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§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换

§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换. 主要问题： 1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质. 一、矩阵的秩 定理 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主 元的个数（即非零行的数目）唯一。. 定义 矩阵 A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为 矩阵 A 的 秩 ，记为 秩 ( A ) 或 。. 例 求下述矩阵的秩. 解. 所以 秩 ( A ) = 4 。 ▌. 性质 (1) 秩 ( A ) = 0 当且仅当 A = 0

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§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换

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  1. §1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换

  2. 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、矩阵的秩 定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主 元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义 矩阵A用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为 秩(A) 或 。

  3. 例 求下述矩阵的秩 解

  4. 所以 秩(A) = 4。▌

  5. 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 (2) 秩( )≤min{ m , n } (3) 初等行变换不改变矩阵的秩。 定义 设A是n阶方阵。若 秩(A) = n，则称A是满秩方阵；若 秩(A) < n，则称A是降秩方阵。 定理满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。

  6. 二、矩阵的初等变换 矩阵初等行变换的推广： （1）用一个非零数乘某一列的全部元素 （2）一列的倍数加到另一列上 （3）互换两列的位置 称上述对矩阵列的处理为矩阵的初等列变换。 矩阵的初等变换

  7. 定义 设A和B是两个同型矩阵。若A可通过有限 次初等变换化为B，则称A相抵于B，记为 A B。 • 性质 矩阵的相抵满足： • 自反性： • (2) 对称性： • (3) 传递性： 结论：矩阵相抵是同型矩阵间的一个等价关系

  8. 定理 设A是m×n矩阵，且 秩(A)= r，则A相抵于下述矩阵 称之为A的相抵标准型。

  9. 例 用初等变换化下述矩阵为相抵标准型 解

  10. 。

  11. 三、初等矩阵 例 已知矩阵 构造三个矩阵

  12. 分别计算 、 、 与A的乘积。 解

  13. ▌ 定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵 称为初等矩阵。

  14. 定理 对m×n矩阵A作一次初等行变换，等同于 在A的左边乘上一个对应的 m 阶初等矩阵；对A作一 次初等列变换，等同于在A的右边乘上一个对应的 n 阶初等矩阵。

  15. 例 已知矩阵 问A与B、C、D之间有何联系？

  16. 解 因为 与之相对应， 故

  17. 同理可得 。 因为 而 故 。 ▌

  18. 例 已知矩阵 ， 问P与Q如何与A相乘可得到B？

  19. 解 因为对A作两次初等行变换可得B，而P与Q均 为初等矩阵，所以应有 PQA=B 或 QPA=B。

  20. 又 对应 P， 对应 Q ▌ 性质 （1）初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也是 满秩方阵； （2）对任一初等矩阵P，均存在初等矩阵Q，使 PQ = QP = I。 定理 满秩方阵可表示成若干初等矩阵的乘积。 推论 满秩方阵的乘积也是满秩方阵。

  21. 定理 设A与B是两个m×n矩阵，则A相抵于B的 充分必要条件是：存在 m阶满秩方阵P与 n阶满秩方 阵Q，使PAQ = B。 定理 同型矩阵A与B相抵的充分必要条件是 秩(A) = 秩(B) 推论 矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩。

  22. 定理 （1）秩( A ) = 秩 （2）设A是m×n矩阵，P是m阶满秩方阵，Q是n 阶满秩方阵，则 秩(A) = 秩(PA) = 秩(AQ) = 秩(PAQ) 例 设A是4×5矩阵且 秩(A) =3， 求 秩(BA)。

  23. 例对任一满秩方阵P，均存在同阶的满秩方阵Q，例对任一满秩方阵P，均存在同阶的满秩方阵Q， 使 PQ = QP = I。 证 因为P 满秩，故存在初等矩阵 使 。已知对初等矩阵 ，存在初等矩 阵 ，满足 ， 。于是， 令 ，则 满秩且 PQ = QP = I▌

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