1 / 41

Másodfokú egyenletek

Másodfokú egyenletek. Tartalomjegyzék. Bevezetés Másodfokú függvények alapfüggvény általános alak kiegészítés teljes négyzetté transzformációk Másodfokú egyenlet megoldása általános alak grafikus megoldás 1 2 3 különleges esetek diszkrimináns fogalom, példák jelentése 1 2

kaemon
Download Presentation

Másodfokú egyenletek

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Másodfokú egyenletek

  2. Tartalomjegyzék • Bevezetés • Másodfokú függvények • alapfüggvény • általános alak • kiegészítés teljes négyzetté • transzformációk • Másodfokú egyenlet megoldása • általános alak • grafikus megoldás 123 • különleges esetek • diszkrimináns • fogalom, példák • jelentése 12 • megoldóképlet • levezetés 12 • használat 1 23456789 • Gyöktényezős alak • Viéte formulák 12 • Paraméteres egyenletek 12 • Másodfokúra redukálható egyenletek 12 • Feladatgyűjtemény

  3. Bevezetés Másodfokú egyenletek alkalmazásával számos feladat és gyakorlati probléma megoldható. A Mezopotániában Kr. E. 2000 táján kiégetett ékírásos agyagtáblák alapján megállapítható, hogy abban az időben már nagy biztonsággal oldották meg ezeket a faladattípusokat. Ebből az időből származik a következő feladat A feladatban szereplő négyzetoldalt x-szel jelölve, a következő egyenletet kapjuk eredményül:   

  4. ÉT: x R ÉK: y 0 Képe: parabola, ehhez viszonyítjuk a többi másodfokú függvényt Menete: x=0-ig szigorúan monoton csökkenő, x=0-tól szigorúan monoton növekvő Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: minimum x=0 helyen y=0. Paritása: páros Korlátosság: alulról korlátos Folytonos a függvény Másodfokú függvények Alapfüggvény Fogalom: Az olyan függvényt, amelyben a független változó az x a második hatványon szerepel, másodfokú függvénynek nevezzük. f(x) = x2 Az alapfüggvény: Jellemzés: Grafikon

  5. A másodfokú függvény általános alakja: f(x) = ax2+bx+c, ahol a, b, c R, de a 0 Az ilyen típusú függvények a teljes négyzetté kiegészítés módszerével a következő alakra hozhatók: f(x) = a(x - u)2+v, ahol a, u, v R, de a 0 Minden másodfokú függvény képe parabola, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel. Csúcspontja: C(u;v) Másodfokú függvények Általános alak Általános alak:

  6. Példa 1. 2. 3. 4. Másodfokú kifejezések Kiegészítés teljes négyzetté

  7. Másodfokú függvények Transzformáció x tengely mentén u-val, y tengely mentén v-vel tolódik el; ha a >1, akkor nyúlik; ha 0 < a < 1, akkor zsugorodik az y tengely mentén; ha a < 0, akkor tükröződik az x tengelyre Az y = x2-2 függvény Az y = (x-1)2 függvény

  8. Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja: ax2 + bx + c = 0, ahol az a, b, c adott valós számok, és a 0 Az egyenletet mindig ax2 + bx + c = 0 alakra hozzuk, ahol a > 0 (ezt -1-gyel való szorzással mindig elérhetjük) és a Z+ (megfelelő beszorzással szabadulunk a tizedes számoktól Megoldás Általános alak Általános alak: Általános alakra hozás:

  9. Megoldás Grafikus megoldás 1. módszer Ha az egyenlet ún. nullára redukált alakú, akkor a baloldalt az ismeretlen függvényének tekintjük. A függvényt teljes négyzetté alakítjuk: f(x) = a(x - u )2+ v Az így kapott alakot transzformációs lépések segítségével ábrázoljuk koordináta-rendszerben. Ahol a grafikon metszi vagy érinti az x tengelyt, az lesz a zérushely. A zérushelyek adják a megoldást. Ha nincs zérushely, akkor nincs megoldás sem. Példa x2 + 4x = -3 x2 + 4x + 3 =0 f(x) = x2 + 4x + 3 f(x) = (x +2)2 - 1 Megoldás: x = -1 és x = -3

  10. Megoldás Grafikus megoldás 2. módszer Ennek a módszernek lényege, hogy a másodfokú egyenletet olyan alakra hozzuk, hogy az egyenlet egyik oldalán a másodfokú tag (x2) szerepeljen, a másik oldalon pedig az elsőfokú tag a konstans taggal (számmal). Az egyenlet bal oldalán levő másodfokú függvényt, és a jobb oldalon levő elsőfokú függvényt ábrázolva megkeressük a két függvény metszéspontját. (lehet 0; 1 vagy 2 metszéspont). Ezek a metszéspontok lesznek az egyenlet megoldásai. Példa Megoldás: x = -1 és x = 2 x2 - x - 2 =0 x2 =x +2 f(x) = x2 g(x) =x +2

  11. Oldd meg grafikusan (mindkét módszerrel) az alábbi egyenletet: Megoldás: Megoldás Grafikus megoldás Feladat 1. módszer

  12. Megoldás: f g Megoldás Grafikus megoldás 2. módszer

  13. Példa Tiszta másodfokú egyenlet Példa Megoldás Különleges esetek Konstans tag nélküli másodfokú egyenlet Megoldás Megoldás

  14. Az egyenletet mindig ax2 + bx + c =0 alakra hozzuk, ahol a > 0 (ezt -1-gyel való szorzással mindig elérhetjük) és a Z+ (megfelelő beszorzással szabadulunk meg a tizedes számoktól). A b2 - 4ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük és D-vel jelöljük. Megoldás Diszkrimináns Példák • 4x2 - 5x + 3 = 0 • x2 - 5x + 6 = 2 • x2 - 5x + 4 = 0 • x2 - 4x + 4 = 0

  15. A diszkriminánstól függ, hogy a másodfokú egyenletnek hány megoldása lehet a valós számok körében. • Az ax2 + bx + c = 0 (a 0) másodfokú egyenletnek: • két valós van, ha D = b2 - 4ac > 0 • egy valós van, ha D = b2 - 4ac < 0 • nincs valós gyöke, ha D = b2 - 4ac = 0 Megoldás Diszkrimináns Jelentés

  16. D>0 D=0 D<0 Megoldás Diszkrimináns A másodfokú függvények képe, a hozzájuk tartozó egyenletek diszkriminánsa és az egyenletek gyökei közötti kapcsolat két valós gyök egy valós gyök nincs valós gyök

  17. A másodfokú egyenlet megoldóképlete: Bizonyítás Mivel, oszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát vele, majd vigyük át a konstanst a jobb oldalra és adjunk mindkét oldalhoz -tet. A bal oldalon teljes négyzet áll: A jobb oldali tört előjele a számlálójától függ, jelöljük ezt D-vel. Ha D < 0, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása. Megoldás Megoldóképlet Megoldóképlet levezetése

  18. Ha D = 0, akkor a jobb oldalon 0 áll, így egy megoldás van, az Ha D > 0, akkor két lehetőség van: Ezekből: Ezzel az állítást bebizonyítottuk. vagy vagy Megoldás Megoldóképlet

  19. Megoldás Példák Megoldás Megoldás -25 < 0, tehát nincs valós gyöke

  20. , tehát nincs valós gyöke Megoldás Példák Megoldás Megoldás -39 < 0, tehát nincs valós gyöke

  21. Megoldás Példák Megoldás Megoldás -45 < 0, tehát nincs valós gyöke

  22. Megoldás Példák Megoldás

  23. Megoldás Példák Megoldás

  24. A második brigád x nap alatt készül el a munkával, az első x + 8 nap alatt. Egy nap alatt az első brigád a munka részét, a második pedig részét végzi el A két brigád együtt naponta a munka részét végzi el. 14 nap alatt elkészül a munka, tehát az egész munka részével egyenlő az egynapi munka Megoldás Példák Ha két brigád együtt dolgozik, akkor a munkával 14 nap alatt készülnek el. Ha csak egy brigád dolgozik, akkor az elsőnek 8 nappal többre van szüksége, mint a másiknak. Hány napig tart a munka külön-külön mindegyik brigádnak? Megoldás

  25. Megoldás Példák A feladat megoldása tehát: Az első brigád 32,56 nap, a második brigád pedig 24,56 nap alatt végzi el a munkát

  26. 100 b = 4x a = 3x Megoldás Példák Egy derékszögű háromszög két befogójának aránya 3 : 4. Milyen hosszúak a befogók, ha az átfogó 100 cm? Megoldás

  27. A levegő ellenállását nem vesszük figyelembe; a mozgás szabad mozgás esés: s = 200m; g = 10 m/s2; Megoldás Példák Mennyi idő alatt esik le 200 m magasból egy kő? Megoldás Tehát a kő 6,3 másodperc alatt érkezik le.

  28. Az alakot a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük. 1. példa 1. Megkeressük a 2x2 – 3x – 2 = 0 egyenlet gyökeit. 2. példa Alakítsuk szorzattá a 2x2 – 3x – 2 polinomot 2. 3. 4. Gyöktényezős alak Példák A gyöktényezős alak

  29. Az ax2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között fennállnak a következő összefüggések: Ezeket az összefüggéseket Viéte-féle formuláknak nevezzük. 1. példa A valós számok halmazán adott az x2 + x - 6 = 0 egyenlet. A gyökök kiszámítása nélkül határozza meg a gyökeinek a négyzetösszegét! Viéte-féle formulák Példák Viéte formulák

  30. Adja meg azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: Megoldás: Viéte-féle formulák Példák 2. példa

  31. Megoldás Viéte formulákból következik: A feladatból következik: Akkor: Paraméteres egyenletek Példák 1. példa Állapítsa meg a c értékét az x2 - 4x + c =0 egyenletben úgy, hogy a másodfokú egyenlet egyik gyöke a másik négyszerese legyen.

  32. Határozza meg a c paraméter értékét úgy, hogy a 2x2 -4x +c =0 másodfokú egyenletnek két pozitív gyöke legyen! Megoldás Az egyenletnek akkor lesz két valós gyöke, ha: Másik oldalról a Viéte formulák alapján: Mindkét gyök akkor és csak akkor lesz pozitív, ha a gyökök összege és szorzata pozitív. A felírt összefüggések szerint az összeg pozitív, a szorzat pedig akkor lesz pozitív, ha: Tehát az egyenletnek akkor lesz mindkét gyöke pozitív, ha Paraméteres egyenletek Példák 2. példa

  33. Példa 1 Másodfokúra redukálható egyenletek Megoldás Általános alak: Megoldás: Ismeretlennek xn-t választjuk, és meghatározása után már csak tiszta n-ed fokú egyenletet kell megoldanunk.

  34. Példa 2 Másodfokúra redukálható egyenletek Példa

  35. Feladatokhoz kattints ide!!!

  36. Tovább Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán! Megoldás x = 0 és x = 7 Megoldás x = 0 és x = - 4 Megoldás x = 2 és x = - 2 Nincs megoldás Megoldás Megoldás y= 7 és y = - 7 Megoldás x = 3 és x = 0,2 Megoldás x = 2,5 és x = 1,75 Megoldás x = 1 és x = - 6

  37. Tovább Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán! Megoldás x = 0 és x = 0,4 Megoldás x = 1 és x = 0,5 Megoldás x = 5 és x = - 5 Bontsd fel elsőfokú tényezők szorzatára a polinomokat! (2 – 3x)(x – 1) Megoldás Megoldás (x – 3)(2x + 1) Megoldás 2(x – 3)(x + 1)

  38. Tovább Feladatgyűjtemény Add meg a következő gyökök másodfokú egyenletét gyöktényezős alakban! Megoldás (x – 3)(x – 7) = 0 (x + 2)(x – 10) = 0 Megoldás Mennyi a - 1 egyenlet valós gyökei reciprokának az összege? Megoldás Mennyi az 29 Megoldás egyenlet valós gyökeinek a négyzetösszege?

  39. Tovább Feladatgyűjtemény Két szomszédos egész szám négyzetének a különbsége 51. Melyek ezek a számok? Megoldás - 26 és -25 A labdarúgó-bajnokság őszi és tavaszi fordulójában összesen 306 mérkőzést játszottak a csapatok. Hány csapat mérkőzött? Megoldás Az egyenlet: x(x – 1) =306; 18 csapat mérkőzött. 630 facsemetét két négyzet alakú parcellába akartak ültetni. Az egyik négyzet oldala mentén 5 fával kevesebbet ültettek, mint a másik mentén, és így 5 csemete megmaradt. Hány fát ültettek egy-egy parcellába? Megoldás Az egyenlet: x2 + (x – 5)2 = 625; 400 és 225 fát ültettek Egy szabályos sokszögnek 54 átlója van. Mekkora a sokszög egy szöge? Megoldás 150°

  40. Tovább Feladatgyűjtemény Egy víztároló két csövön át 18 óra alatt telik meg. Ha a víz csak egy csövön át folyik, akkor a második csövön át 15 órával több idő alatt telik meg, mint az első csövön át. Hány óra alatt tölti meg a víztárolót külön-külön mindegyik cső? Megoldás Első cső 30 óra, második cső 45 óra alatt tölti meg a víztárolót Állapítsa meg m értékét az x2 - 5x + m =0 egyenletben úgy, hogy az egyik gyök 6-tal nagyobb legyen, mint a másik. Megoldás • A p valós paraméter mely értékei mellett lesz az x2 + px +3 = 0 egyenlet gyökeinek • különbsége 2; • négyzetösszege 19 a) Megoldás b) Megoldás

  41. Feladatgyűjtemény Oldja meg a következő egyenleteket a való számok halmazán. a) 1; -1; 0,25; -0,25 Megoldás Megoldás 1; -1; b) Megoldás 2; -1; c) Az m paraméter mely értékeire van az alábbi egyenletnek két különböző valós gyöke Megoldás

More Related