2007 年东北地区数学教师培训班 （信息与计算科学系列） 计算机图形学 的数学基础

1. 2007年东北地区数学教师培训班（信息与计算科学系列）计算机图形学的数学基础2007年东北地区数学教师培训班（信息与计算科学系列）计算机图形学的数学基础 吉林大学数学学院 2007年7月30日至7月31日

2. 主要内容 • 第一部分:名词,史话,曲线曲面的参数表示 • 第二部分:超限插值法 • 第三部分:B网方法 • 第四部分:B样条方法 • 第五部分:有理形式的引进 • 第六部分:从连续到离散

3. 教材 • 周蕴时、苏志勋等， 《CAGD中的曲线和曲面》， 吉林大学出版社， 1993年。

4. 参考书 • 施法中， 《计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条》，高等教育出版社，2001年 • 王国瑾等， 《计算机辅助几何设计》 ，高等教育出版社，2001年

5. 大致内容 • 概述（CG，CAD/CAM与几何造型；CAGD及发展历史；曲线、曲面的参数表示） • 插值方法（代数插值与超限插值；Coons曲面片的构造；再生性与精度集） • B-网方法（引言；Bezier曲线；几何连续性；乘积型曲面） • B-样条方法（从样条到B-样条；B-样条曲线；B-样条曲面）

6. 大致内容（续） • NURBS方法（NURBS的提出；NURBS的三种定义；权因子的几何意义与应用） • 离散细分方法 • 网格、点云及数字几何处理

7. 第一部分:名词,史话,曲线曲面的参数表示 • 计算机图形学 • 相关名词解释 • 史话 • 参数表示 • 参数化

8. 计算机发展历程的历次热潮 • 王文成 研究员（中国科学院软件研究所）： • 操作系统 • 数据库 • 网络　 • 下一个热潮：是包括图形图象在内的加强信息利用和沟通的方向。

9. 计算机图形学(CG) • 计算机图形学 Computer Graphics :是研究怎样利用计算机生成、处理、显示图形的一门新兴学科。 • 该学科的创始人为图灵奖得主、美国人萨瑟兰。 • 相关的三个分支为：图形生成、图像处理和模式识别

10. 计算机图形学史话 • 1950年，世界上第一台图形显示器在美国麻省理工学院(MIT)诞生 • 1962年，CG这个术语被MIT林肯实验室萨瑟兰在其博士论文《Sketchpad:一个人机通信的图形系统》中被使用，从而确立了CG作为一个独立学科的地位 • 萨瑟兰，I.E.Sutherland(1938-)，美国人，计算机图形学之父，1983年Coons奖，1988年Turing奖

11. CAD • CAD：Computer Aided Design 计算机辅助设计 • 根本任务: 为产品的开发、生产建立一个全局信息模型 • 功能判定：曲线曲面的精确描述及灵活操作能力

12. CAD/CAM/CIMS • 名词解释： CIMS 计算机集成制造系统 CAD 计算机辅助设计 CAM 计算机辅助制造

13. CAD/CAM技术的历史地位 1989年时CAD/CAM技术被美国评为近25年来当代十项最杰出的工程技术成就（列第4）。它从根本上改变了过去手工绘图、发图、按图纸组织整个生产过程的技术管理方式，将其变为在图形工作站上用数字化的方式进行设计和生产技术管理，从而推动了一切领域的设计革命，成为衡量一个国家科技/工业现代化的重要标志。

14. CAGD • 计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD): Barnhill, Riesenfeld于1974年在美国Utah大学举行的国际会议上提出 • "几何"：强调CAD的更多数学内涵 • 定义１：包括曲线、曲面和实体的表示及其在实时显示条件下的设计，主要围绕图形的实时性和真实感进行。 • 定义２：主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面信息的表示、逼近、分析和综合。

15. CAGD的由来 • 工业背景：飞机、汽车、造船等制造业领域 • 难题：工业产品的复杂曲面外形如何在计算机中表示、运算、修改、存储、输入和输出。 • 图形显示的要求：真实感，实时性和交互化。 • 奠基人：Coons, Bézier

16. 几何造型 • 几何造型：是用计算机及其图形工具来表示、描述物体形状，设计几何形体，模拟物体动态处理过程的一门综合技术 • 几何造型的分类： 　　规则造型：几何形态，自由曲线曲面 　　不规则造型：自然形态，如分形

17. 各分支的逻辑联系 • CAD是CIMS的核心 • 几何造型是CAD的核心 • CAGD是几何造型的主要数学基础之一

18. 计算几何 • 计算几何 Computational Geometry 1971年由Forrest提出,定义为形状信息的计算机表示、分析与综合 • 早年与CAGD重合，现在各有侧重，计算几何主要探讨凸壳，Voronoi图, Delaunay三角化,三角剖分,几何查找,数据结构,计算复杂性等内容

19. 传统CAGD的研究对象 • 研究对象:工业产品的几何形状 • 分类: 初等解析曲线曲面(画法几何,机械制图) 自由型曲线曲面(复杂的方式,自由地定义)

20. 设计方式的革命 • 传统的模线样板法（模拟量）：不规范、强度大、周期长、精度低 • 现代的数学方法（数值量）：思想早有，随计算机出现才达到实用的地步

21. CAGD的核心问题 • 核心问题：产品几何形状的计算机表示 • 基本要求 　适合计算机处理：唯一性、几何不变性、　　　 　　　　　　容易定界、准确性、统一性 　便于几何设计：灵活性、光滑拼接、形状 　　　　　　　　控制、几何直观 　便于形状信息传递和产品数据交换　　　　　　　

22. CAGD的两个基本观点 • 坐标：形与数的有机结合 • 组合：不可能用一条简单曲线或者一片简单曲面来描述复杂形体

23. CAGD发展的重要趋势 • 几何化 Coons方法：后总结为代数思想 Bézier方法：一直强调几何直观 • 矩形片多边形片（如三角片） • 几何连续性概念的提出 • 自动方法的研究 • 追求方法上的突破

24. 常见的曲面类型 • 显式表示　z=f(x,y) • 隐式表示 f(x,y,z)=0 • 参数表示 (x,y,z)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) • 离散表示 {dkij} 其中k为层数

25. 历史图表

26. 历史图表（续）

27. 参数表示法 • 几何造型中数学模型的主干 • 曲线 p(u)=(x(u),y(u),z(u)) 切向量 法平面 • 曲面 p(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 切平面 法向量

28. 参数表示的优点 • 1.满足几何不变性的要求. • 2.易于规定曲线曲面的范围. • 3.易于表示空间曲线. • 4.仿射变换和投影变换容易执行. • 5.易于计算曲线曲面上的点及其他信息.

29. 参数表示的优点(续) • 6.易于处理多值问题. • 7.易于处理无穷大问题 • 8.便于曲线曲面的分段分片描述 • 9.提供对曲线曲面形状控制的较多自由度 • 10.为向高维问题推广提供了可能性.

30. 曲线参数化 • （曲线）参数化 parametrization: 将曲线表成 p(u)=(x(u),y(u),z(u)) , 其中 , 就说给出了一条曲线的一个参数化表示. • 正则点:满足 的点 • 奇点:不能使参数u 与点p(u)一一对应的点,如曲线的自交点(另外定义:非正则点,或退化为一点的情形)

31. 曲面参数化 • 曲面参数化 : 将曲面表成 p(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) • 特例: 隐式代数曲面的有理参数化：是几何设计中的热点问题，即寻找有理表示 x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) 　使得隐式方程 f(x,y,z)=f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=0 恒成立

32. 关于参数化 • 几何含义：不一定存在 • 参数化未必唯一：如圆 • 不唯一的原因：几何实体是客观存在，参数化是人为增加的限制

33. 重新参数化 • 重新参数化 reparametrization:在正则曲线p=p(u) 中,若令u=u(t) 且 ,则 p=p(u(t)) 在上述过程中,曲线从以u为参数变成以t为参数, 此即重新参数化,其中u=u(t)称为参数变换. • 性质:参数变化,几何形状不变;正则性不变;曲线方向由参数变换之导数值正负决定.

34. 不合适的参数变换 • Sederberg,1986: 参数变换之导数值为零, 一个老参数对应多个新参数

35. 弧长参数化的引进原因 • 常见的参数变换 线性变换:导矢的模长改变,方向不变 非线性变换:导矢的模长方向均改变 • 由此可见,曲线的各阶导矢与参数的选取有关,这给曲线的研究带来极大的不便,我们希望找到反映曲线内在性质的参数----弧长参数

36. 弧长参数化 • 曲线取自身弧长为参数 • 优点: 切矢单位化,简化了微分几何性质 • 问题:若以弧长为参数 ,参数表达式不是多项式 • 记号区别:(也有相反的情况) 一般参数 弧长参数

37. 常见的参数变换 • 线性变换 • 有理变换

38. 几何造型的关键步骤 • 数据采集建模解决实际问题 • 数据:型值信息,微商信息 • 建模过程: 可理解为反向工程

39. 数据点的参数化 • 在自由曲线曲面造型中,相当于把采集到的数据赋予其参数 • 已知 (x0,y0,z0),……(xn,yn,zn) • 希望求(x(t),y(t),z(t))的表达式，使得 x(ti)=xi,y(ti)=yi,z(ti)=zi，其中ti为参数 • 与多项式不同，参数多项式中满足上述条件的表达式可能有无穷多组，因此必须事先确定这个参数ti，这体现了显式表示与参数表示的重要差别

40. 第二部分:超限插值法 • 代数插值与超限插值 • Coons曲面片的构造思想，性质 • Coons曲面片的各种变形和推广

41. 代数插值思想 • 利用有限多个离散数据构造连续函数 • 此即从简单函数类中选择一个成员满足给定的型值信息及微商信息 • 简单函数：代数多项式，三角多项式， 有理函数，分段多项式，小波函数等

42. Lagrange插值 • 提法：已知n+1个型值信息(x0,y0),……(xn,yn)， 选择p(x)属于简单函数类（例如构造n次多项式p(x)），使得p(xi)＝yi. • Lagrange公式：构造一组Lagrange基函数 • Newton公式：利用差商表，由n-1次公式递归计算 n次公式，便于实际计算时增添信息

43. Hermite插值 • 已知n+1个型值信息和微商信息，构造n次多项式p(x)满足 p(h)(xk)= f(h)(xk) (k=1,…s, 其中s为点数，h=0,1,... ,k-1) • 关键：构造基函数 • 最常用格式：两点三次式（s=2, 1 =2=2 ） • 推广：Birkhorff插值(微商信息可缺失部分阶）

44. 两点三次Hermite基函数的构造 • 需满足的插值条件

45. 混合函数Hi,j(x)满足的条件

46. 混合函数的计算方法 • Hi,j(x)中i表示i阶导数，j表示第j个点 • 计算方法： 　待定系数法 　分析法（减少计算量）

47. 混合函数的形式 • H0,0(x)=(x-1)2(2x+1) • H1,0(x)=(x-1)2x • H0,1(x)=x2(3-2x)=H0,0(1-x) • H1,1(x)=x2(x-1) =-H1,0(1-x)

48. 向量型Hermite插值 • 已知首末端点P(0),P(1)及切矢P'(0),P'(1) • 试构造满足上述端点信息的三次曲线 • 这相当于向量型Hermite插值，结果为 P(u)= P(0) H0,0(u)＋ P' (0) H１,0(u) 　　　＋ P(1) H0,１(u)＋P' (1) H１,１(u)

49. Ferguson曲线 • 1963年，美国波音公司的Ferguson，引进参数３次曲线，简称PC (parametric cubic)曲线，形如 P(u)=A0+A1u+A2u2+A3u3 • 世界上首次出现的参数形式的曲线曲面

50. Coons及其贡献 • Coons（1912—1979）,曾为美国MIT教授。与Bezier一起被公认为CAGD的奠基人。计算机图形学大奖为Coons奖。 • Coons 于1964年提出一个具有一般性的曲面描述方法，即通过围成封闭曲线的四条边界曲线定义的曲面片--- Coons曲面片 • Coons在数学理论上提出超限插值理论，为插值与逼近开拓了新的领域。 • 有趣的是，CAGD的两大奠基人Coons与Bezier都是工程师，而不是职业数学家。