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第八章 弯曲应力

第八章 弯曲应力. 纯弯曲 ：. §8-1 概 述. 横力弯曲 ：. 在横截面上，只有法向内力元素 dN=σdA 才能合成弯矩 M ，只有切向内力元素 dQ=τdA 才能合成剪力 Q. 变形几何关系. 物理关系. §8-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力. 静力学关系. 一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验 :. 从三方面考虑：. (1)aa 、 bb 弯成弧线， aa 缩短， bb 伸长 (2)mm 、 nn 变形后仍保持为直线，且仍与变为 弧线的 aa ， bb 垂直 (3) 矩形截面的宽度变形后上宽下窄

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第八章 弯曲应力

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Presentation Transcript

  1. 第八章 弯曲应力 纯弯曲： §8-1 概 述 横力弯曲：

  2. 在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素dQ=τdA才能合成剪力Q在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素dQ=τdA才能合成剪力Q

  3. 变形几何关系 物理关系 §8-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 静力学关系 一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验: 从三方面考虑：

  4. (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为 弧线的aa，bb垂直 (3)矩形截面的宽度变形后上宽下窄 梁在纯弯曲时的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。 观察到以下变形现象:

  5. 推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴 再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。

  6. 中性轴 中性层 中性层

  7. 二、物理关系

  8. 三、静力学关系

  9. 中性轴过截面形心 中性层的曲率公式： 正应力计算公式：

  10. 横截面上的最大正应力： 当中性轴是横截面的对称轴时：

  11. Wz 称为抗弯截面模量

  12. CL8TU6

  13. §8-3 横力弯曲时的正应力 正应力强度计算 • 上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 • 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。

  14. 弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度5倍(即l>5h)时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中。弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度5倍(即l>5h)时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中。

  15. 二、梁的正应力强度条件 利用上式可以进行三方面的强度计算： ①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核 梁的强度 ②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的 截面尺寸 ③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷

  16. 例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？

  17. 解：

  18. 由公式 解： 例： 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？ 可以看出， 该梁的承载能力将是原来的 2 倍。

  19. 例：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？例：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？

  20. 解： 主梁AB的最大弯矩 副梁CD的最大弯矩 由 即 得

  21. 例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）

  22. 解：

  23. 例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。

  24. 解：由弯矩图可见 该梁满足强度条件，安全

  25. 例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。

  26. 解：由题意可知 即

  27. 例：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。

  28. C截面： B截面：

  29. 例：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。

  30. 解： C点的应力 C截面的弯矩 由 得

  31. 例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？

  32. 解： C截面的弯矩 C截面下边缘的应力 应变值

  33. 例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。

  34. 解：

  35. 例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。

  36. 解： 由此得

  37. §8-4 弯曲剪应力和强度校核 一、矩形截面梁的剪应力

  38. 二、工字形截面梁的剪应力 腹板 翼缘 在腹板上：

  39. 在翼缘上，有平行于Q的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。在翼缘上，有平行于Q的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。 在翼缘上，还有垂直于Q方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。

  40. 对于标准工字钢梁：

  41. 三、圆截面梁的剪应力 下面求最大剪应力：

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