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中考复习专题

中考复习专题. 类比、归纳. —— 中考中的合情推理. 保定市育德中学  刘惠云. 二 OO 八年三月. 引例 ( 2007 浙江绍兴中考) 课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:如图( a ),已知四边形 ABCD 中, AC 平分 ∠ DAB , ∠ DAB = 60 度, ∠ B 与 ∠ D 互补 ,求证: AB + AD = 3 AC 。小敏反复探索,不得其解,她想,若将四边形 ABCD 特殊化,看如何解决该问题。.

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Presentation Transcript


  1. 中考复习专题 类比、归纳 ——中考中的合情推理 保定市育德中学  刘惠云 二OO八年三月

  2. 引例(2007 浙江绍兴中考)课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:如图(a),已知四边形ABCD中,AC平分∠DAB, ∠DAB=60度, ∠B与∠D互补,求证:AB+AD= 3 AC。小敏反复探索,不得其解,她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题。 (1)特殊情况入手添加条件:“∠B =∠D”,如图(b),可证AB+AD= 3 AC。(请你完成此证明) (2)解决原来问题受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:如图(c)过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F。(请你补全证明) 答案 答案 E B B 图(c) 图(b) D D D F C C C A B A A 图(a)

  3. H A A A 方法二 H E E F F F E P C B B C B D C P (D) D P 例(2007 黑龙江中考)在ΔABC中,AB =AC,点P为ΔABC所在平面内一点,过点P分别做PE∥AC交AB与点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F。若点P在BC边上(如图1),此时PD =0,可得结论:PD+PE+PF =AB。请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在ABC内(如图2),ΔABC外(如图3)时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,PD、PE、PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明。 图(1) 图(3) 图(2)

  4. 反思与回顾: 1、以上两题有什么共同的特点? 2、我们是通过怎样的方法完成证明的? 利用了什么数学思想? 一般 特殊 方法策略: 当解决一个问题有困难时,我们可以首先考虑其特殊情形,然后再设法解决一般问题,这是解决问题时常用的策略。 数学思想:类比、转化

  5. 实战演练:(2007 河北)在ΔABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线与点G,一等腰直三角尺按如图(a)所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B。(1)在图(a)中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想。 答案 G F A C B 图(a)

  6. H M 答案 方法二 E D 图(b)

  7. 图(c)

  8. 引例(2007 河北)在ΔABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线与点G,一等腰直三角尺按如图(a)所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B。 (3)当三角尺在(b)的基础上沿AC方向继续平移到图(c)所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,(b)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由) G (3)猜想仍然成立。 A E F H M C B D 图(c)

  9. 小结: 1、这节课你学会了解决什么类型的问题? 2、解决这类问题的方法和策略是什么? 你学会了用什么数学思想解决问题?

  10. 谢谢大家! 祝你成功!

  11. 作业:反馈测试

  12. A A A 答案 返回 答案 E E F F F E M N P C B B C B D C P (D) D M N P 例(2007 黑龙江中考)在ΔABC中,AB =AC,点PΔABC所在平面内一点,过点P分别做PE∥AC交AB与点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F。若点P在BC边上(如图1),此时PD =0,可得结论:PD+PE+PF =AB。请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别ΔABC内(如图2),ΔABC外(如图3)时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,PD、PE、PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明。 图(2) 图(1) 图(3) B

  13. 解(1)猜想:BF =CG 证明:在ΔABF和ΔACG中 ∵∠F = ∠G =90度, ∠FAB =∠GAC,AB =AC. ∴ΔABF ΔACG(AAS) ∴ BF =CG. ∽ = 返回 G F A C B 图(a)

  14. (2)猜想:DE+ DF =CG. 证明:过点D作DH ⊥CG于点H,交AC于M. ∵DE ⊥BA,DH ⊥CG. ∴∠DEG =∠DHG =∠G =90度. ∴四边形EDHG为矩形. ∴ DE = HG,DH ∥ BG. ∴∠B =∠HDC 又∵ AB =AC ∴∠HDC =∠FCD = ∠B. ∵∠F =∠DHC =90度,CD =DC. ∴ΔFDC ΔHDC(AAS). ∴DF =CH. ∴DE +DF =GH +CH =CG。 即DE +DF =CG. ∽ ∽ = = H M 返回 E D 图(b)

  15. A 返回 E F M N P B C D 解:当点P在ΔABC内时,结论PD +PE +PF =AB仍成立。 证明:过点P作MN ∥BC分别交AB、AC于点M、N。 根据题意得:PE +PF =AM。 ∵MB ∥PD,MP ∥BD。 ∴四边形MBDP是平行四边形。 ∴MB =PD。 ∴PD +PE +PF =AM +PD =AM +MB =AB。 即PD +PE +PF =AB。 图(2)

  16. 当点P在ΔABC外时,结论PD +PE +PF =AB不成立。 猜想:PE +PF -PD =AB。 A 返回 F E C B D M N P 图(3)

  17. 返回

  18. 1 2 ( ) - AC 2 = 2 AC 3 1 AC 2 2 返回 3 3 AC 2 (1)证明: ∵AC平分∠DAB, ∠DAB=60度。 ∴∠CAB= ∠CAD=30度 ∵∠B与∠D互补, ∠B =∠D。 ∴∠B =∠D=90度 ∴CD= AC ∴AD= 同理AB= ∴AB +AD =AC D C B A 图(b)

  19. (2)证明:由(1)可知: AE+AF= AC。 ∵AC为角平分线,CF ⊥AD,CE ⊥AB。 ∴CE =CF。 而∠ABC与∠D互补, ∠ABC 与∠CBE也互补, ∴∠D =∠CBE。 ∴RtΔCD F RtΔCBE ∴DF =BE。 ∴AB+AD =AB+(AF+FD) =(AB+BE)+AF =AE+AF =AC。 即 AB+AD =AC。 ∽ = 返回 3 3 3 D F C E B A 图(c)

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