即

  11. 例题 解 由公式得

  12. 例题 设黄铜的比重为 圆柱体的体积为 解

  13. 全微分的性质 • 定理1 若函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微，则它在点(x, y)必连续. 结论3 多元函数在点(x,y)各偏导数存在 , 不一定在点（x,y)可微 一元函数在某点的导数存在 微分存在．

  14. 例题 例7 证明 在点（0,0）各偏导数存在，不可微。 解 上式的极限不存在，所以f(x,y)，在点（0,0）不可微。

  15. 例题 函数连续 函数可导 函数可微 偏导数连续 多元函数连续、可导、可微的关系

More Related