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第六章 树与二叉树

第六章 树与二叉树. 2007.9. 6.1 树的定义和基本概念 6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义和基本术语 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构 6.3 遍历二叉树 6.3.1 遍历二叉树 6.3.2 线索二叉树 6.4 树和森林 6.4.1 树的存储结构 6.4.2 森林与二叉树的转换 6.4.3 树和森林的遍历 6.5 哈夫曼树及哈夫曼编码. 6.1 树的定义和基本概念. J. I. A. C. B. D. H. G. F. E. K. L. M.

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第六章 树与二叉树

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Presentation Transcript

  1. 第六章 树与二叉树 2007.9

  2. 6.1 树的定义和基本概念 • 6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义和基本术语 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构 • 6.3 遍历二叉树 6.3.1 遍历二叉树 6.3.2 线索二叉树 • 6.4 树和森林 6.4.1 树的存储结构 6.4.2 森林与二叉树的转换 6.4.3 树和森林的遍历 • 6.5 哈夫曼树及哈夫曼编码

  3. 6.1 树的定义和基本概念

  4. J I A C B D H G F E K L M 树的定义 树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件： (1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点； (2) 其余的结点可分为m(m>=0)个互不相交的子集T1,T2,T3…Tm，其中每个子集又是一棵树，并称其为子树(Subtree)。

  5. 树的基本概念 • 结点（node） • 根结点（root）、叶子/叶结点（leaf） • 孩子结点（child）、双亲结点（parent）、兄弟（brother） • 度（degree） • 结点的度 • 树的度：max(结点的度) • 树的深度/高度（depth）：max（结点的层次） • 有序树/无序树 • 森林（forest）

  6. 6.2 二叉树

  7. 6.2.1 二叉树的定义和基本术语 • 二叉树的定义 • 是一颗空树 • 或是由根及两颗不相交的左子树、右子树构成，并且左、右子树本身也是二叉树。 A A A A (a) 空二叉树 B B B C (b) 根和空的左右子树 (e) 根和左右子树 (c) 根和左子树 (d) 根和右子树

  8. 说明 1）二叉树中每个结点最多有两颗子树；二叉树每个结点度小于等于2; 2）左、右子树不能颠倒——有序树; 3）二叉树的定义是递归结构，在二叉树的定义中又用到了二叉树的概念;

  9. E D E D C C B B A A G G F F 二叉树的逻辑结构 φ 二叉树的五种基本形态

  10. E C A F D B A B C G 5.2.1 二叉树的概念 两种特殊的二叉树 1)满二叉树：如果深度为k的二叉树，有2k-1个结点则称为满二叉树； K=2的满二叉树 K=3的满二叉树

  11. B E E C A A A C B D F D B D E C G 5.2.1 二叉树的概念 2)完全二叉树：如果一颗二叉树只有最下一层结点数可能未达到最大，并且最下层结点都集中在该层的最左端，则称为完全二叉树； (a) (b) • 、(b)完全二叉树 • (c) 不是完全二叉树 (c)

  12. E D C A B G F 6.2.2 二叉树的性质 性质1 在二叉树的第i 层上最多有2i-1个结点 性质2 深度为k的二叉树最多有 2k-1 个结点 性质3 设二叉树叶子结点数为n0，度为2的结点n2，则n0 =n2 +1

  13. F A E D C B 下面是两个关于完全二叉树的性质 性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为：log2 n +1. 对完全二叉树的结点编号：从上到下，每一层从左到右 性质5：在完全二叉树中编号为i的结点 1）若有左孩子，则左孩编号为2i 2）若有右孩子，则右孩子结点编号为2i+1 3）若有双亲，则双亲结点编号为 i/2 1 2 3 4 5 6

  14. A C B E F D 6.2.3 二叉树的存储结构 1 二叉树的顺序结构 适于满二叉树或完全二叉树的存储。 逻辑结构 存储结构 0 1 2 3 4 5 6 n-1 A B C D E F

  15. A E D C B B C D A G G F F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m-1 A B C D E 0 F 0 0 G 1 2 3 4 5 E 6 7 10 8 9

  16. E F D B A C A B  C   D  E   F  二叉树的链式存储结构 逻辑结构 存储结构 二叉链表的类型定义（C语言描述） typedef struct bnode { char data; struct node *lchild,*rchild; }btree;

  17. E F D B A C A B C D E F 3 三叉链表 三叉链表中每个结点包含四个域：数据域、双亲指针域、左指针域、右指针域 Struct node { int data; struct node *lch,*rch,*parent; };

  18. 6.3 遍历（Traversal）与线索化

  19. 6.3.1 二叉树的遍历

  20. 本节内容： • 遍历的基本概念 • 各种遍历方法的思想 • 各种遍历方法的递归算法和非递归算法 • 以先序输入方式建立二叉树的算法。 • 重点、难点 • 各种遍历方法的思想 • 各种遍历方法的非递归算法

  21. 一. 遍历的基本概念 • 遍历是各种数据结构最基本的操作，许多其他的操作可以在遍历基础上实现。 • 二叉树的遍历：沿某条路径周游二叉树，对树中的每个结点访问一次且仅访问一次。 • “访问”的含义很广，可以是对结点的各种处理，如修改结点数据、输出结点数据。

  22. 如何访问二叉树的每个结点， 而且每个结点仅被访问一次？ E F D B A C ？ • 两种基本策略： • 广度遍历 • 深度遍历

  23. E F D B A C 广度遍历策略 • 层次遍历方法：从上到下、从左到右访问各结点 • 适用于顺序存储结构 存储结构 遍历结果：A B C D E F

  24. D E C G B A F 深度遍历策略 • 二叉树由根、左子树、右子树三部分组成 • 二叉树的遍历可以分解为： • 访问根（D） • 遍历左子树（L） • 遍历右子树（R） • 有六种遍历方法： • D L R，L D R，L R D， • D R L，R D L，R L D • 约定先左后右,有三种遍历方法，分别称为先序遍历、中序遍历、后序遍历

  25. 二、各种遍历的思想 1 . 先序遍历（DLR） 2 . 中序遍历（LDR） 3. 后序遍历（RDL）

  26. D E C G B A F 1 . 先序遍历（DLR） • 先序遍历（DLR）思想 若二叉树非空，则依次进行以下操作 （1）访问根结点； （2）先序遍历左子树； （3）先序遍历右子树； 例：先序遍历右图所示的二叉树，所得先序遍历序列： A, B, D, E, G, C, F Flash演示

  27. D E C G B A F 2. 中序遍历（LDR） • 中序遍历（LDR）思想 若二叉树非空，则依次进行以下操作 （1）中序遍历左子树； （2）访问根结点； （3）中序遍历右子树； 例：中序遍历右图所示的二叉树，所得中序遍历序列： D,B,G,E,A,C,F Flash演示

  28. D E C G B A F 3. 后序遍历（LRD） • 后序遍历（LRD）思想 若二叉树非空，则依次进行以下操作 （1）后序遍历左子树； （2）后序遍历右子树； （3）访问根结点； 例：后序遍历右图所示的二叉树，所得后序遍历序列： D, G, E, B, F, C,A Flash演示

  29. 软件水平考试有关试题

  30. 2007-1

  31. A B C D E F I G H J 2002 • 假设一棵二叉树的后序遍历序列为 D G J H E B I F C A，中序遍历序列为 D B G E H J A C I F，则其前序遍历序列 为。 A）A B C D E F G H I J B）A B D E G H J C F I C）A B D E G H J F I C D）A B D E G J H C F I

  32. 2006-2 • 若某二叉树的先序遍历序列和中序遍历序列分别为 PBECD、BEPCD，则该二叉树的后序遍历序列为 （38） 。A. PBCDEB. DECBP C. EBDCPD. EBPDC

  33. H G F E D C B A 1999试题2 • 二叉树的查找有深度优先和广度优先二类，深度优先包括_C_。当一棵二叉树的前序序列和中序序列分别是 H G E D B F C A和E G B D H F A C时，其后序序列必是_D_,层次序列为_E_. C: (1)前序遍历 后序遍历 中序遍历 (2)前序遍历 后序遍历 层次遍历 (3)前序遍历 中序遍历 层次遍历 (4)中序遍历 后序遍历 层次遍历 D: (1) B D E A G F H C (2) E B D G A C F H (3) H G F E D C B A (4) H F G D E A B C E: (1) B D E A C G F H (2) E B D G A C F H (3) H G F E D C B A (4) H F G C D E A B

  34. 软件设计师 2004上半年 • 设结点x和y是二叉树中任意的两个结点，在该二叉树的先根遍历序列中x在y之前，而在其后根遍历序列中x在y之后，则x和y的关系是__(10)__。 A．x是y的左兄弟 B．x是y的右兄弟 C．x是y的祖先 D．x是y的后裔

  35. 三、遍历的递归算法 1 . 先序遍历（DLR） 2 . 中序遍历（LDR） 3. 后序遍历（RDL）

  36. 先序遍历（DLR）的递归算法 void preorder（btree *t） { if (t) { 若二叉树t非空，则： putchar(t->data); 访问根结点t preorder(t->lchild); • 前序遍历t的左子树 前序遍历t的右子树 preorder(t->rchild); } }

  37. 中序遍历 void inorder（bitree *t） { if ( t ) { inorder(t->lchild); putchar(t->data); inorder(t->rchild); } } 后序遍历 void postorder（bitree *t） { if ( t ) { postorder(t->lchild); postorder(t->rchild); putchar(t->data); } } 中序遍历、后序遍历的递归算法

  38. 提问： 二叉树遍历算法的递归版本简洁而又好懂，既然有这么好的算法，为何还要去改成非递归版本呢？ 回答： 因为在有些场和，出于性能和条件的考虑，无法使用递归机制，这就必须借助非递归来实现相应的递归算法。 四、遍历的非递归算法

  39. 实现递归与非递归的换转原理分析 • 1.函数的调用、返回机制 • 一个函数在调用另一个函数之前，要作三件事： • a)将实在参数，返回地址等信息传递给被调用函数保存; • b)为被调用函数的局部变量分配存储区; • c)将控制转移到被调函数的入口。 • 从被调用函数返回调用函数之前，要做三件事： • a)保存被调函数的计算结果; • b)释放被调函数的数据区; • c)依照被调函数保存的返回地址将控制转移到调用函数。 • 两个问题： • 数据保存在哪里？（不论是变量还是地址，本质上来说都是”数据” ） • 如何实现“控制转移”？

  40. 结论1： • 递归调用时数据都是保存在栈中的，有多少个数据需要保存就要设置多少个栈，而且最重要的一点是：控制所有这些栈的栈顶指针都是相同的，否则无法实现同步。 • 因此：在非递归算法中定义相应的栈来做为辅助的存储空间。 • 结论2： • 递归调用时是通过函数的入口地址实现“控制转移”的。 • 因此：在非递归中，程序需要知道到底要转移到哪个部分继续执行，即找到控制变换的因素或条件。

  41. 例如：二叉树的遍历 • 二叉树的三种遍历方式，抽象出来只有三种操作： • 访问当前结点 • 访 问左子树 • 访问右子树。 • 这三种操作的顺序不同，遍历方式也不同。 • 如果我们再抽象一点，对这三种操作再进行一个概括，可以得到： • a)访问当前结点：对目前的 数据进行一些处理; • b)访问左子树：变换当前的数据以进行下一次处理; • c)访问右子树：再次变换当前的数据以进行下一次处理(与访问左子树所不同的方 式)。

  42. void preorder_norecursive (bitree *t) { bitree *s[20], *p=t; int top=0; while (p || top) if (p) { visit(p); ++top; s[top]=p; p=p->lchild; } else{ p=s[top]; --top; p=p->rchild; } } 当（当前根p不为空） /*访问根*/ 访问当前结点p； /*访问左子树：变换当前的数据以进行下一次处理*/ Push(S,p); 找P的左儿子； 否则， /*访问右子树：再次变换当前的数据以进行下一次处理(与访问左子树所不同的方 式)。 */ P＝Pop(S); 找P的右儿子； 先序遍历的非递归算法

  43. void inorder_norecursive (bitree *t) { bitree * s[MAX], *p; int top=0; p=t; while (p || top!=0){ if(p) { ++top; s[top]=p; p=p->lchild; } else { p=s[top]; --top; visit(p); p=p->rchild; } } } 当（当前根p不为空） /*访问左子树：*/ Push(S,p); 找P的左儿子； 否则， /*访问根*/ P＝Pop(S); 访问当前结点p； /*访问右子树*/ 找P的右儿子； 中序遍历的非递归算法

  44. 五.二叉树的建立 • 按先序遍历的方式输入结点 • 采用先序递归的方式建立的算法思想 若要求建立二叉树，则依次进行以下操作 （1）生成根结点； （2）先序建立左子树； （3）先序建立右子树；

  45. bitree *creat_bintree(bitree *t) { char ch; printf("\n enter ch in preorder, 1 for no child:"); ch=getchar(); getchar(); if ( ch=='1') t=NULL; else { t = (bitree *)malloc(NodeLen); t->data=ch; t->lchild = creat_bintree( t->lchild ); t->rchild = creat_bintree( t->rchild ); } return(t); }

  46. 6.3.2 线索二叉树 Threaded Binary Tree

  47. 问题的提出： • 当以二叉链表作为存储结构时,只能找到结点的左右孩子的信息,而不能在结点的任一序列的前驱与后继信息,这种信息只有在遍历的动态过程中才能得到。 • 解决办法： • 利用二叉链表中的空指针 • 增加标志域 • 效果： • 为二叉树建立了一个双向线索链表

  48. 一.线索二叉树的结构 • 结点结构 • 按遍历序列分为： • 先序线索二叉树 • 中序线索二叉树 • 后序线索二叉树

  49. E F D B A C 先序线索二叉树 Null 先序遍历序列：ABDFCE

  50. E F D B A C 中序线索二叉树 Null Null 中序遍历序列：DFBAEC

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