§4-2 无阻尼自由振动 谐振子

1. 第四章 振动学基础 §4-1 简谐振动 §4-2 无阻尼自由振动 谐振子 §4-3 阻尼振动 受迫振动 共振 §4-4 同方向的简谐振动的合成 §4-5 相互垂直的简谐振动的合成

2. §4-1 简谐振动 简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。 1.简谐振动的特征及其表达式

3. 简谐振动的特征及其表达式 令 运动学特征 回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合 外力, 该力与位移成正比且反向。 简谐振动的动力学特征: 据牛顿第二定律，得

4. 简谐振动的特征及其表达式 位移 之解可写为： 或 简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正 比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。 速度 加速度

5. 简谐振动的特征及其表达式 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:

6. 简谐振动的特征及其表达式 常量 和 的确定 根据初始条件：时， , ，得 在 到 之间，通常 存在两个值，可根据 进行取舍。

7. 由初始条件确定 2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位 (1)振幅:物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 (2)周期和频率 周期：物体作一次完全运动所经历的时间。 频率：单位时间内物体所作完全运动的次数。

8. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 角频率:物体在 秒内所作的完全运动的次数。 利用上述关系式，得谐振动表达式：

9. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 相位 ：决定简谐运动状态的物理量。 初相位 ：t=0 时的相位。 (3)相位和初相 相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为： 二者的相位差为：

10. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 (a)当 时,称两个振动为同相； (b)当 时,称两个振动为反相； (c)当 时,称第二个振动超前第一个振动 ； (d)当 时,称第二个振动落后第一个振动 。 讨论: 相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:

11. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相位比位移的相位超前 。

12. 旋转矢量:一长度等于振幅A 的矢量 在纸平面内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。 3. 简谐振动的矢量图示法 采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。

13. 简谐振动的矢量图示法

14. 简谐振动的矢量图示法 M ω 的长度 P 旋转的角速度 O X x 振动圆频率 旋转的方向 与参考方向x 的夹角 振幅A 逆时针方向 振动相位 M点在x轴上投影(P点)的运动规律：

15. 简谐振动的矢量图示法 沿X 轴的投影为简谐运动的速度、加速度表达式。 速度、加速度的旋转矢量表示法： M点:

16. 简谐振动的矢量图示法 两个同频率的简谐运动： 相位之差为 采用旋转矢量直观表示为：

17. 简谐振动的矢量图示法 其中A=0.12m, T=2s, 据初始条件 得 例15-1 一物体沿X 轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向 X 轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x =-0.06m向X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。 解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为： 初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得

18. 简谐振动的矢量图示法 (2) 由(1)求得的简谐振动表达式得: 在t =T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得

19. 简谐振动的矢量图示法 因该时刻速度为负，应舍去 ， 设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是 (3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间： 另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为：

20. §4-2 无阻尼自由振动 谐振子 1.无阻尼自由振动 谐振子 谐振子 作简谐振动的物体，通常称为谐振子。这个物体，连同对它施加回复力的物体一起组成的振动系统，通常称为谐振系统 当振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下作振动时，称为无阻尼自由振动。 当回复力与位移成正比而反向时，所作的无阻尼自由振动才是简谐振动，这时，振动周期和频率完全决定于振动系统本身的各个参量，称为固有周期和固有频率

21. 几种常见的简谐振动 2. 几种常见的简谐振动 连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和 一个不发生形变的物体系统。 （1）弹簧振子：

22. 几种常见的简谐振动 对于弹簧振子，因有 ，得: 令

23. 几种常见的简谐振动 很小时(小于 )，可取 有 令 , （2）.单摆和复摆 a. 单摆 重物所受合外力矩： 据转动定律，得到

24. 几种常见的简谐振动 转角 的表达式可写为： 角振幅 和初相 由初始条件求得。 单摆周期 与角振幅 的关系为 为 很小时单摆的周期。 根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到所要求的任何精度。

25. 几种常见的简谐振动 若 角度较小时 (b) 复摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。 刚体的质心为C, 对过O点的转轴的转动惯量为J, O、C两点间距离的距离为h。 据转动定律，得 令

26. 几种常见的简谐振动 例4-2 一质量为m的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。 解: 船静止时浮力与重力平衡， 船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。

27. 几种常见的简谐振动 船的位移为y 时船所受合力为： 船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为: 因 得:

28. 3. 简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。 动能 势能 系统总的机械能：

29. 简谐振动的能量 考虑到 ，系统总能量为 ，表明简谐振动的机械能守恒。 能量平均值 上述结果对任一谐振系统均成立。

30. 简谐振动的能量 谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:

31. 简谐振动的能量 • 例4-3 一匀质细杆AB的两端, 用长度都为l且不计质量的细绳悬挂起来, 当棒以微小角度绕中心轴 扭动时，求证其运动周期为： 。 解：设棒长为2R, 质量为m，在棒扭动时, 其质心沿 上下运动。因扭动角度 很小，可近似认为细棒在水平面内转动。扭动角度为 时, 细棒在水平面内转动角度为q，则有

32. 简谐振动的能量 hc 是棒的质心相对棒平衡时质心位置的高度, 有 系统机械能守恒 常量 将上式两端对时间求导，并利用关系 得证。

33. 简谐振动的能量 解：平衡时O点为坐标原点。物体运动到x 处时，弹簧固定端位移为零，位于M一端位移为x。当物体 于x 处时,弹簧元 ds 的质量 , 位移为 速度为 弹簧、物体的动能分别为： 例4-4 劲度系数为k、原长为l、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。

34. 简谐振动的能量 系统弹性势能为 系统机械能守恒，有 常数 常数 将上式对时间求导，整理后可得 因此，弹簧质量小于物体质量，且系统作微运动时，弹簧振子的运动可视为是简谐运动。 解毕。

35. §4-3 阻尼振动 受迫振动 共振 ：阻力系数 1.阻尼振动 在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。 阻尼：消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼 对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为

36. 阻尼振动 阻力 弹性恢复力 在小阻尼条件下 ，微分方程的解为: 在阻力作用下的弹簧振子 受力： 运动方程: 引入阻尼因子 固有频率 其中

37. 阻尼振动 其中 和 为积分常数,由初始条件决定。上式中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动； 反映了阻尼对振幅的影响。 阻尼振动的准周期性 减幅振动

38. 阻尼振动 振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。 阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。 位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的周期，有 显而易见，由于阻尼，振动变慢了。 阻尼振动的振幅为：

39. 阻尼振动 过阻尼 欠阻尼 临界阻尼 过阻尼 临界阻尼 阻尼振动的三种情形： 通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。 欠阻尼

40. 阻尼振动 过阻尼 欠阻尼 临界阻尼 过阻尼 临界阻尼 阻尼振动的三种情形： 通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。 欠阻尼

41. 受迫振动 共振 2.受迫振动 物体在周期性外力的持续作用下发生的振动 称为受迫振动。 物体所受驱动力： 运动方程： 设

42. 受 迫 振 动 对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为: 衰减项 稳态项 经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。

43. 受 迫 振 动 稳态时振动物体速度： 在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。

44. 阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大 共振 3.共振 对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳定态振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。 根据

45. 共 振 阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大 共振 受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。 根据 在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。

46. §4-4 同方向的简谐振动的合成 1.同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向(x轴)的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为： 合位移： 合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。

47. 同方向同频率的两个简谐振动的合成 旋转矢量图示法 矢量沿X轴之投影表征了合运动的规律。

48. 同方向同频率的两个简谐振动的合成 (3)通常情况下，合振幅介于 和 之间。 讨论： (1)当Df=f20-f10=2kp(k=0及正负整数)，cos(f20-f10)=1, 有 同相迭加，合振幅最大。 (2)当Df=f20-f10=(2k+1)p (k=0及正负整数), cos(f20-f10)=0, 有 反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。

49. 同方向同频率的两个简谐振动的合成 例4-4N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为0, a, 2a, ..., 依次差一个恒量a，振动表达式可写成 求它们的合振动的振幅和初相。 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：

50. 同方向同频率的两个简谐振动的合成 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为a，上图中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得