第九章 塑性力学简单实例

1. 第九章 塑性力学简单实例

2. §9-1 弹塑性弯曲和扭转问题 一、梁的纯弯曲 • 如图所示等截面梁, 横截面y和z两个对称轴, x是梁的纵轴, 纯弯曲发生在xoy平面内.

3. 基本关系式 按照梁的初等弯曲理论: 平截面和小变形, 并且材料不可压缩,即 ,它们的应力和应变表示为 截面上的应力分布情况( 是梁的中性面到弹塑性分界面的距离): 梁截面上要满足的条件

4. 1. 对于理想弹塑性材料 • 截面上的弯矩是 是弹性区对中性轴的惯性矩, 塑性区对中性轴的静矩.

5. 弹性区的高度 , 梁的挠度 和梁的曲率半径 . 可以通过梁的弯矩公式来确定. 可以由梁轴的挠度方程来定,即在 处有 可以由挠度和曲率半径的关系得到,即

6. 例1 如果梁截面是矩形, 高为 ,宽为 , 弯矩和曲率半径. • 根据上面的公式求出截面惯性矩,静矩和弯矩.

7. 弹性极限弯矩, 将 代入上式得到 • 塑性极限弯矩,将 代入前式得到 • 曲率半径和弯矩的关系. 弹性极限时的曲率半径令其为 梁屈服前的曲率半径和弯矩的关系

8. 残余应力 梁在塑性极限以后全部卸载, 则在梁截面内要发生残余应力.利用卸载定理, 即卸载时的弯矩改变量按弹性计算应力的改变量 , 然后卸载时的应力 减去这个改变量得到残余应力 .即 由材料力学公式得到 则残余应力为

10. 2.线性硬化弹塑性材料

11. 梁的线性硬化材料的弹塑性性质和梁截面的应力分布如上图.那么截面弯矩的表达式为梁的线性硬化材料的弹塑性性质和梁截面的应力分布如上图.那么截面弯矩的表达式为 弹性区对中性轴的惯性矩. 塑性区对中性轴下静矩. 塑性区对中性轴的惯性矩.

12. 例2 如果截面为 的矩形, 则 将这些代入弯矩表达式得到

13. 二、梁的横向弯曲 • 注意两点: 第一,忽略挤压应力和剪应力, 纯弯曲的结果基本上可以用;第二, 在纯弯曲时有些梁只与y轴有关, 而横向弯曲它们还与x轴有关. 截面应力为 另外截面应力还要满足下面条件:

14. 例3 分析均布荷载作用下的矩形截面简支梁, 材料为理想弹塑性. • 应力分布与纯弯曲情况相同,只是 随 变化. • 截面弯矩为 • 它还要等于外荷载引起的弯矩 • 整理得到 与 的变化规律 表明弹塑性区的交界线时双曲线.如图红线所示. A和B为:

15. 其中 是梁的弹性极限荷载, 令 和 得到 • 梁的塑性极限荷载 可令 和 得到 这样 此时, 梁中截面全部进入塑性状态, 上图的深黄色线表示.相当于在中截面安置一只铰, 称为塑性铰.塑性铰的出现, 梁变为几何可动的, 使梁丧失了继续承载的能力.

16. 三、 压杆的塑性失稳 • 塑性失稳问题的提出. 从压杆弹性失稳的Euler临界荷载公式可以看出,有效长度越短, 压杆随压曲应力就会增加. 因此, 在短柱情况下有可能压缩应力超过屈服应力以后才会失稳. 这就是压杆塑性失稳. 这时的临界荷载要低于按弹性计算的临界荷载. • 根据弹性力学的分析, 压杆弹性失稳的Euler临界荷载为 • 对压杆塑性失稳的计算要点. 当压杆进入塑性用塑性模量代替Euler临界荷载公式中的弹性模量来计算临界荷载固然可以,但这是临界荷载的下限. 从失稳过程看, 截面的凸侧部分( )压缩应力减少而引起卸载, 要服从弹性规率; 而截面的凹侧部分( )应力增加是加载过程, 要服从塑性规律, 所以失稳过程截面即不能用塑性模量, 更不能用弹性模量. 我们需要计算折减模量.

17. 通过上面分析, 我们应该注意 加载区和 卸载区引起的附加应力和附加应变的情况. 由于平截面假定,压曲时附加应变为(注意坐标轴的选取): 这样引起的附加应力为 • 根据Engesser和Karman的意见,压杆在压曲时轴力不变, 所以 式中 和 是面积 和 对分界线( )的静矩.由此可以确定分界线的位置(即确定 ).

18. 另外, 压曲是杆的弯矩为 称为折减模量, 式中 或称Engesser-Karman模量 • 我们用这个折减模量来代替Euler临界荷载中的弹性模量就可以得到压杆塑性失稳的临界荷载. 例题4-4 计算矩形截面 的折减模量. 解: 设加载区和卸载区的高度分别为 和 , 即有 代入前面的公式 得到 所以

19. 注意: 许多实验结果表明, 荷载低于本节给出的塑性失稳的临界荷载就会失稳. 这是因为在杆发生压曲的同时可能伴随荷载的增量, 这样在截面上不存在卸载区, 此时必需采用 来代替 . 4-4 圆杆的塑性扭转 • 问题的提出: 等截面长圆杆的两端, 作用有大小相等, 方向相反的扭矩 时的扭转问题. • 假定:1)截面的直径在变形过程中没有弯曲及伸缩; • 2) 原来的截面变形后仍为圆形平面(平截面假定); • 3) 任意两个截面变形后距离不变而只发生相对转动 ( 称为扭角). 根据上述假定, 横截面上任意一点的位移矢量是在横截面内并且垂直于该点的半径, 而任意两个横截面的相对扭角正比于它们之间的距离.

20. 圆杆的位移,应变和应力采用圆柱坐标,位移分量为:圆杆的位移,应变和应力采用圆柱坐标,位移分量为: 其中 为单位长度扭角. 应变 , 其它为零. 应力除 (它的大小与 有关,是 的函数)不等于零外, 其它为零. 注意: 这个问题满足简单加载条件. 另外, 应力满足平衡条件, 也满足圆杆侧面的边界条件. 根据Saint-Venant原理杆两端的边界条件可以只在合力方面得到满足.

21. 杆的两端的边界条件可以写成 交界面的半径为 应力分布图 如果知道具体的 , 就可以积分. 现在假定材料是理想弹塑性的, 见图. 残余应力 1)求弹塑性交界面

22. 2)扭矩 和 的关系: 4)塑性极限扭角( ): 那么有 5) 残余应力 在 作用下, 按弹性计算得到 3)弹性极限扭角( ): 由卸载前的应力减去上式的剪应力得到残余应力.见前页图. 弹性极限扭矩为

23. 4-5 非圆截面杆的塑性极限扭矩 在圆杆的弹塑性扭转中, 截面上的最大剪应力产生在距圆心最远处的外边界上, 且在扭转过程中截面无翘曲. 对于非圆截面杆件, 前述两个结论不适用. 此时杆件截面将发生翘曲, 及扭转中横截面不再保持平面, 但刚性转动的假定仍然成立, 而因此得到的最大剪应力产生在距形心最近处. 先讨论非圆截面杆的弹性扭转. 1.弹性分析 1) 位移法 采用直角坐标系, 以 表示杆的单位长度的扭角, 则非圆截面杆件在扭转时的位移分量为: 表示各截面的翘曲形状, 称为翘曲函数,是待定的. 这里采用等翘曲假定.

24. 代入几何方程得到 将它们代入下面的平衡方程 得翘曲函数要满足调和方程: 满足边界条件: 再代入广义Hooke定律得到 在侧面: 在两端:边界条件为

25. 由此可以得到 上面可以先求解翘曲函数 ,然后求 ,最后求应力应变和位移. 2)应力函数方法. 引入扭转应力函数 ,使得 上面两式分布对y和x求导然后相加得到 考虑边界条件: 在周边上有 所以在周边上 对于实心杆

26. 在两端有 根据上面分析,求解扭转问题的应力函数法的步骤是: a)先求应力函数 b)求应力分量, 和应变分量. 再求总应力, 即 即总剪应力等于 的梯度的绝对值. c)再求位移u,v 和翘曲函数 ,再求w.

27. 2.塑性极限分析 • 在扭矩 达到 时, 在截面上一点开始屈服, 那么 称为弹性极限扭矩. 如果整个截面处于塑性状态, 杆为理想塑性材料,则杆的承载能力已经达到极限, 这时扭矩称为塑性极限扭矩. • 现在来求一下 . 当截面进入全塑性状态, 其应力分量仍满足平衡方程, 仍可引入应力函数来满足平衡方程;并且对于理想弹塑性材料, 各点的应力应该满足屈服条件 也就是 • 分析上式.把应力函数 看成一个曲面方程, 这个曲面的底是杆的截面, 这是因为应力函数在周边等于零; 曲面的斜率为常数 ,是等倾曲面.这个曲面称为应力曲面.那么塑性极限扭矩为