金融工程基本分析方法

金融工程基本分析方法 • 第一节无套利定价 • 第二节风险中性定价 • 第三节状态价格定价

套利 & 有效市场 • 套利的定义 1. 无期初投入 2. 无风险的报酬 • 有效市场消灭套利动态的平衡

套利机会 一家银行公布的不同存（贷）期的利率表 i 当前六个月的年息为10% ii 第七月到第一年底的年息为 11% iii 一年的年息是 12% 是否有套利的机会？？

套利机会 • 年初：借入 x 元（按6月期10%）; 贷出 x 元（按1年期12%） • 六月（年中）：借入 x e^(0.1*0.5) （按6月期11%）; 归还 x e^(0.1*0.5) -- 偿还第一个六月借入资金的本息

套利机会 • 年末：收回贷款，得本息共 x e^(0.12) 需偿还后六个月借款的本息，共 x e^(0.1*0.5)e^(0.11*0.5）套利 x [e^(0.12) - e^(0.105)]

思考 • 如果后六月利率为15%，有套利机会吗？如果有，如何套利？ • 无套利机会的后六月利率？

无套利法定价 • 两家公司A和B，每年的息税前收益都是1000万元。 • A的资本都是由股本组成，100万股，股票收益为10%。 • B的资本为股票和债券，4000万企业债券，年利率8%，股份数60万股。 • 问：无套利条件下，B公司的股价？

无套利法定价 • A公司价值 1000万/10% = 10000万 A股票价格 10000万/100万 = 100（元） • B公司的价值（根据无套利原则）也为 10000万，则股票价格为 (10000万 – 4000万)/60万=100（元）

无套利法定价应用 • 金融工具的模仿构建金融工具的组合，使之和被模仿的金融工具具有相同/似的盈亏状况 • 金融工具的合成构建金融工具的组合，使之和被模仿的金融工具具有相同的价值

金融工具的模仿 • 买入一个单位看涨期权，同时卖出一个单位的看跌期权，来模仿一个股票的盈亏。设：看涨期权价格c，看跌期权价格p，执行价格X，到期日T，到期日价格S(T)。

金融工具的模仿 • 组合价值 max(0,S(T)-X) – max(0,X-S(T)) • 构造模仿股票的成本 c – p • 该组合到期盈亏 S(T) – X – c + p

金融工具的模仿 • 相似的盈亏盈亏的差别由 c-p 的数值决定 • 巨大的杠杆效应杠杆效应的大小由该股股价和c-p的比值决定

金融工具的模仿 • 比如股价为10元，模仿股票成本c-p=0.1元，用10元的投资，可以购买1股股票，也可以购买100股模仿股票忽略模仿股票成本，模仿股票提供了1:100的杠杆效应

金融工具的合成 • 以股票为例，合成股票的价值和被模仿股票完全相同。 • 利用价格变化可以创造合成股票和标的股票之间的无风险套利机会

金融工具的合成 • 条件如前例，合成股票的构成是一个看涨期权多头，一个看跌期权空头和一份无风险债券。 • 根据合成股票的定义，可得债券的价值是x e^(-r(T-t))， r是无风险利率

金融工具的合成 • 合成股票的价值，应该等于标的股票价值 • 到期日（T）： S(T) – X + X = S(T) • 任何时间（t）： S = c – p + Xe^(-r(T-t))

金融工具的合成 • 因为期末现金流为零，所以在任何时间内，如果 S 不等于 X。如，无风险债券成本的变化，市场就会出现套利的可能。 • 在一定时间内，合成股票和标的股票的价格差异，引起了套利

风险中性定价法 • 风险中性的投资者不需要额外的收益来吸引他们承担风险。 • 所有证劵的预期收益率都等于无风险利率。

风险中性定价原理 • 一个不支付红利的股票市价是10元，我们知道，在3个月后，该股价格为11元的可能性为p，价格为9元的可能性为（1-p）。如目前无风险年利率是10%， • 求： 3个月期，执行价格为10.5元的股票的欧式看涨期权。

风险中性定价原理 根据风险中性原理，期权价格为

风险中性定价和无套利定价 • 两者定价的思路不一样，但是可以达到相同的效果。 • 风险中性：未来期望值的无风险利率贴现的现值等于目前价格 • 无套利：现金流无变化，有效期内价值相等，无套利机会

风险中性定价和无套利定价 • 例题：当前一股票的价格为S，基于该股票的期权价值为f，有效期T，在有效期内，股价可能涨到S*u（u>1）或者跌至S*d（d<1），期权收益分别为求，期权价格

无套利定价 • 设该组合由y股股票多头和一个期权空头组成。 • 不管期权末期股票价格变化，组合价值不变

无套利定价 续如果无风险利率是r，该组合现值是构造成本为

无套利定价 联立方程，得解其中

风险中性定价 • 设股票增值概率为P，该股未来期望值的现值应等于该股目前价格。 • 求风险中性概率

风险中性定价 • 根据求得的风险中性的概率，得期权价格为

状态价格定价 • 状态价格：在特定状态发生时回报为{0，1}的资产在当前的价格。 • 资产定价：基本证券的回报状况市场无风险利率水平

状态价格定价原理 • 有风险证券A，目前价格是，上升状态价格，下降状态价格是。 • 构造两个基本证券1，2。基本证券1在证券市场上升价值为1，下跌价值为0；基本证券2在证券上升价值为0，下跌价值为1。基本证券现价

证券复制过程 • 购买份基本证券1和份基本证券2来构成复制证券A。 • 复制证券A和证券A有一样的现金流，根据无套利原理，市场价格

证券复制过程 • 基本证券组合的总回报都为1元，所以该投资组合的收益率为，联立方程可得

证券复制过程 • 上式显示，决定基本证券价格的实际因素仅有三个：无风险利率，价格上升速度和价格下降速度。 • 因此，只要这样的一对基本证券存在，我们就可以复制金融市场上的任何有价证券。

证券复制过程 • 举例有价证券A的市场情况：PA = 100， r = 2%, u = 1.07, d =0.98, T-t=1 可以算出

证券复制过程 • 如有另外一个证券B，一年后的价格可能为103元，或者是98.5元。我们可以为它用刚才得到的基本证券定价 • 该组合保证在一定时期后不管市场状况如何，都产生和有价证券B相同的现金流

证券复制过程 • 用证券A和无风险证券来替代基本证券复制证券B：设用x份A证券和当前市值为y的无风险证券构成市值为I（B的价值）的组合 • 成本： I = 100x + y • 状态u • 状态d

证券复制过程 • 解上页方程可得 x = 0.5, y = 48.52 • 证券B的现值为 100 x + y = 100*0.5+48.2 = 98.52 此结果和用基本证券定价结果相同