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數學公設方法的演化. 李國偉 中央研究院數學研究所 中央研究院物理研究所第八屆高中生培育計畫 2012 年 4 月 7 日. 在西方兩千五百多年的知識發展歷史中，尤其是近代科學興起的近三百餘年，有一種組織知識的方法產生巨大的影響，那就是今天報告的主題── 公設法 。 雖然現在書本裡的知識很少用嚴格的公設法來書寫，但是如果對公設法毫無認識，是難以深入理解西方科學的精髓。. 公設法的起源. 希臘文明分期. 依照數學史的觀點分期： 古典期（ classical period ）： 公元前 600 年 – 公元前 300 年
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數學公設方法的演化 李國偉 中央研究院數學研究所 中央研究院物理研究所第八屆高中生培育計畫 2012年4月7日
在西方兩千五百多年的知識發展歷史中，尤其是近代科學興起的近三百餘年，有一種組織知識的方法產生巨大的影響，那就是今天報告的主題──公設法。在西方兩千五百多年的知識發展歷史中，尤其是近代科學興起的近三百餘年，有一種組織知識的方法產生巨大的影響，那就是今天報告的主題──公設法。 雖然現在書本裡的知識很少用嚴格的公設法來書寫，但是如果對公設法毫無認識，是難以深入理解西方科學的精髓。
希臘文明分期 依照數學史的觀點分期： • 古典期（classical period）： 公元前 600 年–公元前 300 年 • 亞力山大期或稱希臘化期（Alexandrian or Hellenistic period）： 公元前 200 年–公元 600 年
公元前700年紙草文獻開始在希臘流通，帶來埃及的數學。公元前700年紙草文獻開始在希臘流通，帶來埃及的數學。 • 希臘數學的重要原始文獻，現在都已不存於世。反而不如巴比倫與埃及數學文獻更可徵信。 • 希臘數學知識保存於： 拜占庭抄本書（成書於希臘原著500–1500年後，並且經過編輯注疏。） 由希臘文翻為阿拉伯文的譯本，以及由阿拉伯文翻為拉丁文的譯本。（有可能並未忠實於原文，而且原文版本也有可能遭受竄改。）
愛奧尼亞學派： 創始人是泰勒斯（Thales，約公元前624–約公元前546） 首先引入了證明幾何命題的思想，從而把一些看似彼此不相干的幾何事實，串連成有系統的知識脈絡。 畢達哥拉斯學派（約公元前569–約公元前475）： 把抽象的「數」當做萬物的本質，因此研究數的目的不是為了實際應用，而是想揭露宇宙永恆的真理。
不可公度量的發現 根據亞里斯多德的記載，畢達哥拉斯學派以歸繆法（reductio ad absurdum）證明 與1不可公度，但這可能不是真相。 還有其他各種傳說，其中之一涉及正五邊形。Hippasus（公元前5世紀）發現正五邊形的邊長，不論單位長度怎麼選，對角線的長度都無法以整倍數度量。 畢達哥拉斯學派的信仰因不可公度量的發現，而遭遇致命性的打擊。
正五邊形的邊與對角線不可公度 ABAD=ABAE=BE ADBE=AEAF=EF BEEF=EG-EF ‧‧‧‧‧‧
Zeno （公元前五世紀）的詭論 第一個詭論稱為二分(dichotomy）：運動是不可能的，因為在完成運動的過程中，先得到達全程的中點。（當然在到達中點之前，先得走過一半的一半，……。） 第二個詭論稱為Achilles 與烏龜：雖然Achilles 是史詩《Iliad》中的英雄人物，但若要他與烏龜賽跑，只要烏龜先跑一段路，他就永遠追不上烏龜了，因為當他跑到原先烏龜所在的位置，烏龜已經又跑到他的前方。
第三個詭論稱為飛矢(arrow) ：在任一時刻，飛矢總是佔據與其等長的空間，因此在那時刻飛矢總是不動的。因為在任一時刻總是不動，所以從頭到尾，飛矢總是不動的。 第四個詭論稱為競技場(stadium) ：在競技場上有三列賽車 A、B、C，每車各有三節長。假定時間有最小的（不可分割的）單位，而在這單位時間內，A車向左移動一節車廂，B車不動，C車向右移動一節車廂。如此一來，A車與C車就相差了兩節車廂。那麼在這個過程中，當A車與C車移動到只相差一節車廂時所花的時間，應該是單位時間之半，但是這和單位時間不可分割的假設矛盾。
古希臘對時空的看法有兩種，一種是：時間與空間可以一再分割下去，永遠沒有止境（「因此」運動是連續的）。另一說是：時間與空間都有最小的、不可分割的組成單位（「因此」運動是電影式的）。一般認為Zeno 的原意是要向這兩種看法提出挑戰：頭兩個弔詭要說明無窮分割論是無法立足的，後兩個弔詭則要說明不可分割單位也是不能成立的。 採自曹亮吉的《阿草的葫蘆》
Zeno of Elea shows Youths the Doors to Truth and False (Veritas et Falsitas). Fresco in the Library of El Escorial, Madrid
古希臘三大幾何難題 • 建構一個三角形，使其面積等於給定圓的面積。 • 建構一個正立方體的邊長，使其體積等於給定正立方體體積的二倍。 • 三等分任意角。 規定只准用圓規及沒有刻度的直尺來解決上述問題。 這些問題在19世紀之前，都沒能完美解決。
Eudoxus 學派 Eudoxus（公元前408年–公元前355年） 1、引入量（magnitude）的觀念，把「數」與「量」嚴格分開。 2、建立比例理論（theory of proportion）。 3、討論更多型態的不可公度量。 4、建立所謂窮盡法（method of exhaustion） 5、在明確的公設基礎上，以演繹法組織知識。
亞里斯多德學派 亞里斯多德（Aristotle，公元前384年–公元前322年） 1、討論「定義」的重要性，提出「無定義詞」（undefined term）的必須性。也指出定義本身並不保證存在性，存在性必須以建構法達成。 2、區分axiom（或稱common notion）與postulate。（An axiom is a self-evident truth. A postulate is a geometrical fact so simple and obvious that its validity may be assumed.）
亞里斯多德學派 3、區分「潛無限」（potential infinity）與「實無限」（actual infinity）。 4、以科學的方式建立「邏輯學」。 矛盾律：一命題不可能同時為真又為假。 排中律：一命題必須或者為真或者為假。 5、強調「演繹法證明」是獲得數學真理的唯一基礎。
人們需要檢討哪些幾何命題的真確性是極端明顯而無庸置疑的，然後推導出其他看似複雜命題的真確性。這種思維方法漸次發展成公設方法，而在歐幾里得（公元前325年? –公元前265年?）手上集其大成，完成巨著《幾何原本》。
歐幾里得 （約公元前300年活躍於亞歷山大城）
《幾何原本》 Campanus 1255年翻譯為拉丁文，1482 年在威尼斯出版的第一個印刷本。
《幾何原本》 1570 年 Sir Henry Billingsley最早的英文翻譯本
《幾何原本》共13卷，利瑪竇與徐光啟在1607年翻譯了前6卷。《幾何原本》共13卷，利瑪竇與徐光啟在1607年翻譯了前6卷。
歐幾里得《幾何原本》 全書共13卷，包括5條公設、5條公理、119條定義、465條命題。 第一卷：幾何基礎篇 23條定義、 5條公設、5條公理、48條命題。以後各卷沒有再加入公設與公理。 第二卷：幾何代數 以幾何方式研究代數公式，例如 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2。 第三卷：圓形 討論圓的性質。
歐幾里得《幾何原本》 第四卷：正多邊形 討論在圓內接或外切三角形的作圖法，以及三角形與正多邊形內切與外接圓的作圖法。 第五卷：比例論 依據 Eudoxus理論編寫，當中比例的定義對後世數學影響深遠。 第六卷：相似圖形 討論相似三角形、相似圖形及其應用。
歐幾里得《幾何原本》 第七、八、九卷：數論 討論最大公因數、偶數、奇數、質數、完全數等性質。 第十卷：不可公度量 共有115條命題，是最冗長、最富爭議性，但也最精彩的一章。 第十一、十二卷：立體幾何 探討立體幾何中的命題，並證明只存有五種正多面體。
歐幾里得《幾何原本》 定義 1.點是沒有部分的。 2.線只有長度而沒有寬度。 3. 一線的兩端是點。 4.直線是它上面的點一樣地平放著的線。 5.面只有長度與寬度。 6. 面的邊緣是線。
歐幾里得《幾何原本》 定義 . . . . . 23.平行線是在同平面內的直線，向兩個方向無限延長，在不論哪個方向它們都不相交。
歐幾里得《幾何原本》的公設 1. 由任意一點到任意一點可作直線。 2. 一條有限直線可以繼續延長。 3. 以任一點為圓心及任意的距離可以畫圓。 4. 凡直角都相等。 5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角，則這二直線經無限延後在這一側相交。 藍紀正、朱恩寬譯：歐幾里得《幾何原本》，九章出版社，1992年。
歐幾里得《幾何原本》 （Sir Thomas Heath 的英譯本） Postulates 5. That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.
歐幾里得《幾何原本》 公理 1. 等於同量的量彼此相等。 2. 等量加等量，其和仍相等。 3. 等量減等量，其差仍相等。 4. 彼此能重合的物體是全等的。 5. 整體大於部分。
歐幾里得《幾何原本》一個證明的範例 【命題10】 二等分已知有限直線。 設 AB 是已知有限直線，那麼，要求二等分有限直線 AB。 設在 AB 上作一個等邊三角形 ABC。 （I. 1） 且設直線CD 二等分角ACB。 （I. 9） 則可證線段AB 被點D 二等分。
歐幾里得《幾何原本》一個證明的範例 事實上，由於 AC 等於 CB，且 CD 公用；兩邊 AC、CD 分別等於兩邊 BC、CD；且角 ACD 等於角 BCD。 所以，底 AD 等於底 BD。 （I. 4） 從而，將已知有限線段AB 二等分於點D 。 C A B D
公設法的後繼名著 阿基米德(c. 287 BC – c. 212 BC) On the Equilibrium of Planes (two volumes) The first book is in 15 propositions with 7 postulates, while the second book is in 10 propositions. The Law of the Lever: “Magnitudes are in equilibrium at distances reciprocally proportional to their weights.” Archimedes uses this to calculate the areas and centers of gravity of various geometric figures including triangles, parallelograms and parabolas.
