Varianciaanalízis

1. Varianciaanalízis 12. gyakorlat

2. ANOVA: ANalysis Of VAriance • Neve félrevezető: nem varianciák, hanem átlagok összevetésére dolgozták ki • Lényegében a kétmintás t-próba kiterjesztése kettőnél több alapsokaság ismeretlen várható értékének az összehasonlítására.

3. Mit vizsgálunk az ANOVA-val:egy folytonos változónak vajon eltérőek-e a várható értékei egy nominális változó különböző kategóriáiban, avagy több nominális változó kategóriáiból képezhető kategória-kombinációkban. Folytonos változó: függő változóNominális változó(k): magyarázó változók Faktor (tényező), a kategóriák csoportok.

4. A faktorok számától függően beszélhetünk • egyfaktoros (egytényezős, egy szempontos, egy utas, one-way ANOVA) • többfaktoros (többtényezős, több szempontos, több utas, multi-way ANOVA) varianciaelemzésről. • A csoportokban levő mintavételi objektumok száma ha • azonos minden csoportban → kiegyensúlyozott (balanced) elrendezésű ANOVA • eltérő a csoportokban → kiegyensúlyozatlan (unbalanced) elrendezésű ANOVA

5. A varianciaanalízis munkamenete: • megvizsgáljuk, hogy van-e hatása a faktoroknak (F-próba) • ellenőrizzük, hogy az adatainkra illesztett ANOVA modell teljesíti-e az alkalmazhatósági feltételeket • ha a modellünk megfelel a feltételeknek, akkor ún. post-hoc teszteket alkalmazva megvizsgáljuk azt, hogy mely csoportok átlagai különböznek egymástól.

6. Egyfaktoros ANOVA kiegyensúlyozott elrendezéssel • A módszer alapgondolata: • A függő változó teljes varianciája additív módon felbontható két részre: • csoportok közötti varianciára(between group variance) - a csoportátlagoknak az összevont Y adatok átlaga (ún. főátlag) körüli variációja;a magyarázó változó hatását foglalja magába • csoporton belüli varianciára(within group variance) - az egyedi yi megfigyeléseknek az adott csoportjuk átlaga körüli ingadozásából eredő variáció;a véletlen eseti hibát foglalja magába.

7. yCl

8. Ha a faktornak van hatása Y-ra: • a csoportok közötti variancia rész nagyobb, mint a csoporton belüli variancia. • Ha nincs hatása Y-ra: • a csoportok közötti variancia megegyezik a csoporton belüli varianciával • ez azt jelenti, hogy Y értékét nem befolyásolja az, hogy egy megfigyelés a faktor melyik csoportjába tartozik, az Y értékei között tapasztalt különbségek a véletlen ingadozásnak tudhatók be.

9. Az egyes varianciafrakciók számszerűsítése eltérés-négyzetösszegekkel történik • A teljes eltérés-négyzetösszeg (SStotal) a csoportok közötti (SSbetween) és csoporton belüli (SSwithin) eltérés-négyzetöszeg összege: • A lineáris regressszóhoz hasonlítva:a csoportok közötti eltérés-négyzetösszeg a regressziós, míg a csoporton belüli pedig a hiba eltérés-négyzetösszegnek felel meg.

10. A függő változó teljes varianciája: • A csoportok közötti variancia: • A csoporton belüli variancia:

11. A faktor hatásának szignifikanciatesztje • Próbastatisztika:A csoportok közötti és a csoporton belüli eltérés-négyzetösszeget osztva a szabadsági fokaikkal:közepes eltérés-négyzetösszegeket (Mean of Sum of squares).A csoportok közötti és a csoporton belüli közepes eltérés-négyzetösszeg hányadosa az F próbastatisztika (ld. a köv. dián!) • H0:a csoportok alapsokaságbeli átlagai azonosak:µ1 = µ2 = … = µk • H1:van legalább két olyan csoport, melyeknek különbözik az alapsokaságbeli átlaga. (egyoldali hipotézis!)

12. A variancia-felbontás és az F-próba eredménye - ANOVA-táblázat

13. Alkalmazhatósági feltételek: • függetlenség:a mintavételi objektumok függetlenek egymástól • normalitás:a csoportokon belül a függő változó normál eloszlású • homogenitás:a csoportokban a függő változó szórása azonos, vagyis nincs összefüggés Y csoportbeli szórása és a csoport várható értéke között • Az alkalmazhatósági feltételek ellenőrzéseAz ANOVA modell feltételeinek ellenőrzése a regresszióelemzéshez hasonlóan a reziduálisok vizsgálatával történik