§8 — 1 一元线性回归

1. §8—1 一元线性回归 一、复习引入 1．假设检验的思想、程序 2．区间估计的思想、程序 3．二元函数的极值

2. §8—1 一元线性回归 • 二、回归分析的概念 • 1．变量之间有两种类型的关系 • （1）函数关系：变量之间存在确定的关系。（2）相关关系：变量之间既存在密切的关系，又不能由一个变量的数值准确地求出另一个变量的值。 • 如：农作物单位面积的产量与降雨量的关系，农作物单位面积的产量与施肥量的关系等，学生某一门课的毕业成绩与他的入学成绩的关系。 • 对相关关系，虽不能求出变量之间的精确函数关系，但通过大量的观测数据，可以发现它们之间存在着一定的统计规律。

3. §8—1 一元线性回归 • 2．回归分析的相关概念 • （1）回归分析 • 由一个（或一组）非随机变量来估计、预测某一个随机变量的观测值所确定的数学模型和所进行的统计分析叫做回归分析。 • （2）线性回归分析 • 回归分析的模型是线性的，则称为线性回归分析。即用一组非随机变量的线性关系式（一次式）来估计、预测某一个随机变量的观测值。 • （3）一元回归分析 • 研究一个随机变量与一个普通变量的相关关系的回归分析叫一元回归分析。 • （4）一元线性回归分析 • 用一个非随机变量的线性关系式（一次式）来估计、预测一个随机变量的观测值的回归叫一元线性回归分析。 • 我们以后只讨论一元线性回归。

4. §8—1 一元线性回归 • 三、回归函数与散点图 • 1．回归函数 • 在一元回归分析里，考察随机变量与非随机变量之间的相关关系。虽然和之间没有确定的函数关系，但我们可以借助函数关系来表示他们之间的统计规律。 • 用来近似地描述具有相关关系的变量之间的联系的函数叫做回归函数。 • 由于与之间不存在函数关系，因此必须把随机波动产生的影响考虑在内，于是我们的模型的一般形式为： （其中是随机项）。 • 一元线性回归模型的一般形式为： （其中是随机项）。

5. §8—1 一元线性回归 • 2．散点图 • 进行次独立的试验，可得对观测值 • ……其中 ，表示和在第次试验中的观测值，则有：把点画在直角坐标平面上得到的图形叫做散点图 • 如果所有的散点大体在一条直线的附近，就可认为对的回归函数的类型为直线型：称方程为对的回归直线方程，并称为回归系数。在上方加是为了区别的实际观测值。

6. §8—1 一元线性回归 • 四、最小二乘法求回归直线方程 • 1．最小二乘法的概念。 • 如果随机变量与非随机变量存在线性的相关关系，则可用回归直线方程来描述。下面来确定方程中的未知参数取一个容量为n的样本 ，则有 • 其中 满足：（1） ，（2）相互独立。 • 用即来描述点与回归直线沿平行于纵轴方向的远近距离。

7. §8—1 一元线性回归 • 则 =就定量地描述了回归直线与n个观测点总的接近程度。 • 现在要找一条总的看来最接近这n个观测点的直线，这就是要找出使达到最小值的，的最小值记为由于平方又叫二乘方，因此把这种使“偏差平方和最小”的方法叫最小二乘法。这样求得的称为参数的最小二乘估计。

8. §8—1 一元线性回归 • 2．由观测值（散点图）求回归方程。 • 要求回归方程就是要求 ，下面来求这是一个求二元函数=的极值的问题 • 整理得 解这个方程组得： • ， ， • 其中 ，

9. §8—1 一元线性回归 • 3．回归方程。 • 由n个散点所得的回归直线方程为： 系数 ，， • 其中：，例 以家庭为单位，某商品的月需求量与该商品的价格之间的一组调查数据为： • 价格/元2444.655.25.666.67需求量千克53.532.72.42.521.51.21.2 • 求对的回归直线方程。 • 解：==5 • ==2.5 • == • ， ==所求回归方程为：

10. §8—1 一元线性回归 • 五、归纳小结 • 1．回归分析的概念 • 2．回归函数与散点图 • 3．由观测值（散点图）求回归方程