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第 17 章

第 17 章. 一般線性模式. 前言. Y i = b 0 + b 1 X i 1 + b 2 X i 2 + … + b p X ip + e i e i ~ N (0, s 2 ) 。這稱為一般線性模式。 效標變項 Y 一定只有一個，而且是量的變項。 預測變項可以有好幾個。如果預測變項只有一個，而且是一次方（直線）的話，稱為簡單線性迴歸，如果預測變項只有一個，但迴歸方程式是多次方，就稱為多項式迴歸，或稱一元多次迴歸方程式。. 前言. 如果預測變項有好多個，而且每一個都是量的變項，稱為複迴歸，

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第 17 章

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Presentation Transcript

  1. 第17章 一般線性模式

  2. 前言 • Yi= b0 + b1Xi1 + b2Xi2 + … +bpXip + ei • ei ~ N(0, s2)。這稱為一般線性模式。 • 效標變項Y一定只有一個，而且是量的變項。 • 預測變項可以有好幾個。如果預測變項只有一個，而且是一次方（直線）的話，稱為簡單線性迴歸，如果預測變項只有一個，但迴歸方程式是多次方，就稱為多項式迴歸，或稱一元多次迴歸方程式。

  3. 前言 • 如果預測變項有好多個，而且每一個都是量的變項，稱為複迴歸， • 如果預測變項都是質的變項，稱為變異數分析。如果預測變項中有些是質的變項，有些是量的變項，稱為共變數分析（analysis of covariance, ANCOVA）。

  4. 第一節 單因子變異數分析（1） • 單因子變異數分析的結構模式：Yij= m + aj + eij • 若實驗處理有三種水準，a1，a2，和a3，三者總和為0，因此a3 = -a1 - a2。 • 對於接受行為改變法的受試者而言： • Yi1= m + a1+ ei1 • 對於接受認知改變法的受試者而言： • Yi2= m + a2+ ei2 • 對於接受安慰丸法的受試者而言： • Yi3= m - a2 - a2 + ei3

  5. 第一節 單因子變異數分析（2） • 產生虛擬變項（dummy variable） ，X1 和X2以表示受試者的組別。

  6. 第一節 單因子變異數分析（3） • 一般線性模式 ：Yi= b0 + b1Xi1 + b2Xi2 + ei • 對於接受行為改變法的受試者而言， • Yi= b0 + b1 + ei • 對於接受認知改變法的受試者而言， • Yi= b0 + b2 + ei • 對於接受安慰丸法的受試者而言， • Yi= b0 - b1 - b2 + ei • 由於m = b0，a1= b1，a2= b2，單因子變異數分析是一般線性模式的特例。

  7. 第一節 單因子變異數分析（4） • 例子1 • 以一般線性模式進行單因子變異數分析。

  8. 第一節 單因子變異數分析（5） • 一般線性模式為Yi= b0 + b1Xi1 + b2Xi2 + ei，用X1和X2聯合預測Y。

  9. 第一節 單因子變異數分析（6） • b0、b1、b2的參數估計值分別為50、-10、-20。迴歸方程式為： = 50 -10Xi1 - 20Xi2。

  10. 第二節 多因子變異數分析（1） • 二因子變異數分析的結構模式 • Yijk= m + aj+ gk + agjk +eijk • 以第十四章的心理治療為例，共有兩個因子：治療時間和治療方法。令j表示時間，令k表示治療方法。由於

  11. 第二節 多因子變異數分析（2） • 因此a2 = -a1；g3 = -g1 - g2；ag 13= -ag11 - ag12，ag21= -ag11，ag 22 =- ag12，ag 23 = ag11 + ag12。 • 對於白天/行為改變法的受試者而言： • Yi11= m + a1+ g1 + ag11 +ei11 • 對於白天/認知改變法的受試者而言： • Yi12= m + a1+ g2 + ag12 +ei12 • 對於白天/安慰丸法的受試者而言： • Yi13= m+a1-g1-g2-ag11-ag12+ei13（以此類推）

  12. 第二節 多因子變異數分析（3） • 時間需要一個虛擬變項：X1。 對白天的受試者而言，X1 = 1；對晚上的受試者而言，X1 = -1。 • 治療方法需要兩個虛擬變項X2和X3。X2和X3的設定方式如同表1。 • 令X4 = X1X2，X5 = X1X3。時間和治療方法的交互作用。 • 用X1到X5聯合預測Y，即 • Yi= b0 + b1Xi1 + b2Xi2 + b3Xi3 + b4Xi4 + b5Xi5 +ei

  13. 第二節 多因子變異數分析（4） • 對於白天/行為改變法的受試者而言： • Yi= b0 + b1 + b2 + b4 +ei • 對於白天/認知改變法的受試者而言： • Yi= b0 + b1 + b3 + b5 +ei • 對於白天/安慰丸法的受試者而言： • Yi= b0 + b1 - b2 - b3 - b4 - b5 +ei (以此類推） • 可以發現m = b0，a1= b1，g1= b2，g2= b3，ag11 = b4，ag12 = b5。二因子變異數分析是一般線性模式的特例。

  14. 第二節 多因子變異數分析（5） • 如果是三因子（含）以上變異數分析，也可產生虛擬變項，用一般線性模式進行變異數分析。 • 透過虛擬變項對於效標變項的複迴歸，可以再製二因子變異數分析摘要表。再製的方法必須視細格樣本數是否相同而定。

  15. 第二節 多因子變異數分析（6） • 細格樣本數相同 • 1. 用X1進行預測，產生SST，SSreg，SSe。此處的SSreg稱做SSA。 • 2. 用X2和X3進行預測，產生SSreg，稱做SSB。 • 3. 用X4和X5進行預測，產生SSreg，稱做SSAB， • 共得到SST，SSA，SSB，SSAB，然後SSe = SST - SSA - SSB -SSAB，配合自由度，算出均方，進行二因子變異數分析，製作摘要表。 • 若用X1到X5進行預測，產生SSreg，稱做SSA,B,AB，恰等於SSA + SSB +SSAB。

  16. 第二節 多因子變異數分析（7） • 細格樣本數不相等 • 法並不恰當，因為此時A因子的主要效果、B因子的主要效果、AB因子的主要效果會有所重疊，因此總平方和無法分割為SSA，SSB，SSAB，和SSe四個部份。 • 圖1(a) 細格樣本數相同的話，SSA，SSB，SSAB各自獨立，因此SST = SSA + SSB + SSAB + SSe。 • 如果細格樣本數不相等，A因子主要效果、B因子主要效果、AB因子交互作用就如圖1(b)所示，互有重疊。此時如何界定SSA，SSB，SSAB？

  17. 第二節 多因子變異數分析（8） • 最保守且常用的界定方式就是：圖1(b)中的1為SSA， 5為SSB， 7為SSAB。2、3、4、6捨棄。 • 1. 用X1到X5預測，產生SST，SSreg，SSe。SSreg稱做SSA,B,AB， • 2. 用X1，X2，X3預測，SSreg稱做SSA,B。 • 3. 用X2，X3，X4，X5預測，SSreg稱做SSB,AB • 4. 用X1，X4，X5預測，SSreg稱做SSA,AB

  18. 第二節 多因子變異數分析（9） • SSA = SSA,B,AB - SSB,AB (17.27) • SSB = SSA,B,AB – SSA,AB (17.28) • SS AB = SSA,B,AB – SSA,B (17.29) • 其實如果細格樣本數相等，利用公式（17.27）到（17.29）的作法，所得結果和上述細格樣本數相等時的作法一樣。

  19. 第二節 多因子變異數分析（10） • 例子2 • 以一般線性模式進行分析，並製作二因子變異數分析摘要表。

  20. 第二節 多因子變異數分析（11） • 作法 • 1.如表5產生5個虛擬變項。 • 2.用X1預測，得SSreg SSA = 607.5。SSA的自由度為1。 • 3.用X2和X3預測，得SSreg SSB = 7655。SSB的自由度為2。 • 4. 用X4和X5預測，得SSreg SSAB = 1755。SSAB的自由度為2。

  21. 第二節 多因子變異數分析（12） • 5. 用X1到X5預測，得SST = 14531.5，SSreg SSA,B,AB = 10017.5，SSe = 4514。 • 6. 製作二因子變異數分析摘要表如表7。

  22. 第二節 多因子變異數分析（13） • 例子3 • 將白天/行為改變法的前兩個數值35和25刪去，使得該細格的樣本數變為3。進行二因子變異數分析。

  23. 第二節 多因子變異數分析（13） • 作法 • 1. 由於細格樣不數並不相等，只能用一般線性模式進行分析。如表5產生5個虛擬變項。 • 2. 利用X1到X5預測，得SST = 13195.25，SSreg SSA,B,AB = 9064.58，SSe= 4130.67。 • 3. 用X1，X2，X3預測，得SSregSSA,B = 7109.89。 • 4. 用X1，X4，X5預測，得SSregSSA,AB = 2518.98。

  24. 第二節 多因子變異數分析（14） • 5. 用X2，X3，X4，X5預測，得SSregSSB,AB = 8754.5。 • 6. • SSB = SSA,B,AB – SSA,AB = 9064.58 - 2518.98 = 6545.6 • SSA = SSA,B,AB – SSB,AB = 9064.58 – 8754.5 = 310.08 • SS AB = SSA,B,AB – SSA,B = 9064.58 – 7109.89 = 1954.69 • SSB + SSA + SSAB + SSe = 310.08 + 6545.60 +1954.69 + 4130.67 = 12941.04 < SST = 13195.25。所流失的SS就是圖1(b)中的2, 3, 4, 6這四個部份。

  25. 第二節 多因子變異數分析（15） • X2和X3代表治療方法，因此如果要使用X2當作預測變項，必然要同時使用X3。 • X4和X5代表治療方法和時間的交互作用，因此要使用X4當作預測變項，必然要同時使用X5。 • 不可以將代表同一個效果的數個虛擬變項拆開，它們必須同時當作預測變項，或者不當預測變項，也就是「同進退」。

  26. 第三節 共變數分析（1） • 「隨機分派」（random assignment）是實驗設計的基石。沒有它，就難進行因果關係的推論。 • 在非實驗設計中，幾乎無法避免干擾變項。若研究者很擔心干擾變項會影響實驗的結果，就應該共變數分析。 • 透過對於干擾變項的控制，共變數分析能夠清楚說明實驗處理效果。就是說：如果各組受試者在這些干擾變項上的數值一樣的話，他們的組平均數會變為多少？是否有顯著差異？

  27. 第三節 共變數分析（2） • 共變數分析還有一個好處：容易彰顯實驗處理的效果。具體而言，就是將MSe變小，而它是F檢定的分母，因此F值就會變大，實驗效果就比較容易達到顯著水準。 • 前提是選擇了有效的共變數，如果選擇了一個無效的共變數，反而使得MSe變大，而實驗效果不易達到顯著水準。

  28. 第三節 共變數分析（3） • 以心理治療為例，原先症狀強度當作共變數U。將實驗處理改為虛擬變項，則一般線性模式為： • Yi= b0 + b1Xi1 + b2Xi2 + b3Ui + ei (17.30) • 利用複迴歸進行參數估計和計算SST，SSreg，SSe此處SSreg稱為SSA,U。SSA,U的自由度是3。 • 還要建立兩個模式： • 1. 不含共變數U的一般線性模式 • 2. 只含共變數U的一般線性模式

  29. 第三節 共變數分析（4） • 不含共變數U的一般線性模式 • Yi= b0 + b1Xi1 + b2Xi2 + ei，此處SSreg稱為SSA。 • 只含共變數U的一般線性模式 • Yi= b0 + b3Ui + ei，此處SSreg稱為SSU。 • SSU(adjusted) = SSA,U - SSA • SSA(adjusted) = SSA,U – SSU • SSU(adjusted)的自由度是1，SSA(adjusted)的自由度是J-1。

  30. 第三節 共變數分析（5） • 如果計算的F = MSU(adj)/MSe高過臨界值，就拒絕共變數無效的虛無假設，而宣稱將該共變數納入分析是有用的。如果計算的F =MSA(adj)/MSe高過臨界值，就拒絕實驗處理無效的虛無假設。

  31. 第三節 共變數分析（6） • 假設公式（17.30）的估計值為 • = b0 + b1Xi1 + b2Xi2 + b3Ui • 則對於接受行為改變法的受試者而言， • = b0 + b1 + b3Ui • 對於接受認知改變法的受試者而言， • = b0 + b2 + b3Ui • 對於接受安慰丸法的受試者而言， • = b0 – b1 – b2 + b3Ui

  32. 第三節 共變數分析（7） • 行為改變和認知改變的平均數差異為b1 – b2。 • 行為改變和安慰丸的平均數差異為2b1+b2。 • 認知改變和安慰丸的平均數差異為b1 + 2b2。

  33. 第三節 共變數分析（8） • 例子3 • 調查受試者憂鬱症狀強度，進行共變數分析。

  34. 第三節 共變數分析（9） • 產生新的虛擬變項，如表1所示。 • 利用公式（17.30）得SST = 9960，SSA,U = 9201.8，SSe = 758.2，R2 = 0.924，以及 • = -9.37 – 5.55Xi1 – 10.06Xi2 + 0.78Ui • 利用公式（17.31）得SSA = 7000。 • 利用公式（17.32）得SSU = 8119.08。 • 利用公式（17.33）和（17.34）得 • SSU(adjusted) = SSA,U - SSA = 9201.8 – 7000 = 2201.8 • SSA(adjusted) = SSA,U – SSU = 9201.8 –8119.08 = 1082.72

  35. 第三節 共變數分析（10） • MSe= 68.93，遠小於例子1中的246.67，因此F檢定比較容易顯著。 • 共變數U的檢定F值為31.94，可以拒絕虛無假設，宣稱這個共變數是有效的。實驗處理的F值為7.85，可以拒絕虛無假設。

  36. 第三節 共變數分析（11） • = -9.37 – 5.55Xi1 – 10.06Xi2 + 0.78Ui • 控制住共變數後，行為改變法的平均數減認知改變法的平均數，為b1 – b2 = -5.55 + 10.06 = 4.50。 • 行為改變法的平均數減安慰丸法的平均數，為2b1+b2 = 2  (-5.55) – 10.06 = -21.17。 • 認知改變法的平均數減安慰丸法的平均數，為b1 + 2b2 = -5.55 + 2  (-10.06) = -25.68。

  37. 第三節 共變數分析（12） • 如果認知改變法的平均數為0，行為改變法就是4.5，安慰丸法就是25.68。 • 原先的平均數是認知改變、行為改變、安慰丸分別為30、40、80。三者之間的差異非常大。 • 一旦控制住共變數之後，兩者之間的差距變為只有25.68。認知改變和行為改變的效果並沒原先想像中的那麼大。

  38. 第三節 共變數分析（13） • 迴歸線斜率同質性 • 不管共變數U的數值是多少，這三種治療方法的平均數差異都是固定不變。 • 公式（17.39）或其線性模式公式（17.30）成立的前提就是圖2(a)，(b)，(c)中的迴歸線的斜率必須相同，即迴歸線斜率同質性（homogeneity of regression slopes）。

  39. 第三節 共變數分析（14） • 迴歸線斜率同質性的檢定 • 令X3 = UX1，X4 = UX2。X3和X4反映出實驗處理和共變數的交互作用。然後據以建立一般線性模式為 • Yi= b0 + b1Xi1 + b2Xi2 + b3Ui + b4Xi3 + b5Xi4 +ei • 得SST，SSe，和SSreg。SSreg稱為SSA,U,AU。 • 原先共變數分析中的SSreg稱SSreg為SSA,U。 • SSAU = SSA,U,AU - SSA,U

  40. 第三節 共變數分析（15） • 如果計算的F = MSAU/MSe高過臨界值，就拒絕迴歸線斜率同質的虛無假設。

  41. 第三節 共變數分析（16） • 上述作法和以下公式是相通的： • 如果計算的F值超過自由度為f–r，n–f–1的F分佈臨界值，代表擴大模式比縮減模式來得吻合資料，也就是說迴歸線斜率並不同質。

  42. 第三節 共變數分析（17） • 例子4 • 承例子3，檢定迴歸線斜率是否同質。 • 作法 • 令X3 = UX1，X4 = U X2。 • 用X1至X4和U預測Y，得SST = 9960，SSA,U,AU = 9404.50，SSe = 555.50， = 0.9442。 • 在例子3中得SST = 9960，SSA,U = 9201.8， = 0.9239。

  43. 第三節 共變數分析（18） • SSAU = 9404.50 – 9201.8 = 202.70。

  44. 第三節 共變數分析（19） • 如果斜率不相同，到底有何壞處？如果行為改變法和認知改變法的效果如圖4所示，斜率並不相同，就無法論定行為改變法和認知改變法的效果熟佳。 • 治療方法和原先症狀強度起了交互作用，意味著對於不同症狀強度的人而言，相同的治療方法所代表的意義並不全然相同。這可能反映出治療方法已經變質！

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