用相频曲线测阻尼系数的探索

1. 用相频曲线测阻尼系数的探索 指导教师 陈乾 10105112 吉新程

2. “受迫振动的研究”实验简介

3. “受迫振动的研究”实验简介 • 系统做受迫振动的方程为 • 在小阻尼条件（ ）下，解为 • 稳定后成为简谐振动 • 其中振幅 相位差 • 可以看出，振幅和相位差都和阻尼系数有关，而且通过计算可以知道阻尼系数越小，共振角频率越接近于系统的固有频率，共振振幅也越大。 • 因此，振动系统的阻尼系数 是描述这样一个振动系统振动规律的重要参数，因此有测量的必要。

4. 书中给出的方法 • 系统的振幅 ，系统共振（ ）时，得到共振振幅 ，两式相除，并利用弱阻尼 时，共振峰附近 的近似处理，得到 • 这样，从幅频曲线上若读出 处对应的两个横坐标 ，带入上式便可得 ，这样也就计算出了阻尼系数

5. q 1 = b q 2 r 对书中方法的质疑 • 在得到最终表达式 的过程中，利用了弱阻尼 时，共振峰附近 的近似，但事实上，从实验的图线可以看出，对应 的 并不是很靠近共振峰，也就是说近似条件不能很好的满足。 • 于是我们打算探索新的更精确的计算阻尼系数 的方法。

6. 新方法的探索——猜想 • 书中的方法实际上利用了幅频曲线 中的信息来计算 。但，实验中得出的相频曲线同样含有 的信息。 • 因此，我们猜想，可以利用相频曲线 来计算阻尼系数 。

7. 新方法的探索——模仿 • 在探索的初期，我们模仿书中的处理方法，也类似的计算 • 发现难以化简。考虑到 的数学表达式的特点，我们改成计算： • 这样对于相频曲线中 的点，带入上式便可得到 ，似乎得到了新的方法！但操作时才意识到 ，根本无法读出满足 的点。

8. 新方法的探索——改造 • 为了克服 发散的问题，我们试想可以计算 • 如此一来， 不会发散，就可以读数了。但此时的公式太复杂，无法得到关于 的简单的表达式。 • 此时，问题陷入了困境……

9. 新方法的探索——反思 • 稍加思考就会发现，出现困难的原因在于我们照搬了书中的处理思想。其实书中计算 是因为 的表达式中有m这个不定参数，所以必须求比值以消去m。 • 而我们研究的相频曲线中的表达式中只有 无不定参数，何不直接从 入手呢？况且 一直趋于 ，并不含关于 的信息，因此不必像书上一样，计算 • 因此我们决定直接利用 的表达式计算

10. 新方法的探索——试探 • 通过上面的分析，我们直接写出 的表达式： 将这个公式写成 的形式： 设 进一步化为： • 仿照书中方法，令 ，得 （负值舍去）。带入上式，化为 ，这样，读出 的点对应的 ，代入上式，即求得

11. 新方法的探索——修正 • 读数时，又遇到了困难， 超出了本次实验记录的数据范围。其实这只是小问题，我们可以重新选择x，使其在范围之内。为了不盲目寻找，可以用待定系数法。令 （ ），得到 ，由 得到 ，综上得 。 • 但这只是一个范围，到底取什么样的数据点可以使得方法最优呢？

12. 新方法的探索——优化 • 如何使计算结果更精确呢？下面略作分析： • 将 代入 ，得到 • 其中 、 为定值，因此， 的计算误差由 的读数误差决定。 • 下面定量化分析：对上式求全微分， ，可见在读数误差 不变时， 与 成反比。因此最好选这样的 ，使由 求得的x所对应的 尽量大，再考虑到本次实验中各原始数据（如 ）的记录范围，在本次实验中初步决定取 • 至此，问题已经解决，已经得出用相频曲线计算 的方法。

13. 新方法的探索——总结 • 将用相频曲线求 的新方法步骤总结如下： 1 . 利用实验中测出的数据点作出相频曲线 取多个测量点（这里以两个为例），使其对应的 落在 中，读出 、 ， 、 。 2 . 将 和 分别代入公式 3 . 求得 、 ，取平均作为 的近似值。

14. 实验验证 • 用实验测得的数据（此处省略）进行验证： • X1=0.9650， 得 • X2=1.0250， 得 • 用书中的方法求得

15. 讨论 • 法一在求解时，运用了多处近似，且近似条件并不能很好地满足，而新方法没有作近似，理论上来说，应该更精确。 • 此方法仍有改进的空间，设想如下： (1)利用更具体的分析，得到更好的 ，可望得到更精确的结果。 (2)借助matlab，利用所有的数据，拟合出曲线 从而定出参数 。

16. 总结 • 本文从质疑，到猜想，到模仿，反思等等，经历了完整的探索过程，最后得到了较理想的结果。 • 从中，我们体会到，在新方法的探索过程中，不能机械的模仿既有的成果，而是要批判的继承与发展。

17. Thank You