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§3-3 晶格振动量子化与声子

§3-3 晶格振动量子化与声子. 问题的提出: 在简谐近似下,晶体中存在 3NS 个独立的简谐格波,晶体中任一原子的实际振动状态由这 3NS 个简谐格波共同决定,那么, 晶格振动的系统能量是否可表示成 3NS 个独立谐振子能量之和?. 一、晶格振动和谐振子. 1 .系统能量的普遍表示 一维单原子链中,平衡时距原点为 na 的原子, t 时刻的绝对位移是 q 所有可能的 N 个值的特解的线性叠加:. 其中 A q ( t )= A q e -iωt 。按经典力学系统的总能量为动能和势能之和:.

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§3-3 晶格振动量子化与声子

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  1. §3-3 晶格振动量子化与声子 问题的提出: 在简谐近似下,晶体中存在3NS个独立的简谐格波,晶体中任一原子的实际振动状态由这3NS个简谐格波共同决定,那么,晶格振动的系统能量是否可表示成3NS个独立谐振子能量之和?

  2. 一、晶格振动和谐振子 1.系统能量的普遍表示 一维单原子链中,平衡时距原点为na的原子,t时刻的绝对位移是q所有可能的N个值的特解的线性叠加: 2

  3. 其中Aq(t)=Aqe-iωt。按经典力学系统的总能量为动能和势能之和:其中Aq(t)=Aqe-iωt。按经典力学系统的总能量为动能和势能之和: 该表示式中有(Un+1×Un)的交叉项存在,对建立物理模型和数学处理都带来困难。用坐标变换的方法 消去交叉项。

  4. 2.坐标变换(变量置换) 设 (3-51) 式中Qq(t)称为简正坐标,容易证明: (3-52)

  5. 证明要点:q=q’时,显然成立;q≠q’时,为等比级数求和,即可证。 由式(3-51),(3-52)可得证明要点:q=q’时,显然成立;q≠q’时,为等比级数求和,即可证。 由式(3-51),(3-52)可得 (3-51’) (3-53) (3-53’)

  6. 3.系统能量的重新表示 由式(3-51)~(3-53’)可得系统势能 (3-54’) 式中ω2q = 不含交叉项了。(请同学们自行推导)

  7. 类似地,系统的动能也可写为 于是系统总能量可写成不含交叉项的标准式: (3-56)

  8. 复习: 经典谐振子能量 E=T+W= m + kx2 , 所以(3-56)式相当于m=1, k=ωq2的以Qq为自变量的谐振子能量。 可见 由N个原子组成的一维单原子晶体有N个格波,其晶格振动能量可看成N个谐振子的能量之和。

  9. 、能量量子和声子(量子力学修正)把上述经典谐振子的能量用量子力学的结果来表示。量子力学告诉我们,频率为的谐振子,其能量为 n=0,1,2…… (3-57)

  10. 这表明谐振子处于不连续的能量状态。 当n=0时,它处于基态,E0= ,称为零点能。 相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量子,称它为声子, 正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子一样。

  11. 3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应 因此式(3-57)也是一个频率为ω的格波的能量。 频率为ωi(q)的格波被激发的程度,用该格波所具有的能量为ωi (q)的声子数n的多少来表征。

  12. 讨论 1.声子是玻色子 一个模式可以被多个相同的声子占据,ω和q相同的声子不可区分,自旋为零。满足玻色统计。 除碰撞外,不考虑它们之间的相互作用,则可视为近独立子系,则玻色统计与玻尔兹曼统计一致。

  13. 2.平衡态声子是非定域的 3.声子是一种准粒子 对等温平衡态,格波是非定域的,声子属于格波,所以声子也是非定域的,它属于整个晶体. 粒子数不守恒,例如温度升高后声子数增加。声子与声子,声子与其它粒子、准粒子互作用,满足能量守恒。

  14. 4.准动量选择定则 ω(q)= ω(q+ Gh) 例: 二声子作用 q1+q2=q3+Gh简写成: q1+q2=q3+Gh 不具有通常意义下的动量,常把q称为声子的准动量。准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢Gh

  15. 三.平均声子数 各个格波可能具有不同的声子数,在一定温度的热平衡态,一个格波的平均声子数有多少呢? 由于声子间相互作用很弱,除了碰撞外,可不考虑它们之间的相互作用,故可把声子视为近独立子系,这时玻色-爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。

  16. 在确定的温度T下,频率均为ω的N个格波的平均能量在确定的温度T下,频率均为ω的N个格波的平均能量 其中:N—频率为ω的格波总数, (并不是晶体的格波总数) Nn—频率为ω,能量为En(即声子数为n)的格波数, 能量为 的声子在同ω的格波间均可存在,某一ω的格波具有声子数n的状态,满足一定的几率分布。可理解为声子在格波间可跳跃。

  17. Nn/N:温度为T、频率为ω、能量为En(即n为某确定值)的格波出现的几率,由玻尔兹曼统计Nn/N:温度为T、频率为ω、能量为En(即n为某确定值)的格波出现的几率,由玻尔兹曼统计 其中:分母为配分函数 gn:能量为En的相格数,即能量En的简并度。 设: gn=1

  18. 其中,由(3-57)

  19. 因为

  20. +kBT2 • 利用等比级数求和公式、求导、整理可得 (3-58) (3-58‘)

  21. 其中 (3-59) 意义: 频率为ω的格波温度为T时的平均声子数。 当 =kBT时, ≈0.6,定性地讲,此格波已激发,以此为界,温度为T时,只有ω≤kBT的格波才能被激发。

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