„Termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre és konvekcióra”

1. „Termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre és konvekcióra” Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kar Környezetmérnöki Tanszék Energiatudatos tervezés

2. Dr. Tóth Péter PhDegyetemi docens

3. A termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre

4. Az energiamegmaradás tétele szerint: Mi lehet a változás oka? A rendszerbe belépő hőáram sűrűségösszege eltér a kilépő hőáramsűrűség összegétől. A rendszer belső energiája nő, ha több energia lép be, mint ki. Az egyenlet jobb oldalára alkalmazva a Gauss-Osztogradszkij tételt:

5. Egy térfogati integrálba írva az egészet: Tetszőleges térfogatra, illetve zárt felületre igaz kell hogy legyen: Ha elmozdulás is van, akkor totális derivált kell!

6. Szilárd testre az energiaegyenlet Ez az I. főtétel megfogalmazása hővezetésre. Ebből tudunk elindulni, hogy a hőmérséklet eloszlást leíró diff. egyenletet meg tudjuk határozni. Ismerni kell továbbá, hogy a rendszer belső energiája hogyan függ a hőmérséklettől. Lokális egyensúly:

7. Kinetikai egyenlet: Ezek behelyettesítésével kapjuk a hőmérséklet eloszlás egyenletét: q0: térfogati hőforrás sűrűsége Parciális inhomogén, nem lineáris differenciál egyenlet. Alakítsuk át ezt az egyenletet úgy, hogy a div műveletet elvégezzük.

8. Nabla operátor Laplace operátor Az anyagjellemzőket (δ,ρ,c) vegyük úgy, hogy nem függenek a hőmérséklettől. Ekkor írható:

9. q0: térfogati hőforrás Bevezetve a már megismert hőmérsékletvezetési együttható tényezőt, írható: Lineáris, inhomogén differenciál egyenlet, ez a hővezetés differenciál egyenletének legismertebb alakja.

10. Nézzük meg ezt különböző esetekre: 1. Nincs térfogati hőforrás sűrűség: q0 = 0 Ekkor a Fourier-féle differenciál egyenletet kapjuk: Hővezetés diff. egyenlete 2. Egy térdimenziós esetre: Parabolikus típusú diff. egyenlet

11. FOURIER FÉLE DIFFERENCIÁL EGYENLETEK ALKALMAZÁSA INSTACIONER FOLYAMATOKRA

12. A Q hőmennyiség, amely t idő alatt áramlik a rúdon (ha nincsenek oldalirányú veszteségek), egyenesen arányos a t időtartammal, az A keresztmetszettel és a hosszegységre eső hőmérsékletváltozással , stacionárius hővezetésnél fennáll ahol: :az időegység alatt átáramló hőmennyiség, hőáram [W] :hőáram sűrűség

13. Az előbbi egyenlet általánosabb, differenciális alakban is megfogalmazható. Alkalmazva egy homogén és izotróp test belsejében képzelt kis ΔA keresztmetszetű és ΔX magasságú hengerre amelynek véglapjai a vizsgált időpontban, időpillanatban: T1=T és T2= T+ΔT „egyenlő hőmérsékletűfelületek” vagy „izotermák” részei

14. A ΔA keresztmetszeten igen kis Δt idő alatt az X irányban átáramló hőmennyiség legyen ΔQ. Ekkor a-nekahőmérséklet esés felel meg, amely a csökkenő hőmérséklet irányában pozitív. Ez az egyenlet a hővezetés alaptörvénye, amely időben változó hőáramra, azaz instacioner hővezetésre is érvényes. Ez a Fourier-Kirchoff egyenlet. (Fourier, 1822)

15. NEM STACIONÁRIUS EGYDIMENZIÓS HŐVEZETÉS A T hőmérséklet nem csak a helytől és az x koordinátától, hanem a τ időtől is függ. T= T(x, τ ) A test belsejében egy ΔA(dy*dz) keresztmetszetű és Δx magasságú hengert vagy rudat tekintve

17. Az 1. illetve a 2. véglapokon igen kis Δτ idő alatt az x irányban hőmennyiség megy át, ahol a a hőmérsékletesés az 1. illetve a 2.véglapnál. A rúdban felhalmozódott hő(sorfejtés alkalmazásával): azaz

18. Ez a hőmennyiség a ρ sűrűségű tömegű henger hőmérsékletét (az állandó nyomáson vett) c fajhő definíciója szerint akkora ΔT-vel növeli, amelyre nézve A határátmenet figyelembevételével – egydimenziós esetre – a hővezetés differenciálegyenlete:

19. Háromdimenziós esetre: Ha ismeretes a testben a hőmérséklet eloszlás, a τ=0 pillanatban (kezdeti feltétel) továbbá a test határfelületén a környezettel való hőcsere mértéke (határfeltétel) akkor ennek az egyenletnek a megoldása szolgáltatja a hőmérséklet eloszlást bármely későbbi időpillanatban. A hőmérséklet időbeli és térbeli változásaira speciálisan pl. a hőmérséklet kiegyenlítődés gyorsaságára az hőmérsékletvezetési tényező a mérvadó, nem pedig a hővezetési tényező, ugyanis míg a fémek -ja sokkal nagyobb a gázokénál, addig az tényezők közel egyenlőek, azaz a hőmérsékletek a gázokban és a fémekben azonos sebességgel egyenlítődnek ki.

20. Ilyen esettel a gyakorlatban nehéz találkozni. Nézzük a speciális esetek alaptulajdonságait!

21. STACIONÁRIUS – IDŐBEN ÁLLANDÓSULT – HŐVEZETÉS DIFFERENCIÁL EGYENLETE • Van hőforrás, de nincs időbeli hőmérsékletváltozás Stacioner, hőforrásos hővezetés differenciál egyenlete, ún. Poisson egyenlet • Hőforrásmentes, időbeli hőmérsékletváltozás nincs. Laplace differenciál egyenlet (elliptikus diff. egyenlet) Síkbeli esetre:

22. Matematikailag ez egy egyenes egyenlete, mivel a görbülete 0. Hogy néz ki ez a gyakorlatban? Hőmérséklet eloszlás a falban: EGY DIMENZIÓS, STACIONÁRIUS – IDŐBEN ÁLLANDÓSULT ÁLLAPOT, HŐFORRÁSMENTES ESET geometriailag is értelmezhető, mint a hőmérséklet hely szerinti változásának az iránytangense, gradiense.

23. Mi lenne ha lenne?Ekkor a hőmérséklet eloszlás a falban: Pl. félvezető szalag egyenárammal fűtve. Állandó hőforrás sűrűség esete.

24. PEREMFELTÉTELEK A vizsgált tartomány szélén mit ismerünk? Osztályozás:

25. I. fajú peremfeltétel T=T[L(x,y,z)] Nem a tér minden pontjában, hanem csak a felületen ismerjük a hőmérséklet eloszlást pl. T1, T2 ismert

26. II. fajú peremfeltétel Matematikai értelemben: ismert a vizsgált tartomány felületén, peremén a függvény első diff. hányadosa Hőtanilag: ismert a vizsgált tartomány peremén a hőáramsűrűség

27. , a hőmérséklet hely szerinti változásának iránytangense (gradiens) Előírt értékű hőáramsűrűség lép be a falba, a test belsejében vezetés van. Hőmérséklet lefutási görbe érintője.

28. III. fajú peremfeltétel Matematikai értelemben: a vizsgált tartomány peremén a keresett függvény értéke és a derivált hányadosa adott. Hőtanilag: a tartomány peremén az α hőátadási tényező adott. α= α[L(x,y,z)] A szilárd test peremén a közegnek átadott hőmennyiség: , hőátadás

29. (felületnél az iránymenti derivált) TW: fal hőmérséklete T∞: külső hűtőközeg hőmérséklete III. fajú peremfeltétel

30. Egydimenziós hőtranszport szemléltetése:

31. KONVEKCIÓ A hő terjedésének folyadékokban és gázokban előforduló módja, amelynél a hőt a közeg részecskéi viszik magukkal a melegebb helyekről a hidegebbek felé. A hővezetés és a konvekció (és gyakran a hősugárzás) együttesen játszanak szerepet pl. egy T hőmérsékletű A felületű szilárd test, fal, és az ettől távolabb már T1 hőmérsékletű gáz (levegő) hőcseréjénél. A hőtechnikában ennek a fontos, de részleteiben igen bonyolult jelenségnek a közelítő jellemzésénél egyenletet veszik alapul, melyben ΔQ a fal felületén (ΔA) Δτ idő alatt átadott hőmennyiség, 0 a megfelelő hőáram, α pedig a hőátadási tényező

32. Modell → labor mérések → vizsgált jelenséget befolyásoló méretek, anyagjellemzők és mennyiségek kiválasztása → ezekből mértékegység nélküli „számok” ún. „hasonlóság számok” képzése Reynolds-szám: Prandtl-szám: Grashof-szám: Nu=f(Re, Pr) Nu=f(Re, Gr) Nusselt- szám:

33. Egy szabadban álló, környezeténél melegebb test lehűlésekor a test hőmérsékletének időbeli változását megadó T=T(τ)függvény bizonyos megközelítéssel a egyenlet alapján határozható meg. A C hőkapacitású testnél, tehát Ez a Newton-féle lehűlési törvény, T1 a környezet állandónak feltételezett hőmérséklete. (T∞)

34. Ha a τ=0-nál a test hőmérséklete T0 , akkor a megoldás Ez azt jelenti, hogy a test és a környezete közt (T-T1) hőmérsékletkülönbség (T0-T1)-ről exponenciálisan csökken zérusra.

35. Köszönöm a figyelmet!