Capítulo 19

1. Capítulo 19 La minimización de los Costos

2. Cost Minimization • Una empresa es minimizadora de costos si obtiene cualquier nivel de producción y ³ 0 al costo más bajo posible. • c(y) denota el costo total más bajo posible par producir y unidades de producto. • c(y) es el costo total de la empresa.

3. Cost Minimization • Cuando la empresa enfrenta como dados los precios de los insumos w = (w1,w2,…,wn) el costo total se escribe como: c(w1,…,wn,y).

4. The Cost-Minimization Problem • Consideremos una empresa que emplea dos insumos para obtener un cierto producto. • La función de producción esy = f(x1,x2). • Tomemos el volúmen de producción y ³ 0 como dado. • Dados los precios de los insumos, w1 y w2, el costo del conjunto de insumos (x1,x2) es w1x1 + w2x2.

5. The Cost-Minimization Problem • Dados los precios, w1 y w2 y el volúmen de producción y, el problema de minimización de costos de la empresa es Sujeto a

6. The Cost-Minimization Problem • Las cantidades x1*(w1,w2,y) y x1*(w1,w2,y) en el conjunto de insumos de menor costo, vienen a ser las demandas condicionales de la empresa por los insumos 1 y 2. • El costo total (más bajo posible) para producir el nivel y es, en consecuencia

7. Conditional Input Demands • Dados w1, w2 e y, ¿cómo encontramos el conjunto de insumos de menor costo? • ¿y cómo la estimamos?

8. Iso-cost Lines • La curva que contiene todas las canastas de insumos con el mismo costo total se conoce como curva isocosto. • Por ejemplo, dados w1 y w2, la recta isocosto para un costo de $100 tiene la ecuación

9. Iso-cost Lines • Generalmente, dados w1 y w2, la ecuación de la isocosto está dada poro, lo que es lo mismo • La pendiente es - w1/w2.

10. Iso-cost Lines x2 c” º w1x1+w2x2 c’ º w1x1+w2x2 c’ < c” x1

11. Iso-cost Lines x2 pendiente = -w1/w2. c” º w1x1+w2x2 c’ º w1x1+w2x2 c’ < c” x1

12. La isocuanta de producción y’ x2 De todos los conjuntos de factoresque generan y’ unidades de producto, ¿cuál es la de menor Costo? f(x1,x2) º y’ x1

13. El problema de minimización de costos x2 De todos los conjuntos de factoresque generan y’ unidades de producto, ¿cuál es la de menor Costo? f(x1,x2) º y’ x1

14. x2 f(x1,x2) º y’ x1

15. x2 f(x1,x2) º y’ x1

16. x2 x2* f(x1,x2) º y’ x1* x1

17. Para este conjunto de insumos: x2 x2* f(x1,x2) º y’ x1* x1

18. x2 Y la pendiente de la isocosto = pendientede la isocuanta x2* f(x1,x2) º y’ x1* x1

19. x2 En otras palabras: x2* f(x1,x2) º y’ x1* x1

20. Un ejemplo con la función de producción Cobb-Douglas • Los precios de los insumos son w1 y w2. • ¿Cuáles son las demandas condicionales de insumos de la empresa?

21. Para el conjunto de insumos (x1*,x2*) que minimiza el costo de producir y unidades se cumple: y

22. (a) (b)

23. (a) (b) De (b),

24. (a) (b) De (b), Y sustituyendo en (a)

26. En consecuencia Es la demanda condicional del insumo 1 por parte de la empresa.

27. Como y Es la demanda condicional del insumo 2 por parte de la empresa.

28. Así, el conjunto de insumos de menor costopara producir y unidades, es

29. Curvas de demanda condicional de insumos w1 y w2, están dados

30. w1 y w2, están dados

31. w1 y w2, están dados

32. w1 y w2, están dados

33. w1 y w2, están dados Ruta deexpansiónde laproducción

34. Demandacondicionaldel insumo 2 w1 y w2, están dados Ruta deexpansiónde laproducción Demandacondicionaldel insumo 1

35. Para la función de producción El conjunto de insumos de menor costo paraobtener y unidades es

36. En consecuencia, la función de costo total de la empresa es

40. Un ejemplo con la función de producción de complementarios perfectos • La función de producción es • Los precios de los insumos son w1 y w2. • ¿Cuál es la demanda condicional por el insumo 1 y por el insumo 2? • ¿Cuál es la función de costo total de la empresa?

41. x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} º y’ x1

42. x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} º y’ x1

43. ¿Dónde se enuentrael conjunto de insumosde menor costo y quepermite obtener y’ unidades? x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} º y’ x1

44. x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} º y’ x2* = y x1* = y/4 x1

45. La función de producción es Y las demandas condicionales de insumos son y

46. Y la función de costo total de la empresa es

48. Costo Medio de Producción • Para valores positivos de y, el costo medio de producir y unidades es

49. Retornos a escala y costo total • Las retornos a escala de la tecnología de una empresa, determinan cómo cambia el costo medio con el nivel de producción. • La empresa está ahora produciendo y’ unidades. • ¿Cómo cambia el costo medio si la producción fuera 2y’?

50. Retornos a escala constantes y costo medio • Si la tecnología de la empresa presenta retornos a escala constantes, entonces al duplicar el nivel de producción se requiere duplican también el empleo de todos los insumos.