导数的应用

1. 导数的应用

2. 概念复习 1. 极值的概念：设函数 在点 附近有定义，且对 附近的所有的点 都有 （或 则称 为函数的一个极大（小）值，称 为极大（小） 值点。 可导函数的极值

3. ①　求导数 ③　检验 在方程 ＝０ 的根的左、右的符号， 如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数 在这个根处取得极大值. ＝０ 的根； ②　求方程 极值的步骤： 2. 求可导函数

4. 在（a，b）内的极值； ①　求 在各极值点的极值与 比较， ②　将 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2. 若函数 为函数的 在[a，b]上单调递增，则 的最小值， 在[a，b] 为函数的最大值；若函数 上单调递减，则 为函数的 为函数的最大值， 最小值. 函数的最大值与最小值 是定义在区间[a，b]上的函数， 1. 设 在 在[a，b]上的最大值与 （a，b）内有导数，求函数 最小值，可分两步进行：

5. B 乙 甲 A 利用求导解应用题 　　例1　如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同时，乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时间甲、乙相距最近？ 两种方法：1、求二次函数最小值 2、利用导数求最小值

6. 例2:如图,铁路线上AB段长 100km,工厂C到铁路的 距离CA=20km.现在要 在AB上某一处D,向C修 一条公路.已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处? C B D A 解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为

7. 令 ,在 的范围内有 唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合. 练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h. 答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大. 2.与数学中其它分支的结合与应用.

8. 难点突破： 1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的.若 ），（其中有有限个 x 在（a，b）内， （或 ），则 在（a，b）内仍是增函数（或减 使 ）， 函数）。如： （其中 ，有 在（-∞, +∞）内递增； 但 2. 注意严格区分极值和最值的概念.极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题。