Chapter 9. 순열 , 이산적 확률 , 재귀적 관계

1. Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

2. 개요 • 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계와 연관된 전반적인 논제들을 고찰함 • 경우의 수, 순열 및 조합과 관련된 기본적인 정의와 특징들을 다양한 예제들을 통하여 알아봄 • 이산적 확률에 대한 기본 개념과 평균, 분산, 표준 편차와 같은 통계적인 사항들을 살펴봄 • 원리는 간단하지만 이산수학에서 중요하게 쓰이는 비둘기 집 원리와 재귀적 정의에 의한 재귀적 관계식을 알아봄 • 재귀적 관계의 대표적인 예인 피보나치 수와 하노이 탑 문제를 학습함

3. CONTENTS 9.1 경우의 수 9.2 순 열 9.3 조 합 9.4 이산적 확률과 통계 9.5 비둘기 집 원리 9.6 재귀적 정의 9.7 피보나치 수와 하노이 탑

4. 9.1 경우의 수 • 어떤 사건이 일어나는 경우의 수 • 모든 경우를 일정한 기준에 따라 빠짐없이 • 중복되지 않게 해야 함 • 경우의 수를 구하는 방법 • 트리를 이용하는 방법과 표를 이용하는 방법이 있음 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

5. 9.1 경우의 수 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

6. 9.1 경우의 수 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

7. 세기(Counting) • 세기(counting) 방법 (1) 순서(order)를 고려하던지 또는 고려하지 않던지 (2) 반복(repetition)을 허락하던지 또는 허락하지 않던지 • 반복(X), 순서(O)순열 • 반복(X), 순서(X)조합 • 반복(O), 순서(O)중복 순열 • 반복(O), 순서(X)중복 조합

8. 9.2 순 열 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

9. 9.2 순 열 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

10. 9.2 순 열 • The number of r-permutations of a set with n=|S| elements is (n개 중 r개를 선택하여 나열하는 방법은) [풀이] 첫 번째 원소를 선택하는 경우의 수 : n개 두 번째 원소를 선택하는 경우의 수 : (n-1)개 (중복이 허용되지 않으므로 첫 번째 선택된 원소 제외) r번째 원소를 선택하는 경우의 수 : (n-r+1)개 따라서 곱의 법칙에 의해 가 성립한다. Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

11. 9.2 순 열 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

12. 9.2 순 열 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

13. 9.2 순 열 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

14. 9.2 순 열 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

15. 중복순열(permutation with repetition) • r-중복순열 • 원소 n개를 갖는 집합에서 r개의 원소를 중복을 허용하여 순서대로 선택하는 방법 • r-중복순열의 개수 • 원소 n개를 갖는 집합에서 r -중복순열의 경우의 수는 이다.  Π(n, r ) 로 표시 [증명] r -중복순열은 n개의 원소 중 r개를 차례대로 나열하는 방법을 말한다. r개를 차례대로 나열하는 것은 1단계부터 r단계 순으로 단계별 나열하는 것을 의미 1 단계 올 수 있는 원소의 개수 : n개 2 단계 올 수 있는 원소의 개수 : n개 (중복이 허용되므로) ∴ 곱의 법칙에 의해 r개의 원소를 나열하는 경우의 수

16. 중복 순열 • 예제 5 한 바이트로 만들 수 있는 이진수의 개수는 몇 개인가? [풀이] 한 바이트는 8 비트므로 총 8 단계로 0 또는 1의 수를 나열하는 것으로 풀이할 수 있다. 비트 단계별로 가질 수 있는 수는 각각 2 가지므로 28=256 그러므로 총 256 가지의 수를 만들 수 있다.

17. 9.3 조 합 원소 n개를 갖는 집합에서 중복을 허용하지 않고 순서에 상관없이r개의 원소를 선택하는 방법  로 표시 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

18. 9.3 조 합 • Note that C(n,r) = C(n, n−r) • T에서 r개의 member를 선택하는 방법은 T에서 (n-r)개의 non-member를 선택하는 방법과 동일하다. Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

19. 9.3 조 합 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

20. 9.3 조 합 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

21. 9.3 조 합 • 파스칼의 삼각형은 다음과 같이 설명될 수 있는데, 이를 통하여 이항 계수를 쉽게 계산할 수 있음 • 각 행에 있는 첫 번째 숫자와 마지막 숫자는 1임 • 삼각형 안의 다른 숫자들은 파스칼의 삼각형과 같이 모두 그 숫자 위로부터 연결된 두 수들을 더함으로써 얻어질 수 있음 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

22. 9.3 조 합 파스칼의 삼각형으로부터 이항 계수를 구하는 예 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

23. 중복조합(combination with repetition) • r-중복조합 • 원소 n개를 갖는 집합에서 r개의 원소를 중복을 허용하여 순서에 상관없이 선택하는 방법 • 예제 6 • 세개의 문자 A,B,C에서 중복을 허용하여 5개를 뽑는 경우의 수 • A AAAA, B BBBB, C CCCC, A B BBB, A A B BB • A AA B B, A AAA B, A C CCC, A A C CC, A AA C C • A AAA C, B C CCC, B B C CC, B BB C C, B BBB C • A B B C C, A A B C C, A A B B C, A AA B C, A B BB C, A B C CC

24. 중복조합(combination with repetition) • r-중복조합의 개수 원소 n개를 갖는 집합에서 r -중복조합의 경우의 수 다음과 같다. [풀이] n개의 원소에서r -중복조합을 구하는 문제는 r개의 빈칸(V )와 n-1 개의 칸막이(/)를 r + n -1 개의 빈칸에 넣는 문제와 같다. 즉, r + n -1 개에서 r개 또는 n-1 개를 선택하는 문제다. 그러므로 가 성립한다.

25. 중복조합 • 중복조합 nHr • 원소 n개를 갖는 집합에서 r개의 원소들을 순서에 상관없이 나열  r개의 빈칸에 중복을 허용하여 n개의 원소를 넣는 문제 • n-1개의 칸막이를 두고 n가지 경우를 임의의 순서로 배열 Ex) 예제 6 에서 칸막이 기호를 /로 나타낸다면, • "A B BB C“  "A / B BB / C“, "A B C CC“  "A / B / C CC" 칸막이 사이에 아무 원소도 없을 수도 있음 • "A AA C C“  "A AA / / C C“, "B B C CC“  "/ B B / C CC" • 문제 변형 • 문자가 들어갈 r개의 빈칸과 n-1개의 칸막이가 들어갈 빈칸을 모두 합한 n+r-1개의 빈칸에서, 칸막이가 들어갈 n-1개의 칸을 선택 • nHr은 n+r-1Cn-1이 된다. • nCr = nCn-r이므로 nHr= n+r-1Cr이 된다.

26. 중복조합 • [예제 7] 집합 S = {1, 2, 3, 4}에서 3 개의 원소를 선택하는 중복조합 의 수는 얼마인가? [풀이] n = 4, r = 3이므로 이 된다.

27. 9.4 이산적 확률과 통계 • 확률이란 어떤 사건 A가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것임 • 사건 A가 일어날 경우의 수를 전체의 경우의 수로 나눈 값임 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

28. 9.4 이산적 확률과 통계 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

29. 9.4 이산적 확률과 통계 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

30. 9.4 이산적 확률과 통계 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

31. 9.4 이산적 확률과 통계 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

32. 9.5 비둘기 집 원리 비둘기 집 원리는 19세기 말 프랑스의 수학자인 디리클레(Dirichlet)에 의해 시작됨 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

33. 비둘기집 원리 (pigeonhole principle) • 비둘기집의 원리 • n은 자연수이고,   만약  (n+1) 마리의 비둘기와 n 개의 비둘기집이 있다면, 반드시 어떤 비둘기집에는 두 마리 이상의 비둘기가 있다 • 위의 원리를  함수의 형식으로 표현하면 • X, Y 는 공집합이 아닌 두 집합이고, • 원소의 개수가 각각 X는 (n+1)  개,  Y 는 n 개 • 함수 F : X →Y는 단사함수가 아니다.

34. 비둘기집 원리 • [예제8] • 한 변의 길이가 2 인 정사각형에 5 개의 점이 있으면, 두 점 사이의 거리가  √2 보다 작은 두  점이 반드시 존재한다. [풀이] • 한 변의 길이가 1인 네 개의 작은 정사각형으로 자르면 • 비둘기집 원리에 의하여 5개의 점 중에서 반드시 어떤 두점은 같은 작은 정사각형 안에 있게 된다. • 따라서, 그러한 두 점은 두 점 사이의 거리가 √2 보다 작게 된다.

35. 비둘기집 원리 • [예제 9] 임의의 양의 정수 열한 개 중에는 두 수의 차가 10의 배수가 되는 짝이 적어도 한 쌍이 있다. • 풀이.     임의의 양의 정수의 1의 자리 수는 0부터 9까지 열까지 ( 비둘기 집 의 수 ) 뿐이므로 열 한 개 (비둘기 수)의 양의 정수 중에는 1의 자리의 수가 같은것이 적어도 한 쌍 있다. 이 때 이 두 수의 차는 10의 배수이다. • [예제 10] 8 명의 학생이 모여 있다. 그러면 생일의 요일이 같은 학생들이 반드시 있다. • 풀이.  8 명의 학생이 있고, 요일은 모두 7 개이므로, 비둘기집 원리에 의하여 생일의 요일이 같은 학생들이 반드시  있다.  

36. 비둘기집 원리의 일반화 • If N objects are assigned to k places, then at least one place must be assigned at least N/k objects.(N개의 객체가 k개 장소에 배정된다면, 적어도 한 곳은 N/k개 객체를 가진다.) • E.g., there are N=280 students in this class. (학생 280명)There are k=52 weeks in the year. (한 해는 52주) • Therefore, there must be at least 1 week during which at least 280/52= 5.38=6 students in the class have a birthday. • (일반화된 비둘기 집 원리에 의해서)최소 6명의 학생은 같은 주에 생일이 들어 있게 된다.

37. 예제 11(생일이 같은 달…):100명 중에서 적어도 몇 명은 같은 달에 태어났다고 볼 수 있는가? • 100/12 = 9명 • 적어도 9명은 태어난 달이 같게 된다.

38. 9.5 비둘기 집 원리 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

39. 재귀적 관계식(= 되부름 관계식) • 재귀법(recursion) • 하나의 문제를 그보다 값이 작은 동일한 문제로 계속 단순화시켜 해결하고자 하는 방법 • 재귀법 문제해결을 위해 규칙필요 • 초기조건(initial condition) • 재귀조건(recursion condition)

40. 9.6 재귀적 정의 (1) 재귀적 관계식 재귀적 정의의 가장 간단한 예로는 정수의 계승(factorial)을 들 수 있음 재귀적 정의를 적용하면 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

41. 9.6 재귀적 정의 • 재귀적 관계를 이용하는 문제를 해결하기 위해 2단계 적용 • 주어진 문제를 원래의 문제와 같은 형태의 더 작은 문제들로 분할함 • 가장 작은 문제로 분할된 문제들의 해를 구한 후, 최종적으로 이들을 결합하여 주어진 문제의 해를 구함 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

42. 9.6 재귀적 정의 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

43. 9.6 재귀적 정의 • 재귀적 관계에 의해 나타나는 현상들의 예로 프랙탈(Fractals)을 들 수 있음 • 재귀적 관계는 물리학에서의 동역학계와카오스(Chaos)를 비롯한 지능 시스템 분야에서 많이 활용되고 있음 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

44. 9.6 재귀적 정의 (2) Factorial Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

45. 9.6 재귀적 정의 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

46. 9.6 재귀적 정의 Factorial 값을 구하는 재귀 프로그램의 결과 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

47. 9.6 재귀적 정의 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

48. 9.7 피보나치 수와 하노이 탑 (1) 피보나치 수(Fibonacci numbers) 피보나치 수를 구하면 트리를이용하면 보다 명확하게 이해 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

49. 9.7 피보나치 수와 하노이 탑 따라서 Fib(0), Fib(1), Fib(2), Fib(3), Fib(4), Fib(5), Fib(6), …은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

50. 9.7 피보나치 수와 하노이 탑 피보나치 수를 구하는 재귀 프로그램 Discrete Mathematics Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계