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債券市場理論與實務

債券市場理論與實務. 第四講 — 利率風險衡量. 目 錄：. 第一節 --- 利率風險簡介 第二節 --- 利率風險量化指標 第三節 --- 特殊形式債券利率風險 之計算 第四節 --- 風險量化指標之應用 第五節 --- 債券凸率之衡量. 第一節 利率風險簡介. 一、債券投資的風險. 策略風險. 操作風險. 利率風險. 信用風險. 1. 信用風險. 定義 ： 發行機構無法履行償付本金利息的風險 衡量方式 ： 信用評等 財務報表分析 發行者和債券市場分類的相關資訊 例如 ： 無擔保公司債 可轉換公司債.

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  1. 債券市場理論與實務 第四講 — 利率風險衡量

  2. 目 錄： • 第一節---利率風險簡介 • 第二節---利率風險量化指標 • 第三節---特殊形式債券利率風險之計算 • 第四節---風險量化指標之應用 • 第五節---債券凸率之衡量

  3. 第一節 利率風險簡介

  4. 一、債券投資的風險 策略風險 操作風險 利率風險 信用風險

  5. 1.信用風險 • 定義：發行機構無法履行償付本金利息的風險 • 衡量方式： • 信用評等 • 財務報表分析 • 發行者和債券市場分類的相關資訊 • 例如： • 無擔保公司債 • 可轉換公司債

  6. 2.利率風險（市場風險） • 定義：因目前市場殖利率或資金成本之波動引發債券價值變化之價格風險，或為結清債券部位而面臨折價變現之流動性風險。 • 衡量方式： • 存續期間 • 到期年限 • 票面利率 • 殖利率 • 附息方式

  7. 3.操作風險(清算交割風險) • 定義： • Hersatt risk—即清算風險 指款、券因交割時差所產生之風險 • 法律風險 執行合約時的風險 • 實務上： • 交割標的真偽 • 交易行為的真偽 • 交易確認紀錄 • 內部控制制度

  8. 4.策略風險 • 定義：市場參與者為其公司交易時所採用的交易方 式所產生之風險 Burton G. Malkiel債券價格五大定理應用 預測利率上升時 • 出清或減少庫存債券 • 出長券，改買短券 • 出低息票利率債券，改買高息票利率債券 • 實務上： • 停損標準 • 避險工具之應用

  9. 二、利率風險 • 債券利率風險係指市場利率改變時，債券價格波動之幅度，波動幅度愈大，利率風險就越高。 • 由於各債券價格不一，比較不同債券之利率風險高低時，採用價格變動百分比來衡量是比較合適之作法。例如：債券價格由93.5上漲至96.7時，價格變動幅度為3.2元或3.42% • 什麼樣之債券會有較高之利率風險呢？以到期期間及票面利率分析之

  10. 1.比較到期期限不同之債券 (1)不同到期期間之零息債券利率敏感度比較： 設分別有一年期及五年期零息債券，殖利率皆為6%價格分別為：PA = PB = 若殖利率同時上漲25BP則價格波動為：PA = 94,118---價格下跌222-----變動幅度 – 0.24%PB = 73,851---價格下跌875-----變動幅度 – 1.17%長期債券折現因子對同幅度利率變動敏感度較強，反映至價格變動亦較大。

  11. 債券到期期限與利率風險之關係 (2)假設債券面額100,000、票面利率6%，每半年付息一次： 本表摘自薛立言、劉亞秋合著債券市場 page 84

  12. 2.比較票面利率不同之債券 (1)設有五年期零息及票面6%之債券，殖利率皆為6%價格分別為： PA =74,726PB =100,000 若殖利率同時上漲25BP則價格波動為：PA = 73,851---價格下跌875-----變動幅度 – 1.17%PB =100,000 ---價格下跌98,953-----變動幅度 – 1.047%票面利率較低之債券，利率風險則較高。 債券價格與債息發生之時點及金額大小息息相關。債息發生之時點愈遠則複利折現因子愈大，因此在相同到期期限條件下，零息債券(折現最深)利率風險最大。

  13. 債券票面利率與利率風險之關係 (2)假設債券面額100,000、到期期限五年，每半年付息一次： 本表摘自薛立言、劉亞秋合著債券市場 page 84

  14. 3.結論： 在其他條件相同下： • 債券到期期限與利率風險呈正向關係。 • 債券票面利率與利率風險呈反向關係。 • 試問下列二張債券何者利率風險較高？ 設有二種債券，其到期期間相同、殖利率相同、但票息不同，投資人應選擇何種債券？

  15. 第二節 利率風險量化指標

  16. 一、風險年限 (DURATION) 意義：簡而言之，即為債券之平均到期期間。指將債券剩餘年限之各期支付現值 (利息或本金) 視為「部份到期」，再依每筆現金流量之現值相對於債券毛價格大小視為權數，以加權平均方式所計算出的債券平均到期期限。DURATION係債券投資中用來衡量債券價格受到市場利率水準變化時之敏感指標，由於可以作為衡量持有債券之風險強弱指標，故稱風險年限（亦稱存續期間）

  17. 1.風險年限 (DURATION)續 債券存續期間亦稱為Macaulay存續期間，乃是指債券之有效到期期間或實質回收期間(Effective Maturity)，而有別於債券之原始到期期間(Original Maturity)。是比較具有不同票息利率和不同原始到期日的二種債券之間的利率或市場風險。DURATION係將債券各項諸如票載利率、期限、還本付息條件等因素綜合考量，其長短可以代表債券價格對利率變動之敏感度大小，為衡量利率風險之一項有利工具，市場上常用來作為買賣斷報價之重要參考依據。

  18. 2.Duration意義圖示： 債券存續期間是債券加權平均年限的衡量方式，其中將每一個現金流量的時間及金額納入考量。 PVn PV1 PV2 PV3 PV4 D 平衡點 平衡點代表其左方的加權票息現值總額會完全等於右方之本金及加權票息現值總額。

  19. 3.Duration之特點： • 發行時或存續期間不支付利息之債券(如零息債券) ，其Duration等於到期日。 • 傳統之Duration債券通常較到期期間短。如票息10%之十年期債券，其Duration約七年。 • 票面利率越高， Duration 越短，債券風險也越低。 • 債券的殖利率越高， Duration 越短，反之亦然。殖利率越高，遠期現金流量折現率較近期者為高，平衡點會往左移 • 債券的 Duration 會隨時間變化，當債券越接近到期日，其平衡點會跟著移動。

  20. 4.其計算順序為： 1.債券未來現金流量分別折現成現值。 2.相加得出債券現金流量之總現值。 3.計算各期現金流量之現值占總現值之比例為權數。。即每一期加權權數則為該期現金流量之現值除以債券毛價格所得之比例。 4.以現金流量比例作為權數乘以期間，並將之加權，即得到該債券之風險年限。

  21. 二、 Macaulay Duration • 麥考雷風險年限由Frederick Macaulay 於1938年提出。 I1 I2 IN F • 債券價格 Ｐ＝───＋───＋………───＋─── (1+Y) (1+Y)2 (1+Y)N (1+Y)N n t×It n×F Σ ────＋──── • Macaulay duration t=1 (1+Y)t (1+Y)n ＝ ───────────── P式中：Ｐ：債券毛價格 Ｉ：每期債券支付利息或本金之現金流量 　　　 　Ｆ：債券到期值　　ｎ：距到期日的年數 　　　 　Ｙ：到期收益率　　ｔ：每次現金流量期間

  22. Macaulay Duration公式詳示 • 謝76

  23. 風險年限（DURATION）計算實例(一).成交日位於領息日假設Ａ債券，面額1,000,000，剩餘期限四年，一年領息一次， 票載利率1.625%，到期收益率為 3.0%。 (1) (2)  (3) (4)=(2)×(3) (5)  (6)=(1)×(5)期間 現金流量 現金因子　現金流量之現值 各期現金流量　 年期×加權權數 之加權權數────────────────────────────────────────────────── 1 16,250 0.970874 15,776.7 0.01663 0.01663 2 16,250 0.942596 15,317.2 0.01614 0.032283 16,250 0.915142 14,871.1 0.01567 0.04701 4 1,016,250 0.888487 902,924.9 0.95156 3.80624 ────────────────────────── 948,889.9 1.0000 3.90216債券現值風險年限

  24. 若半年付息一次： (1) (2)  (3) (4)=(2)×(3) (5)  (6)=(1)×(5)期間 現金流量 現金因子　現金流量之現值 各期現金流量　 年期×加權權數 之加權權數────────────────────────────────────────────────── 1 8,125 0.985222 8,004.9 0.0084 0.0084 2 8,125 0.970662 7,886.6 0.0083 0.01663 8,125 0.956317 7,770.1 0.0082 0.0246 4 8,125 0.942184 7,655.2 0.0081 0.0324 5 8,125 0.928260 7,542.1 0.0080 0.04 6 8,125 0.914542 7,430.7 0.0078 0.0468 7 8,125 0.901027 7,320.8 0.0077 0.0539 8 1,008,125 0.887711 894,923.7 0.9435 7.548 ────────────────────────── 948,534.1 1.0000 7.7707/2=3.88535債券現值 風險年限由上例可察在相同條件下，半年付息一次之債券風險年度較年付一次者為短，即同一期間付息次數越多，其風險年度會越短。

  25. (二)、成交日位於兩個付息日間 債券名稱：央債92-2 發行日：92/1/17 到期日：97/1/17 票載利率：1.625% 成交利率：2.16% 面 額：100,000,000 還本付息方式：一年領息一次，到期一次還本 成交日：93/7/29 (1) (2) (3) (4)=(2)×(3) (5) (6)=(1)×(5) 年限 現金流量 現金因子 現金流量之現值 各期現金流量　年期×加權權數 之加權權數──────────────────────────────── 0.01624 1,625,000 0.97885 1,590,630 0.0162336218 0.016233620.03178 1,625,000 0.95816 1,570,100 0.0160240971 0.03204819 0.46680 1,625,000 0.93790 1,524,090 0.0155545291 0.04666358 3.80924 101,625,000 0.91807 93,298,860 0.952187752 3.8087510 ────── ────── ──────106,500,000 97,983,680 3.90369640 債券現值 風險年限

  26. 成交日位於兩個付息日間債券名稱：央債83-2 發行日：82/12/17 到期日：89/12/17票載利率：8.25% 成交利率：5.865% 面 額：100,000,000還本付息方式：半年領息一次，到期一次還本 成交日：85/04/10 (1) (2) (3) (4)=(2)×(3) (5) (6)=(1)×(5) 年限 現金流量 現金因子 現金流量之現值 各期現金流量　 年期×加權權數之加權權數────────────────────────────────0.1857 4,125,000 0.9892206061 4,080,535 0.0363630817 0.00675598 0.6857 4,125,000 0.9610380606 3.964,282 0.0353271141 0.024227061.1857 4,125,000 0.9336586666 3.851,342 0.0343206507 0.040697171.6857 4,125,000 0.9070591515 3,741,619 0.0333428807 0.056209172.1857 4,125,000 0.8812174545 3,635,022 0.0323929573 0.070804272.6857 4,125,000 0.856112 3,531,462 0.0314700967 0.084522143.1857 4,125,000 0.8317216969 3,430,852 0.0305735280 0.097400913.6857 4,125,000 0.8080264242 3,333,109 0.0297025021 0.109477254.1857 4,125,000 0.7850060606 3,238,150 0.0288562913 0.120786444.6857 4,250,000 0.7626416518 79,410,062 0.7076508870 3.31590511 ────── ────── ────── 141,250,000 112,216,438 3.92678554債券現值 風險年限

  27. 三、Modified Duration 一般存續期間可用來衡量債券價格之利率彈性，但投資人更關心的是，當利率變動一單位時，債券價格變動之「幅度」，以便預知利率變化時，將產生多少資本利得(損失)。而修正存續期間正好有此項功能。 定義： 修正存續期間是衡量每一個百分點的利率變動所造成債券價格變動之百分比；若債券修正存續期間為 3.3%，即表示當利率變動1%時，該債券價格會變動 3.3%。例如：債券價格為1,027,500，則每一個百分點利率的變動將導致$33,907元之價格變動。

  28. 85-3公債殖利率6%，存續期間為5.45年，修正存續期間為5.14，若市場利率上升10bps(0.1%)，則公債價格變化如何？修正存續期間5.14即表示利率變動1%會引起價格變動5.14%，因此市場利率下跌10bps可直接得知價格將下跌0.514%。若利用Dmac則須計算利率百分比---0.1%/1.06 = 0.0943%，再計算價格變動百分比---0.0943%(5.45) = 0.514%

  29. MD 例題說明： 設持有5年後到期債券，面額壹億元、票面利率10%，持有收益率為8%(買入價格為107,985,420)，現因市場利率下跌至7.9%，則債券價格為多少？又市場利率上漲至8.1%時，試問債券價格變動比及價格為何？1.先計算Dmac= 4.20372.再求出MD = 4.2037/1.08 =3.89233.1計算價格變動百分比---- 3.8923×(8.0%-7.9%) = 0.38923%3.2計算價格變動百分比---- 3.8923×(8.0%-8.1%) = -0.38923%4.1計算價格變動----107,985,420× 0.38923% = 420,3124.2計算價格變動----107,985,420× -0.38923% = 420,312

  30. MD 例題說明(續) 5.1----利率下跌至7.9%時，債券價格107,985,420 + 420,312 = 108,405,732 5.2----利率上漲至8.1%時，債券價格 107,985,420 - 420,312 = 107,565,108 無論利率上升或下跌0.1%，以 MD 計算之價格變動皆為420,312，惟實際上依債券評價公式計算若利率下跌0.1%之價格變動 421,417大於利率上脹0.1%之價格變動 419,223。 為什麼？

  31. Dmac VS MD • 債券的存續期間是以時間長短來衡量，通常以年為單位；而修正存續期間則以百分比變動為單位。 • 當市場利率水準不高時， Dmac 與 MD 雖有差異但不會太大，且二者衡量結果均能保持排次(Ranking)之一致性；惟若利率水準處於高檔時，Dmac 則將因誤差太大而不宜使用。

  32. 四、Dollar Duration 定義： 當利率微小變動時，債券價格變動之「金額」為何？以便預知利率變化時，將產生多少資本利得(損失)。而價格存續期間正好有此項功能。

  33. DD VS MD • 債券的修正存續期間以百分比變動為單位；價格存續期間則以元為單位。 • 當比較不同價格之債券時，價格存續期間(或基點價值)會有無法正確指出何者利率風險較大之問題，亦即價格存續期間較大之債券，未必有較高之利率風險。 • 由於修正存續期間是衡量債券價格變動之百分比，因此針對不同價格之債券，修正存續期間要比價格存續期間更能正確評估相對利率風險。

  34. DD VS MD • 價格存續期間有一特性是修正存續期間無法取代的。當衡量債券投資組合(Bond Portfolio)之利率風險時，可將組合中之價格存續期間加總，直接求得投資組合之價格存續期間。但若欲求投資組合之修正存續期間則須藉由組合之價格存續期間反推，此乃不同債券之修正存續期間不具線性關係，不可直接加總，否則將無法確保債券投資組合修正存續期間之正確性。

  35. Ddol VS MD VS Dmac • 債券的存續期間以年為單位；而修正存續期間則以百分比變動為單位；價格存續期間則以元為單位。 • 一般存續期間 D = -( 1 + y ) MD = - ( 1 + y ) DD / P • 修正存續期間MD = - D / ( 1 + y ) = DD / P • 價格存續期間 DD = MD × P = - D × P / ( 1 + y )

  36. Ddol VS MD VS Dmac案例 • 設債券面額100萬元，到期期限三年，票面利率8%，半年付息一次，目前該債券殖利率為7.5%，試求Ddol 、 MD及 Dmac？ Dmac =552.81101.32=5.46/2=2.73(年) MD =2.73/(1.0375)=2.63(% ) Ddol =2.63%/101.32=2.66(元)

  37. Ddol VS MD VS Dmac 公式推導 由於債券的利率風險就是指市場利率變動時，債券價格的變動幅度，因此要衡量債券之利率風險，可將債券殖利率做小幅度之變動，再觀察債券價格變動之情形來觀察。 CT 係指債息與本金總合 因此，債券利率風險之衡量，亦即債券價格對利率之一階微分( dP/dY )

  38. Ddol公式推導 當利率微幅變動時，債券價格變動之幅度為： 每單位利率微幅變動 dY 時所造成之債券價格變動幅度 dP，此衡量值即為價格存續期間。而其決定因素包含：到期期限(T)、債息(Ct)及折現率(y)

  39. MD 公式推導 要比較不同價格債券之利率風險，可將各自價格存續期間加以標準化。即將價格存續期間除以該債券之價格，而得到債券價格變動之百分比 (D p / p)；此項指標即為修正存續期間。

  40. Dmac 公式推導

  41. 第三節 特殊形式債券 利率風險之計算

  42. 一、零息債券 • 零息債券之DURATION永遠等於到期期間。零息債券唯一之現金流量是發生在債券到期時(T)，其現金流量相對值為一，亦即權數為一，使得零息債券之風險年度等於到期期間。 • 公式推導：P105 零息債券之修正存續期間 MD ZERO = -T/(1+y)

  43. 零息債券之風險年限計算實例： 有一零息債券，面額100萬元，六年後到期，設殖利率為8%、年付息一次，試問其存續期間為？

  44. 二、永續債券 p106 永續債券票息金額 (C) 之高低並不影響其存續期間或修正存續期間

  45. 三、浮動利率債券

  46. 四、債券拆解 Bond Decomposition • 非標準型債券之利率風險計算：

  47. 第四節 Duration 之應用

  48. 一、基點價值 DV01(PVBP) • DV01或PVBP皆為利率變動一個基本點(1bp，0.01%)時，對債券價格變動之金額。其定義如下： • 金額存續期間 = Ddol× 0.01% = MD × 債券成本 × 0.01%如15年期5%公債，當殖利率7%時價格為81.78、殖利率6.99%時價格為81.86，期基點價值為0.08元。 • 由於基點價值衡量單位是金額，在比較不同債券之基點價值時，一般會將基點價值除以該債券之市價，換算成債券價格變動百分比後再作比較。 • 基點價值圖示：

  49. DV01 VS Ddol • 基點價值與價格存續期間皆以債券價格變動金額來衡量利率風險，二者唯一之差別在於基點價值是以一個基點(bp)作為利率變動之單位，而價格存續期間則是以一個百分點作為估計基礎。 • 當比較不同價格之債券時，基點價值與價格存續期間皆有無法正確指出何者利率風險較大之問題？亦即基點價值(或價格存續期間)較大之債券未必會有較高之利率風險。 • 例如A、B債券市價分別為$90及$98，價格存續期間為3及3.2，試問何者利率風險較高？ ANS: A 求變動幅度 3/90=3.33%、3.2/98=3.27%---- Ddol標準化 MD

  50. 案例說明： • 設持有5年後到期債券，面額壹億元、票面利率10%，持有收益率為8%(買入價格為107,985,420)，現因市場利率下跌至7.9%，則債券價格為多少？又市場利率上漲至8.1%時，試問債券價格變動比及價格為何？1.先計算Dmac = 4.2037年2.再求出MD = 4.2037/1.08 = 3.8923%3.Ddol = 107,985,420 × 3.8923 = 4,203,116.5元4.PB01= 4,203,116.5元 × 1 % = 42,031

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