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1. 最佳选址问题 欢迎光临指导！

2. 一、问题的提出 如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经济合理的设计方案。 14 P Q 10 8 即找一点 R ，使 R 到P、Q及直线 l的距离之和为最小。 l 河 图1 R

3. 14 P Q 10 8 l 河 图1 二、提出方案

4. 14 P Q 10 8 l 河 图1 R 方案一： 水泵站R建立在河边（即L上），则问题转化为在L上找一点R，使|RP|＋|RQ|为最小。

5. 14 14 P P Q Q 10 10 8 8 l l 河 河 图1 图2 R R 方案一： 水泵站R建立在河边（即L上），则问题转化为在L上找一点R，使|RP|＋|RQ|为最小。 方案二： 水泵站R不建在河边，则问题转化为要在L的P、Q一侧找点R，使R到P、Q及L的距离之和最小。

6. 14 14 P P Q Q 10 10 8 8 l l 河 河 图1 图2 R R 三、论证方案 方案一： 方案二：

7. P Q l R S Q' S(R )＝| PQ' | ＝ 22.72千米。 １、对于方案一：联想平几知识，用光学性质建模： 作点Q关于直线L的对 称点Q '， 连 P Q '交 L于R， 则R为所求（如图２）． 这样所需直线输水管的总长度为：

8. 14 14 P P Q Q 10 10 8 8 l l 河 河 图1 图2 R R 三、论证方案 方案一： 方案二：

9. P Q 建立如图３的 坐标系，则易得P（0，10）、 Q（ 8 ，8）设点R(x , y ) ， 则S(R)＝|PR| + |RQ| + |RM| ＝ 。　 R Q' 2、对于方案二 y 思路一： x O 图３ 这里建立的是关于x、y的二元函数模型，但求解困难。

10. 如图4，过R作L‘//x 轴，则问题 转化为在 L'上找点R， 使RP＋RQ为最小。 　　作Q关于L'的对称点 Q'，则 S(R)＝| RP | ＋| RQ | ＋y≥ | PQ' |＋y ， 取这样的 R，使 S(R)＝| PQ' |＋y 则S(R)＝ (1) y P Q l' R Q M x 图4 思路二 用判别式法可得 S(R)≥21或S(R)≤ －3. 因为S(R)≥0 故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y ＝5，于是Q'( , 2 ) PQ'的直线方程为y ＝ ，把y ＝5代入得x＝5， 故|RP|= =10 (km), | RQ|= = 6(km) , R到河岸的距离为5(km)。

11. o P Q 图5 如图5所示，建立直角坐标系， P、 Q为椭圆的焦点，L //L，且L'切椭圆于 R，根据题意，易求出直线L为： x－4y－63＝0 (1) 设L'为： x－4y＋n＝0 (2) y x L 思路三： 若把|PR|＋ |RQ|看作定值，则R在以P、Q为焦点的椭圆上，故这需在椭圆找点R，作R到L的距离最小，因此可考虑运用椭圆的定义和直线与椭圆的关系建模。 R L

12. 所以L'与L的距离为： 故输水管的总长度：S(R) ＝2a ＋9－　　　　 (5) 用△法，可得S(R)≥21或S(R) ≤ －3，由于S(R)≥0， 则S(R)≥21，即S(R)的最小值为21, 代入(5), 解得a＝8,从而d＝5,进一步可求出|PR|＝10, |PQ|＝6。 椭圆方程为：　　　　　　　 　(3) 联立(2) (3)，化简得 (4) 根据L'为椭圆的切线，得△＝0解得：n2 ＝4 9（a2－48）。由题意n< 0 ，　 则n＝－7 ，所以直线L' 为：x－4 y－7 ＝0.

13. 思路四： 联想经典的数学问题，运用费尔马点建模 如图6 ， AB//L ， RH ⊥ L，∠ PRA＝∠QRB＝ 30°. 设QB=x 则 PA＝x＋2，AR＝ 　(x＋2)， RB＝　 x 由 AB＝8　　， 得 (x＋2) ＋　 x ＝ 8 。 所以 x＝3 ，从而 RP＝10, PQ＝6 ,RH＝5 . P Q A B R l C H D 图6

14. *****方案二更经济合理***** 14 P Q 10 8 l 河 R 四、论证结论 即选这样的点 R ，使 R 到河岸 L 的距离为5千米，到工厂 P 的距离为10千米，到工厂 Q 的距离为6千米，这时所需总水管的长度为21千米。

15. ２、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图７），该如何选点？２、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图７），该如何选点？ P Q 河 图７ 五、问题引申 １、若将直线 L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。　　

16. 六、小结 １、数学建模就是把实际问题数学化。数学模型就是通过抽象和简化，使用数学语言、数学符号对实际现象给予推理、论证，从而得出实际问题结论。 　　２、建模的基本程序是：　　　　 　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 量化经验 整　理 数学符号 实际问题 数学语言 假　设 抽象概括 问 题 解 决 检 索 类 比 推 理 实践检验 实际问题的结论 数学模型 数学问题的解 评 价 运 算

17. 谢谢指导！ 请多提宝贵意见！