Intégrale triple

1. Intégrale triple Elaboré par M. NUTH Sothan

2. I- Notion de l’intégrale triple: Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté au repère cartésien OXYZ . Soit f(x, y, z) une fonction bornée et définie dans V. Divisons V par ∆V1, ∆V2, ... , ∆Vn, . Prenons Mi (xi , yi , zi) ∈∆Vi , (i=1, 2, ... , n ). La somme : où ∆Vi est le volume du i-ème parallélépipède, s’appelle somme de Riemann tridimensionnelle .

3. I- Notion de l’intégrale triple (suite) Soit di le diamètre de ∆Vi . Soit Alors, l’intégrale triple, étendue au domaine V, de la fonction f(x, y, z) : Dans les coordonnées rectangles OXYZ, on peut prend ∆Vi comme ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk .

4. I- Notion de l’intégrale triple (suite) On a ainsi : dV = dxdy dz (3) D’après (3), l’intégrale triple s’écrit sous forme : Supp. : V={(x, y, z), (x, y) ∈ S,z1(x, y) ≤z ≤ z2(x, y)} On a :

5. I- Notion de l’intégrale triple (suite) Soit S={(x, y), a ≤ x ≤ b, y1(x)≤ y ≤ y2(x)} un domaine standard par rapport à l’axe OY. On a : Analogiquement, si le domaine est standard par rapport à l’axe OX : S={(x, y), c ≤ y ≤ d, x1(y)≤ x ≤ x2(y)} on a :

6. II- Changement des variables dans l’intégrale triple: 1. Coordonnées cylindrique : Pour passer aux coordonnées cylindriques on pose : x = r cos φ , y = r sin φ , z = z (1) où 0 ≤r < + , 0 ≤φ≤ 2π , − < z < +. On a : où r est un jacobien J de coordonnées cylindriques.

7. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): En effet : z M(x,y, z) z o y φ r N(x,y) x

8. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): 2. Coordonnée sphérique : Pour passer aux coordonnées sphériqueon pose : x = r sinθcosφ , y = r sinθsinφ , (4) z = r cosθ , où 0 ≤r < + , 0 ≤φ≤ 2π , 0≤θ≤π. z M(x,y, z) θ r z o y φ N(x,y) x

9. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): On a : Où :

10. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): Et : En fin : J= r2 sinθ (6)

11. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): On peut poser aussi : x = r cosθcosφ , y = r cosθsinφ , (7) z = r sinθ où 0 ≤r < + , 0 ≤φ≤ 2π , −π/2≤θ≤ +π/2. On a : J= r2 cosθ (8) z M(x,y, z) r z θ o y φ N(x,y) x

12. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): 3. En général : On peut passer aux coordonnées (u, v, w) : x = x(u, v, w) , y = y(u, v, w) , z = z(u, v, w) (9) Le jacobien

13. II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): Et l’intégrale triple s’écrit sous forme :

14. III- Application géométrique: Calculer le volume d’un corps limité par le domaine V. Ex.1 : Calculer le volume d’un sphère de centre d’origine de coordonnées et de rayon R. z M(x, y, z) θ r o y φ N(x, y) x

15. Exemple: Une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R définie sous forme V: x2 + y2 + z2 = R2 . En passant aux coordonnées sphériques, on pose : x = r cosθcosφ , y = r cosθsinφ , z = r sinθ où 0 ≤r < R , 0 ≤φ≤ 2π , −π/2≤θ≤ +π/2. V: r = R et J= r2 cosθ .

16. Exemple: Ex.2 : Calculer l’intégrale où V est une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R. En passant aux coordonnées sphériques, on pose : x = r cosθcosφ , y = r cosθsinφ , z = r sinθ où 0 ≤r≤ R , 0 ≤φ≤ 2π , −π/2≤θ≤ +π/2. V: r = R et J= r2 cosθ .

17. Exemple: Calculer le volume limité par les surface suivantes : Ex.3 : Ex.4 : Ex.5 : Ex.6 : Ex.7 : Ex.8 :