Modèle semi-classique

1. IV. Dynamique des électrons de Bloch Introduction Modèle semi-classique Application d'un champ électrique : masse effective et notion de trou

2. IV. Dynamique : Introduction Introduction Modèle de la dynamique = Modèle des propriétés de transport Modèle semi-classique pourquoi ? Description presque rigoureuse et quantique des interactions entre les états électroniques et le potentiel périodique du réseau Description classique des effets de excitations externes : champs électriques, champs magnétiques, (gradients de T)

3. IV. Dynamique : Introduction Paquets d'ondes Pour pouvoir utiliser les équations de la dynamique classique : Construction d'un paquet d'ondes à partir des solutions de l'équation de Schrödinger Cas des électrons libres : Dynamique du gaz d'électrons libres = Dynamique de particules classiques Rigoureusement : le traitement du chapitre II est incorrect ! Mais on peut s'imaginer la "béquille" suivante :

4. IV. Dynamique : Introduction a(k') k k' Paquets d'ondes planes : avec notable seulement pour : vecteur d'onde moyen du paquet d'ondes : position moyenne de l'électron La vitesse du paquet d'onde est la vitesse de groupe : Pour des électrons libres :

5. IV. Dynamique : Introduction Paquets d'ondes des électrons de Bloch Construction d'un paquet d'ondes : avec Autre supposition : Dk petit devant la 1ère zdB, Vitesse du paquet d'ondes :

6. IV. Dynamique : Introduction Largeur du paquet d'ondes dans l'espace direct : Relation de Heisenberg : comme Champ externe a Largeur du Paquet d'ondes

7. IV. Dynamique : Introduction Mécanisme de "rappel" : collision Comme dans le cas du modèle de Drude ou du modèle de Sommerfeld il faut introduire la notion de collision des électrons Collisions pourquoi et avec quoi ? Sans mécanisme de rappel : pas de retour à l'équilibre possible !!! Toute perturbation de la périodicité parfaite du réseau - impuretés - défauts - surface - Phonons

8. IV. Dynamique : Modèle semi-classique Hypothèses du modèle : - le modèle décrit l'évolution de la position et du vecteur d'onde d'un électron entre deux collisions - la structure de bandes est connue - pas de transitions interbandes

9. IV. Dynamique : Introduction Rappel : Nouvelle définition d'un électron On considère la valeur moyenne de la position et de l'impulsion d'un paquet d'onde construit à partir des ondes de Bloch, et on considère comme trajectoire (en sens classique) l'évolution temporelle de cette valeur moyenne de position et de cette valeur moyenne d'impulsion. Avec cette conception on peut utiliser le Théorème d'Ehrenfels : "Les valeurs moyennes de la mécanique quantique suivent les lois de la mécanique classique" Commentaire : Ces particules n'ont plus du tout le comportement bien connu d'une petite "bille"

10. IV. Dynamique : Modèle semi-classique Équations de mouvement : Dans le solide, les forces extérieures appliquées à l’électron s’ajoutent à la force appliquée par le réseau cristallin. L’expression complexe de cette dernière rend l’étude de la dynamique de l’électron quasiment impossible. On admet sans preuve la validité des équations de mouvement classiques pour entre les collisions ! avec et Attention : n'est plus la quantité de mouvement classique mais le moment cristallin ! La contribution du réseau cristallin à l’impulsion de l’électron est donc formellement retirée de l’équation grâce au fait que n'est défini qu'à un vecteur du réseau réciproque près

11. IV. Dynamique : Modèle semi-classique vn(k) En(k) k Bandes d’énergie utiles : Bandes utiles = Bandes coupées par le niveau de Fermi si En > EF Bandes vides si En < EF Bandes pleines Rappel : Symétrie !

12. IV. Dynamique : Relation Fondamentale de la Dynamique Montrons que la RFD peut s’écrire : On a :  Or     avec 

13. IV. Dynamique : Masse effective On garde donc l’expression formelle de la relation fondamentale de la dynamique en ne considérant que les forces extérieures au système, ceci à condition de remplacer la masse de l’électron libre par une masse effective dynamique (ou masse effective) m*. Cette masse effective est définie par : • La masse effective est un tenseur symétrique. • La masse effective est proportionnelle à l’inverse de la courbure de la structure de bande.

14. IV. Dynamique : Masses effectives B. Cond Électrons légers (m* faible) Électrons lourds (m* élevée) ki kj m* < 0 B. Val  Introduction d’électrons aux masses négatives...  Trous Physiquement, que se passe-t-il pour un électron dans la bande de valence et proche du bord de ZDB ? Une force extérieure, qui lui est appliquée, tend à l’accélérer, et donc à le rapprocher du bord de ZDB. Dans cette configuration, le réseau lui appliquera une force (s’opposant à la force extérieure) beaucoup plus importante que cette dernière. L’impulsion qui lui sera transférée par le réseau sera largement supérieure et opposée à l’impulsion transférée par la force extérieure. Cet effet est lié à la proximité des conditions de réflexion Bragg.

15. IV. Dynamique : Champ Électrique vn(k) En(k) k La densité de courant s'écrit Cependant i.e. Donc : Description du courant soit par des électrons soit par des "trous" ou Les trous sont des lacunes d’électrons

16. IV. Dynamique : Champ Électrique Propriétés des trous : Application d’un champ électrique En(k) En(k) k k Bande pleine d’électrons Avec un état vide Tous les électrons se déplacent dans l’espace des k de gauche à droite La lacune d’électron se déplace dans l’espace des k de droite à gauche

17. IV. Dynamique : Champ Électrique Propriétés des trous : i. Vecteur d'onde du trou D’après le point précédent, l’ impulsion des trous est opposée à celle des électrons. D’où : ii. Charge du trou  Pour l’électron : On sait que : Pour le trou : Or Donc :

18. IV. Dynamique : Champ Électrique iii. L'énergie des trous E 0 k Enlèvement d'un électron d'énergie Ee(ke) ke L'énergie du système : Cette énergie correspond à l'énergie d'un trou avec ke, ou mais donc L‘échelle des énergies est inversée pour les trous !

19. IV. Dynamique : Champ Électrique iii. L'énergie des trous Partons d’une bande d’énergie pleine d’électrons. Si on enlève un électron, comment vont se réorganiser les électrons restant pour minimiser l’énergie du système ? Les électrons vont venir occuper la lacune d’électrons en « descendant » l’échelle d’énergie (sauts de gauche). Cette lacune va donc se déplacer vers des énergies électroniques de plus en plus grandes (sauts de droite). On en conclue que lorsqu’un trou se désexcite, il va occuper des états d’énergie électronique de plus en plus grande, donc son échelle d’énergie est inversée par rapport à celle des électrons. E 0 k

20. IV. Dynamique : Champ Électrique iv. Masse effective des trous On sait que la masse effective est proportionnelle à la courbure de la relation de dispersion. Or l‘échelle des énergies est inversée pour les trous ! Donc lorsque la masse effective de l’électron est négative (courbure vers le bas), celle du trou est positive E 0 mt* est positive ! k ke et

21. IV. Dynamique : Champ Électrique v. Vitesse du trou L’impulsion des particules s’écrit : Pour l’électron : Pour le trou : et Or : Donc :

22. IV. Dynamique : Champ Électrique Une bande d'électrons MC EF MV Énergie XC XV M X G (p/a; p/a) (0;0) (p/a;0) Une bande de trous Exemple en 2D

23. IV. Dynamique : Résumé Modèle semi-classique : les électrons sont représentés par des paquets d'ondes de Bloch : avec Leur vitesse est : Le mécanisme de "rappel" qui assure un retour à l'équilibre sont des collisions L'équation de mouvement entre deux collisions pour un paquet d'onde est donnée par : La densité de courant portée par une bande est : Les bandes vides et les bandes entièrement occupées ne contribuent pas à la conduction

24. IV. Dynamique : Résumé La masse effective définit par : contient toutes les interactions électron - potentiel périodique du réseau

25. IV. Dynamique : Résumé Le courant dans une bande presque vide est décrit avec des électrons Le courant dans une bande presque pleine est décrit avec des trous Propriétés des porteurs de charge : électron trou Charge -e +e Vecteur d'onde Énergie Vitesse Masse effective