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優質教育基金計劃 推廣活動

優質教育基金計劃 推廣活動. 處理初中數學學習差異 — 從錯誤中學習 盧偉業老師. 計劃簡介. 處理 初中生數學學習差異 收集初中同學於功課、小測和考試中常犯錯誤 分類、編輯成摘錄 針對學生常犯錯誤設計相關教學物資和內容 評核成效 ( 改善舊問題 + 發現新問題 ) 調整教學內容. 本校初中學生常犯的運算錯誤. 正負數運算 分數運算 括號的使用 解方程及公式主項. 模仿學習. 正負數運算. “ 負正得負”. “ 負負得正”. “2.9 + 4.5 = 7.4”. “12 + 10 = 22”.

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  1. 優質教育基金計劃推廣活動 處理初中數學學習差異 —從錯誤中學習 盧偉業老師

  2. 計劃簡介 • 處理初中生數學學習差異 • 收集初中同學於功課、小測和考試中常犯錯誤 • 分類、編輯成摘錄 • 針對學生常犯錯誤設計相關教學物資和內容 • 評核成效(改善舊問題+發現新問題) • 調整教學內容

  3. 本校初中學生常犯的運算錯誤 • 正負數運算 • 分數運算 • 括號的使用 • 解方程及公式主項

  4. 模仿學習

  5. 正負數運算 “負正得負” “負負得正” “2.9 + 4.5 = 7.4” “12 + 10 = 22” (P.5) (P.6) **數字運算和正負符號分開處理

  6. 分數運算 (P.7) **帶分數的整數部份和分數部份分開處理

  7. 分數運算 **繁分數處理 **加乘的先後處理

  8. 括號的使用 – 因式分解 **能分辨最大公因數 未能了解抽走 最大公因數後的變化 **混淆因式分解和化簡 的處理手法

  9. 括號的使用 – 展開 **「拆」括號  「擦」括號

  10. 括號的使用 – 展開 ** a(b – c) = ab – c

  11. 括號的使用 – 展開 Expand (2x – 7)2. **(a – b)2 = a2 – b2 **(a)(b)(+c) =ab+ac **(ab)2 = ab2

  12. 解方程 **解方程 化簡

  13. 解方程 **「移項」?? **移項概念不清(兩邊同時乘或除)

  14. 公式主項 **主項在分母的處理

  15. 公式主項 **主項要放在等 式的左邊 ** A = B  B = A** 移項

  16. 估計致錯原因 • 正負數運算 • 未能掌握正數和負數之關聯和異同 • 未能掌握正負數的交換律(Commutative Property, -a+b=+b-a) • 分數運算 • 未能掌握繁分數的四則運算 • 負值帶分數的運算壓力 • 括號的使用 • 未能掌握如何使用和使用括號的好處 • 未能掌握運算的先後次序 • 名詞的分別：因式分解(factorize)、化簡(simplify) • 指數的理解 • 解方程及公式主項 • 未能掌握方程式兩邊同時運作(移項、對消)和單邊獨立運作的分別 • 兩邊同時乘、除數字後方程式的變化

  17. 嘗試措施 –正負數運算 觀察規律 例如： 觀察以下例題，然後在空白地方填上正確答案。 1. 已知 5 – 2 = 3，可得2– 5 = -3 2. 已知 10 – 6 = 4，可得6 – 10 = -4 3. 已知 8 – 1 = 7，可得1 – 8 = ( ) 讓學生自行找出一般性的解答方法。

  18. 嘗試措施 –正負數運算 改變看法 例 : 計算 10 – 33 + 9. 小學看法 : 10 – 33 + 9 中學看法 : +10– 33+ 9

  19. 嘗試措施 – 分數 改變看法 帶分數運算  假分數運算 中一生可能覺得不自然 小學：分數用作描述具體數量，帶分數較自然。 中學：分數可理解為比值。(可引入假分數) 可理解為除法。(可引入繁分數)

  20. 嘗試措施 – 括號 為何要使用 1. 運算的先後次序 例1：請於下列算式加上括號使得等式成立。 3 + 4 x 10 – 8 = 62 3 + 4 x 10 – 8 = 11 3 + 4 x 10 – 8 = 14 3 + 4 x 10 – 8 = 35 學生應該了解括號的使用對運算的影響

  21. 嘗試措施 – 括號 ***括號在分數的使用 ( ) 1 + 2 1 + 4 1 – = 1 – (1 + 2)÷(1 + 4) ( ! ) ) ( 學生應該了解括號的使用對運算的影響

  22. 嘗試措施 – 括號 為何要使用 2. “打包” 例如：計算10 – 3 + 10 – 3 + 10 + 10 – 3 – 3. 10 + 10 +10 + 10 – 3 – 3 – 3 – 3 4 x 10 – 4 x 3 10 + 10 +10 + 10 – (3 + 3 + 3 + 3) (10 + 10 +10 + 10) – (3 + 3 + 3 + 3) (10 – 3) + (10 – 3) + (10 – 3) + (10 – 3) 4 x (10 – 3) 與學生討論使用括號的需要和好處。

  23. 嘗試措施 – 括號 為何要使用 3. 可視為乘法 3 x 5 = (3)(5) 3 x -5 = 3 x (-5) 3 x 5 = 3(5) 3 x -5 = (3)(-5) 3 x 5 = (3)5? 3 x -5 = 3(-5) 3 x -5 = (3)-5? 學生要了解如何加上括號才是正確。

  24. 嘗試措施 – 括號 -2(-3)2 = ? -2(-32)= ? (-2)(-32)= ? (-2)-32 = ?

  25. 嘗試措施 – 展開 橫式和直式 12 x 34 1 2 x 4 ) 3 ) ( = ( 4 30 + 2 10 + 3 6 = 60 + 300 + 8 + 40 8 4 = 408 0 8 4

  26. 嘗試措施 – 展開 橫式和直式 12 x 34 1 2 x 4 3 ( ) ) 2 = ( 30 4 10 + + 3 6 = 60 + 300 + 8 + 40 8 4 = 408 0 8 4

  27. 嘗試措施 – 展開 圖像理解 (a+c)x(b+d) (a+b)2 (a-b)2

  28. 嘗試措施 – 因式分解 如何引入 8 + 12 = 4 x 2 + 4 x 3 = 4 x (2 + 3) 問題1：似乎有點笨… 問題2：8 + 12 = 2 x 4 + 2 x 10 = 2 x (4 + 10) 8 + 12 = 1 x (8 + 12) 8 + 12 = 0.5 x (16 + 24) ***計算10 – 3 + 10 – 3 + 10 + 10 – 3 – 3 那麼 a – b + a – b + a + a – b – b 呢?

  29. 嘗試措施 – 因式分解 拼圖 引導學生有效率地找出矩形的底和高

  30. 嘗試措施 – 因式分解 拼圖

  31. 嘗試措施 – 因式分解 拼圖

  32. 嘗試措施 – 因式分解 儘管拼法不同，底和高都分別為2x+1 和x+2 (因式分解的唯一性)

  33. 嘗試措施 – 解方程 天秤法則 優點：1. 知道方程式兩邊的等價關係 2. 能了解在解方程式的過程中，出現的每一個方程 式之間存在等價關係 缺點： 1. 加減乘除與其逆運算之間的關係不明顯

  34. 嘗試措施 – 解方程 移項–逆運算

  35. 嘗試措施 – 解方程

  36. 總結 • 沒有最好方法 • 沒有固定方法 • 只有最合適方法 • 多題一解 • 一題多解

  37. 謝謝

  38. 參考資料 • 教育局 中學杖本課程發展組 二零一二年十月 中學校本課程通訊 數學教學 • 林保平 臺北市立師範學院 數資系 正負數的概念及其加減運算 • 李祐宗 澎湖縣立湖西國民中學 國中補救教學示例--從拼圖學因式分解 • 林壽福 臺北市國中數學輔導團/興雅國中 解一元一次方程式 • 楊淑真 彰化縣國中數學輔導團/彰泰國中 解一元一次方程式

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