Kompetenzstrukturen

Kompetenzstrukturen Eva Hillemann eva.hillemann@edu.uni-graz.at Eva Reiser evamaria.reiser@edu.uni-graz.at 12.06.2007 SEzur Vertiefung Allgemeiner Psychologie: Wissenspsychologie

Überblick • Wissensraum-Theorie von Doignon & Falmagne • Kompetenz-Performanzstruktur-Theorie von Korossy • Kompetenzstrukturen • Kompetenzordnungen • Kompetenzraum • Repräsentationsproblem

Wissensraum-Theorie Grundlegende Idee (Korossy, 1993) • das Wissen einer Person bezüglich einer Menge von Aufgaben soll möglichst ökonomisch diagnostiziert werden Annahme: man kann von der Lösung einer Aufgabe auf die richtige Lösung einer anderen Aufgabe schließen • dadurch müssen nicht alle Aufgaben vorgelegt werden  adaptives Testen

Wissensraum-Theorie Surmise Relation • Annahme: bei Beobachtung der richtigen Lösung einer bestimmten Aufgabe, ist die richtige Lösung bestimmter anderer Aufgaben zu erwarten (Korossy, 1993) • Beispiel: • Person X löst Aufgabe b richtig • diese Lösung von Aufgabe b, lässt vermuten, dass die Person X auch die Aufgabe a richtigen lösen kann

e d b c a Wissensraum-Theorie Surmise Relation – Beispiel, Hasse-Diagramm • Löst die Person Aufgabe b, löst sie auch Aufgabe a. • Löst die Person Aufgabe d, löst sie auch die Aufgaben b und a. • Es sollte keine Person geben, die Aufgabe b lösen kann, aber Aufgabe a nicht. • Verständnisfrage: Wenn die Person Aufgabe e lösen kann, welche Aufgaben kann sie dann laut dem Diagramm noch lösen? aus Falmagne et al,1990;zitiert nach Cudrigh, 2002

Wissensraum-Theorie • die Surmise Relation schränkt die Menge aller möglichen Wissenszustände ein (Korossy, 1993) • dh. nur bestimmte Teilmengen von Aufgaben werden als Wissenszustände akzeptiert (Korossy, 1993)

Wissensraum-Theorie Wissensstruktur • geordnetes Paar (A,K) • bestehend aus: • einer Menge A von „Aufgaben“ und • einer Familie K von Teilmengen von A, welche „Wissenszustände“ genannt werden Korossy, 1993

Wissensraum-Theorie Menge K • Menge aller möglichen Wissenszustände • enthält alle möglichen Teilmengen der Aufgabenmenge A, welche aufgrund der Surmise Relation erwartet werden • inkludiert die leere Menge • inkludiert die Menge A • Schnittmengen-Abgeschlossenheit • Vereinigungsmengen-Abgeschlossenheit Cudrigh, 2002

Wissensraum-Theorie Defizite • keine Angaben möglich bezüglich: • welches „Wissen“ tatsächlich für die Lösung der Aufgaben erforderlich ist • welche weiteren Aufgaben mit dem vorhandenem Wissen lösbar wären • welches Wissen eine Person noch erwerben muss, um eine Aufgabe, die sie zunächst nicht lösen kann, später richtig zu lösen Cudrigh, 2002

KOMPETENZ-PERFORMANZ-STRUKTUR-THEORIEKPS-Theorie aus Korossy, 1993

KPS-Theorie • Erweiterung der Wissensstruktur-Theorie von Doignon & Falmagne Einführung einer zusätzlichen Theoriekomponente = Kompetenz-Performanz(struktur)-Theorie • Kompetenz: nicht beobachtbare, theoretisch unterstellte Fähigkeit, Fertigkeit • Performanz: beobachtbares Lösungsverhalten bei Aufgaben

Grundannahmen der KPS-Theorie • Vorgegebener Wissensbereich w dargestellt durch eine endliche, nichtleere Menge Kvon „Kompetenzzuständen“ • Wissen, Fähigkeit einer Person bzgl. des Wissensbereichs ω zu einem bestimmten Zeitpunkt ist ein bestimmter Kompetenzzustand und somit ein Element von K

Grundannahmen der KPS-Theorie • Die Menge K von Kompetenzzuständen k wird verstanden als eine Menge nicht unmittelbar beobachtbarer, theoretischer Konstrukte • K kann strukturiert sein • k sind oft selbst spezifiziert als strukturierte Teilmengen Evon Elementarkompetenzen

Grundannahmen der KPS-Theorie • Wissensbereich ω lässt sich auch erfassen durch eine Menge A von „Aufgaben“, wobei für jede Aufgabe gilt • x ist „spezifisch“ für den gegebenen Wissensbereich: x ist ausschließlich mit dem in K modellierten Wissen lösbar • x ist „selektiv“: für jeden Kompetenzzustand kann entschieden werden, ob x gelöst werden kann

Grundannahmen der KPS-Theorie • Person kann bestimmte Aufgaben lösen, oder nicht: Lösungsverhalten ist beobachtbar • Teilmenge der gelösten Aufgaben aus A (Lösungsmuster) nennt man „Performanzzustand“ der Person • Aufgrund der strukturellen Beziehung zwischen Kompetenzzuständen und Aufgaben ist es durch den Performanzzustand möglich, Rückschlüsse auf den Kompetenzzustand zu ziehen.

4 Komplexitätsebenen • Ebene der Elementarkompetenzen • U.U. in sich komplexe Struktur von Elementarkompetenzen: strukturelle Beziehungen zwischen den Elementarkompetenzen • Möglichkeit, dass auf Menge E der Elementarkompetenzen eine Surmise-Relation mit vorgegeben • Ebene der theoretischen Konstrukte

4 Komplexitätsebenen • Ebene der Kompetenzzustände • „Repräsentation“ und „Identifikation“ durch Performanzzustände • Ebene der theoretischen Konstrukte • Ebene der Aufgaben • Bezug einer Aufgabe auf die zu ihrer Lösung erforderlichen Kompetenzen • Empirisch beobachtbare „Indikatoren“

4 Komplexitätsebenen • Ebene der Performanzzustände • Aufgrund der Lösungserfolge oder – misserfolge bei einer adaptiv ausgewählten Teilmenge von Aufgaben wird auf den Performanzzustand einer Person geschlossen • Performanzdiagnose - Kompetenzdiagnose

Kompetenzstrukturen • Vorstellung, dass aus einer Menge von Elementarkompetenzen bestimmte Teilmengen als Kompetenzzustände ausgezeichnet werden • zu jeder Elementarkompetenz existiert mindestens ein Kompetenzzustand, in welchem die Elementarkompetenz enthalten ist Korossy, 1993

Kompetenzstrukturen Kompetenzstruktur • geordnetes Paar (E, K) • bestehend aus: • einer endliche, nichtleere Menge E von „Elementarkompetenzen“ • nichtleere Familie K von Teilmengen von E, deren Elemente „Kompetenzzustände“ genannt werden • man nimmt an, dass für jedes eE ein Kompetenzzustand existiert, so dass ek Korossy, 1999

Kompetenzstrukturen • die Menge E kann strukturiert sein (zB: surmise structures) • diese Strukturen begrenzen dann die Familie K der Kompetenzzustände (Korossy, 1999) • zu jeder Elementarkompetenz diejenigen Teilmengen von E selektieren, die gemeinsam mit der jeweiligen Elementarkompetenz auftreten können (Korossy, 1993)

Kompetenzstrukturen • Funktion definiert, die jedem Element von E eine Familie von Teilmengen aus E zuordnet • Teilmengen = Kompetenzzustände • Postulate • zu jedem Element aus E existiert ein Kompetenzzustand • jeder Kompetenzzustand von einem Element aus E enthält dieses Element selbst Korossy, 1993

e4 e3 e2 e1 Kompetenzstrukturen Beispiel: • E:= {e1, e2, e3, e4} • e1 = Addieren • e2 = Subtrahieren • e3 = Multiplizieren • e4 = Dividieren • K1:= {{e1}, {e1, e2}, {e1,e2,e3}, {e1,e2,e3,e4}} • K2:= {{e1,e2}, {e1,e2,e3}, {e1,e2,e3,e4}} • K3:= {e1,e2,e3}, {e1,e2,e3,e4}} • K4:= {e1,e2,e3,e4}

Kompetenzstrukturen • Umgekehrt: Funktion definiert, die jeder Elementarkompetenz e die Menge Ke aller e enthaltenden Kompetenzzustände zuordnet • Quasi-Surmise-Funktion K Korossy, 1993

Kompetenzstrukturen Diskriminative Kompetenzstrukturen • zwei Elementarkompetenzen als identisch betrachten, wenn sie denselben Kompetenzzuständen angehören • mathematisch: Äquivalenzrelation  Äquivalenzklassen Korossy, 1993

Kompetenzstrukturen Äquivalenzklassen • die Äquivalenzrelation teilt die Menge E in paarweise disjunkte Teilmengen • Teilmengen = Äquivalenzklassen oder „Blöcke“(Korossy, 1993)

Kompetenzstrukturen Äquivalenzklassen • zwei Mengen sind disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen • mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei von ihnen disjunkt sind • Beispiel:A = {1,2,3}; B = {4,5} und C = {5,6,7} sind NICHT paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen nicht leer ist http://de.wikipedia.org/wiki/, 29.05.2007

Kompetenzstrukturen Diskriminative Kompetenzstrukturen • eine Kompetenzstruktur heißt diskriminativ, wenn jede Äquivalenzklasse genau eine Elementarkompetenz enthält • durch Identifizierung äquivalenter Elementarkompetenzen  Übergang von einer nicht-diskriminativen zu einer diskriminativen Kompetenzstruktur möglich • E verkleinert sich • ev. besteht ein Kompetenzzustand dann nur noch aus einer Teilmenge der zuvor enthaltenen Elementarkompetenzen • Anzahl der Kompetenzzustände ändert sich nicht Korossy, 1993

Kompetenzstrukturen Im folgenden Beispiel wird eine vereinfachte Schreibweise verwendet: • {12, 13, 123} = {{1,2}, {1,3}, {1,2,3}} • Beistriche zwischen den Teilmengen sind als einschließende Oder-Zeichen zu verstehen

Kompetenzstrukturen K: E  ρ(K) • Äquivalenzklassen{1}, {2}, {3}, {4, 6}, {5, 7} • nicht diskriminativ • Reduktion der Menge E auf E‘ • E‘ = {1,2,3,4,5} aus Korossy, 1993

Kompetenzordnungen • Menge K aller Kompetenzzustände einer Kompetenzstruktur (E,K) ist in natürlicher Weise durch die Teilmengenbeziehung partiell geordnet: • reflexiv • transitiv • antisymmetrisch Korossy, 1993

Kompetenzordnungen • Aufgrund Halbordnung kann graphische Darstellung vereinfacht werden • Der wegen der Reflexivität für jedes Element existierende, auf sich selbst gerichtete Pfeil wird weggelassen. • Die Pfeilspitzen werden weggelassen und es wird vereinbart, dass jede eingezeichnete Linie einen aufwärtsgerichteten Pfeil darstellt. • Existiert für Elemente a, b, c, A ein Pfeil von a nach b und ein Pfeil von b nach c, so wird der durch die Transitivität geforderte Pfeil von a nach c weggelassen. aus Albert, 2004

Kompetenzordnungen • Ketten von Kompetenzzuständen • schrittweise zu durchlaufende „Lernpfade“ • sog. „Kompetenzzustands-Pfade“ oder „Kompetenzzustands-Ketten“ • Kompetenzordnung = „Kompetenzzustands-Netz“ • vollständige Darstellung einer Kompetenzordnung als die Menge sämtlicher Pfade von Kompetenzzuständen Korossy, 1993

Kompetenzordnungen Beispiel • E:= {1,2,3,4} • K:= {Ø,1,3,12,23,1234} 1234 23 12 1 3 Ø vereinfachtes Beispiel aus Korossy, 1993

Kompetenzordnungen • Beispiel und Verständnisfrage ? vereinfachtes Beispiel aus Korossy, 1993

Kompetenzordnungen • Beispiel vereinfachtes Beispiel aus Korossy, 1993

Kompetenzräume • Anlehnung an den Begriff des „Wissensraumes“ in der Theorie von Doignon & Falmagne • Eine Kompetenzstruktur (E, K) heißt Kompetenzraum, wenn enthalten sind: • Die leere Menge sowie der Kompetenzzustand E (alle Elementarkompetenzen) • 2 Kompetenzzustände und deren Vereinigungszustand: K1 = {a,b} K2 = {a,c,d} K1 K2 = {a,b,c,d} Korossy, 1993

Quasiordinale Kompetenzräume • In Anlehnung an Konzept des „quasiordinalen Wissensraumes“ von Doignon & Falmagne • Vereinigungsstabiler Wissensraum, der zudem durchschnittsstabil ist • Quasiordnung der Wissenszustände K1 = {a,b} K2 = {a,c,d} K1 K2 = {a} Korossy, 1993

Repräsentationsproblem • Kompetenzstrukturen nicht direkt beobachtbar: • müssen über beobachtbare Performanzen formuliert und experimentell geprüft werden • Theoretische Interpretation und Erklärung von Beobachtungen auf der Ebene von Performanzen (Aufgaben-Lösungsmuster) durch Aussagen über korrespondierende Kompetenzen Problem der uneindeutigen Zuordnung von Kompetenzen zu beobachtbaren Performanzen • Klärende Aussage zu Problem: Erstellung einer Performanzstruktur aufgrund einer vorgegebenen Kompetenzstruktur Korossy, 1993

Vorschläge für den CbKST-Kurs • Feedback für die lernende Person anhand eines Kompetenz-Lernpfades (1) • grundsätzlich: von Performanzstruktur auf Kompetenzstruktur schließen • Kompetenzen definieren, ev. die einzelnen Bereiche des CbKST-Kurses heranziehen • welche Aufgaben können mit welchen Kompetenzen gelöst werden Zuordnung der Aufgaben zu den Kompetenzen • aufgrund der durch die Surmise Relation definierte Abhängigkeitsbeziehung zwischen den Aufgaben auf die Kompetenzstruktur schließen • Kompetenzzustands-Pfade und Kompetenz-Lernpfade erstellen

Vorschläge für den CbKST-Kurs • Lernpfade visualisieren und der lernenden Person als Feedback anbieten • für die lernende Person sollte stets sichtbar sein, über welche Kompetenzen sie bereits verfügt, welche sie noch erwerben sollte und wie die Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Kompetenzen aussehen • eventuell direkte Links von der Visualisierung des Lernpfades zu den einzelnen Themen des Kurses • erhofft wird eine Motivationserhöhung für die lernende Person

Vorschläge für den CbKST-Kurs • Überprüfen der Aufgabenanzahl und der Aufgabentypen für die jeweilige Kompetenz • wenn sich eine lernende Person in einem bestimmten Kompetenzzustand befindet, sollte sie alle Aufgaben lösen können, die diesem Kompetenzzustand zugeordnet wurden • Personen in einem bestimmten Kompetenzzustand, sollten auch „neue“ Aufgaben zu diesem Kompetenzzustand lösen können, wenn sie tatsächlich über die notwendigen Kompetenzen verfügen • Aufgaben, die nicht im CbKST-Kurs vorgegeben werden, aber mit den im CbKST-Kurs benötigten Kompetenzen lösbar sein sollten, müsste eine Person lösen können, die über alle im CbKST-Kurs geforderten Kompetenzen verfügt

Vorschläge für den CbKST-Kurs • Beispiel: • Person X kann alle Aufgaben zu Mengenschreibweisen lösen, die ihr im CbKST-Kurs vorgegeben wurden • Annahme: Person X verfügt über die Kompetenz: „Wissen über Mengenschreibweisen“ • Vorgabe von neu erstellten Aufgaben zu Mengenschreibweisen • Person X sollte die neu erstellten Aufgaben lösen können, wenn sie tatsächlich über die Kompetenz „Wissen über Mengenschreibweisen“ verfügt

Vorschläge für den CbKST-Kurs • Beispiel zur Generierung neuer, paralleler Aufgaben A = {x, y, z}, B = {a, b, x}, C = {c, y}. B ∩ (A ∪ C) = ? = Beispiel 10 aus dem KST-Kurs • Parallelaufgabe zu diesem Beispiel • Einsetzen anderer Zahlen bzw. Buchstaben A = {1,2,3,4,5}, B = {5,6,7,8,9}, C = {0,1,2}. B ∩ (A ∪ C) = ?

Vorschläge für den CbKST-Kurs • Andere Schreibweise der Mengen A, B und C A = {x: 0 < x < 5}, B = {x: 5 £ x £ 9}, C = {x: 0 £ x £ 2} B ∩ (A ∪ C) = ? • Weitere Aufgaben, die gelöst werden sollen: A È B È C = ? B ∪ A ∪ C = ? B ∪ (A ∩ C) = ?

Vorschläge für den CbKST-Kurs • Neue Aufgabentypen Zuordnung von graphischen Darstellungen zu den mathematischen Ausdrücken Bsp.: Durchschnitt und Vereinigung: • A ∩ (B ∩ C) = ? 1) 2) • A ∩ (B È C) = ? • A È (B ∩ C) = ? 3) • A È (B È C) = ? 4) Lösung: a:4; b:2; c:3; d:1

Vorschläge für den CbKST-Kurs • durch neue, parallele Aufgaben wäre bezüglich des Kompetenzzustandes der lernenden Person eventuell eine genauere Diagnose möglich • um zu überprüfen, ob alle möglichen Aufgabentypen zur jeweiligen Kompetenz im Kurs enthalten sind, könnte man eine Expertenbefragung durchführen • kann eine Person, die laut dem Kurs über die Kompetenz „Wissen über Menschenschreibweisen“ verfügt, die neu erstellten Aufgaben hierzu nicht lösen: • Hinweis darauf, dass zu wenige Aufgaben vorgegeben werden, um den Kompetenzzustand genau diagnostizieren zu können (bei parallelen Aufgaben) • Hinweis darauf, dass die zu zeigenden Performanzen zu Mengenschreibweisen nicht die gesamte Kompetenz „Wissen über Mengenschreibweisen“ abdecken (bei neuen Aufgabentypen)  neue Aufgabentypen zu CbKST-Kurs hinzufügen

Vorschläge für den CbKST-Kurs • für jeden einzelnen Kompetenzzustand neue Aufgaben erstellen • Personen vorgeben, die sich laut ihrem Lernpfad im jeweiligen Kompetenzzustand befinden • Überprüfen, ob die Personen die neu erstellten Aufgaben lösen können • falls nicht: • Hinzufügen neuer, paralleler Aufgaben und/oder • Hinzufügen neuer Aufgabentypen • angestrebt wird eine Überprüfung bzw. Verbesserung des CbKST-Kurses hinsichtlich seiner diagnostischen Qualität bezüglich des Kompetenzzustandes einer Person

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

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