工程热力学与传热学

1. 工程热力学与传热学 传热学 第九章 导热

2. 第九章 导热 内容要求 • 1.导热的基本定律（Fourier定律） • 2.导热微分方程及相应的单值性条件 • 3.几种最典型的稳态导热问题的分析和求解 重点：一维稳态导热（平壁，圆筒壁，肋片） 了解：二维稳态导热 • 4.非稳态导热及集总热容系统的分析方法 • 5.导热问题的数值求解方法

3. 直角坐标系下： 9-1 导热的理论基础 9-1-1 导热的基本概念 1. 导热（conduction ） 物体的各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、 原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传 递过程。 单纯的导热只能发生 在密实的固体中。 2. 分类： • 温度场（Temperature field）： • 在某一时刻τ，物体内所有各点的温度分布。

4. （1）按温度场是否随时间变化 • 稳态导热 ： • 非稳态导热： （2）按温度场随空间坐标的变化 • 三维导热： • 二维导热： • 一维导热： Φ 一维稳态温度场 (one dimensional steady state temperature field）

5. 3. 比较 • 表示温度差 ∆t 与距离 ∆x 的比值 • 表示x方向上的温度变化率 • 表示温度梯度 4. 温度梯度（temperature gradient） 是沿等温面法线方向的向量， 其正方向指向温度增加的方向。 温度变化率 最大的方向？

6. 式中 Φ— 热流量（heat flow）w 单位时间内通过某一给定截面的热量 q — 热流密度（heat flux）w/m2 单位时间内通过单位面积的热量  — 导热系数 （thermal conductivity） — 温度梯度（temperature gradient） 9-1-2 导热基本定律 1. 导热基本定律（Fourier’s law of heat conduction）

7. 不适用于： • 各向异性材料：Q的方向与温度梯度的方向和 λ的方向性有关。 • 极低温（接近于0K）的导热问题。 • 极短时间产生大热流密度的瞬态导热问题。 2. 关于Fourier定律的几点说明 （1）物理意义 导热现象中，热流量其大小正比于温度梯度 和截面面积，其方向与温度梯度方向相反。 （2）Fourier定律又称为导热热流速率方程。 向量形式 （3）适用范围： 各向同性物体的稳态导热和非稳态导热。

8. 大小： • 方向：温度降落的方向 • 单位： w/m2 （4）直角坐标系中热流密度的表示 • 温度梯度 ： • 热流密度：

9. 举例 一维稳态导热的傅里叶定律： Φ

10. 1. 定义： 数值上等于温度梯度的绝对值为1K/m时的热流密度。 实验指出，对大多数材料, 与 t 呈线形关系；  =  0（1+ b t ) （附表15, P392） 9-1-3 导热系数（thermal conductivity ） 2. 影响因素： （1）物体的种类 （2）物体的结构和物理状态（密度，成分，湿度等） （3）物体的温度

11. 3. 不同物体的导热系数 气体 ~ 绝热材料 < 液体 << 金属

12. 影响因素 温度：随温度升高而增大。 气体分子量；分子量越小，导热 系数越大。 、 （1）气体 • 最小，数值：0.006—0.6 W/(m.K) • 机理：气体分子不规则的热运动和相互碰撞而 产生的热量传递。 气体中氢，氦的 导热系数高。

13. 金属 • 值：常温 2.2--420 W/m.K 导电性能好的金属，导热性能也好 （2）固体 • 机理：分子运动表现为晶格的振动。 • 金属的导热主要依靠自由电子迁移完成 • 非金属导热主要依靠分子或晶格振动完成 • 纯金属：导热系数很大 常温：银>紫铜>黄金>铝>铂>铁等 • 影响：纯金属的温度 t ,  • 掺入杂质（合金）  （黄铜）

14. 非金属 • 耐火材料，建筑材料 • 值：0.025—3.0 W/m.K • 影响：温度，材料气孔率，密度，湿度 • 绝热材料：平均温度在350℃以下时导热系数小于 • 0.12 W/m.K的材料。（GB4272-92） • 例如；玻璃纤维，矿渣棉，聚乙烯泡沫塑料。 • 各向异性材料 — 导热系数的数值与方向有关。 • 例如：木材，石墨，晶体等

15. （3）液体 • 值：0.07—0.7 W/m.K • 机理：类似于气体，非金属固体 • 影响因素：温度：大多数液体 t ，  （水，甘油除外）

16. 9-1-4 导热微分方程 是描述物体内温度分布的微分关系式。它是根据傅里叶 定律和能量守恒定律建立的。 1. 直角坐标系下的导热微分方程 • 假设：物体各向同性连续介质, λ,ρ,с为常数， • 物体有内热源（吸热放热的化学反应， • 电阻通电发热等）。 • 内热源强度фv： • 单位时间，单位体积的 • 内热源生成热。

17. 导入微元体 的总热流量 微元体内热 源生成热 导出微元体 的总热流量 微元体储存 能的变化 - + = dU d d ф ф y+dy y+dy d d ф ф dz dz z z dx dx d d ф ф d d ф ф x+dx x+dx x x dy dy dфv d d ф ф z+dz z+dz d d ф ф y y • 选取微元六面体，应用能量守恒方程

18. X方向： • y方向： • z方向： • X方向： • y方向： y y y x x x z z z • z方向： • 导入微元体的总热流量 dфin • 导出微元体的总热流量 dфout

19. y y y x x x z z z • 单位时间内热源生成热 dфv • 单位时间热力学能的增加 dU 因此：

20. 导温系数 说明 导热微分方程揭示了导热过程中物体的 温度随空间和时间变化的函数关系。 —— 导热微分方程 • 当λ=常数时 —— 直角坐标系下非稳态，有内热源，常物性的 导热微分方程。

21. a的定义： 导热系数 容积比热 • 导温系数（热扩散率） • a的大小取决于λ和ρc的综合影响。 • 表示了物体传播温度变化的能力。 • 对稳态导热：不出现a。 • 非稳态导热：a的高低，表示温度传播的快慢。 • 数值范围：油1×10 -7 ＿ 银2×104 m2/s。

22. 导热系数λ=常数 • 无内热源фV=0 • 稳态导热 • 稳态导热，无内热源 • 几种简化形式的导热微分方程

23. 圆柱坐标系中 2. 圆柱坐标系下的导热微分方程 • 导热微分方程 • 无内热源，稳态，一维导热微分方程

24. 球坐标系中 3. 球坐标系下的导热微分方程 • 导热微分方程 • 无内热源，稳态，一维导热微分方程

25. 单值性条件包括四个方面： 导热微 分方程 单值性 条件 确定的 温度场 + = 9-1-5 导热问题的单值性条件 • 单值性条件 • 使导热微分方程获得特解即唯一解的条件。 • 几何条件 • 物理条件 • 时间条件 • 边界条件

26. 稳态导热：无初始条件 • 非稳态导热： 1. 几何条件： 参与导热过程的物体的几何形状及尺寸大小。 2. 物理条件： 导热物体的物理性质（ρсλ）,有无内热源。 3. 时间条件： 导热过程进行的时间上的特点。 4. 边界条件： 说明了导热物体边界上的热状态以及与周围环境 之间的相互作用。

27. Φ 举例 • 第一类边界条件 • 给出物体边界上的温度分布及随时间的变化规律。 恒壁温边界条件（Constant temp B.C）

28. 或： • 第二类边界条件 • 给出物体边界上的热流密度分布 • 及其随时间的变化规律。 恒热流边界条件（Constant heat rate B.C） 绝热边界条件（Adiabatic B.C） 绝热边界条件

29. 举例 • 第三类边界条件 • 给出与物体表面进行对流换热的流体温度 t f 及 • 表面传热系数 h。

30. 导热数 学模型 物体 温度场 热流密度 • Fourier定律 • 分析解法 • 数值解法 • 实验方法 • 第三类边界条件在一定情况下会自动转化为 • 第一类或第二类边界条件。 • h非常大： 第三类 — 第一类边界条件 • h非常小： 第三类 — 第二类边界条件 总结 • 导热微分方程 • 单值性条件

31. 1. 描述傅里叶定律的一般表达式，并说明式中各量 和符号的物理意义。 2. 白天晒被子，晚上盖时会觉得很暖和，为什么？

32. 例 题 t λсρ t w1 t=450-320x-160x2 t w2 ΦV 0 δ 0.5 x 1. 如图，由某种材料组成的大平壁，厚度为0.5m，具有 强度等于 103 w/m3 的内热源。在某一瞬时的温度场为 t=450-320x-160x2。 已知λ=24.38W/m.k , c=116J/kg.K ,ρ=18070kg/m3。 求（1）x=0m 和 x=0.5m 两处的热流密度； （2）该平壁热力学能的变化速率； （3）x=0m和x=0.5m两处温度 随时间的变化速率。

33. 9-2 稳态导热 9-2-1 平壁的一维稳态导热 1. 第一类边界条件下单层平壁的导热 • 假设；大平壁λ=常数，表面积A， • 厚度δ，无内热源，平壁两侧 • 温度 tw1, tw2，且tw1> tw2 • 确定:（1）平壁内的温度分布 • （2）通过此平壁的热流密度

34. 求解微分方程，得通解： • 导热数学模型（导热微分方程+边界条件） • 由边界条件，求 C1，C2：

35. 温度梯度 • 通过平壁的热流密度 大小和方向 • 通过平壁的总热流量： • 平壁内的温度分布

36. Φ • 总热阻： tw1 t w2 R λ 结论 • 当λ=常数时，平壁内温度分布呈线性分布， 且与λ无关。 • 通过平壁内任何一个等温面的 热流密度均相等，与坐标x无关。 • 导热热阻（Conductive resistance）

37. （1）热流密度 （2）n层平壁热流密度 2. 第一类边界条件下多层平壁的导热 按照热阻串联相加原则

38. （1）热流密度 3. 第三类边界条件下多层平壁的导热 如何求解两侧壁面温度 及夹层中间温度？

39. 4. 复合平壁的导热

40. λ 9-2-2 圆筒壁的一维稳态导热 1. 单层圆筒壁的导热 • 假设；空心圆筒壁 l，内外径 r1, r2, 且 l >> d2， • λ=常数，无内热源，内外表面 • 　 温度 tw1, tw2，且tw1> tw2 • 确定：（1）圆筒壁的温度分布 • （2）通过径向的热流量 • 选取坐标系为圆柱坐标

41. 求解微分方程，得通解： λ • 导热数学模型（导热微分方程+边界条件） • 由边界条件，求 C1，C2：

42. 圆筒内的温度分布 • 温度梯度 λ • 圆筒壁沿 r 方向的热流密度

43. λ ф • 通过整个圆筒壁的总热流量 • 整个圆筒壁的导热热阻

44. 单位长度圆筒壁的热流量 2. 第一类边界条件下，多层圆筒壁的导热 • 通过多层圆筒壁的总热流量 • 单位长度的热流量

45. 3. 第三类边界条件下，多层圆筒壁的导热 • 通过多层圆筒壁的总热流量 • 单位长度的热流量

46. 结论 关于圆筒壁导热的几点结论 λ 对比平壁 （1）一维圆筒壁导热，壁内的温度分布 成对数分布（沿径向）。 （2）圆筒壁的温度梯度沿径向变化。 （3）对稳态导热，通过圆筒壁径向热流密度 不是常数，随r的增加，热流密度逐渐减小， 但通过整个圆筒壁的总热流量不变。 （4）对无内热源的一维圆筒壁导热，单位长度圆筒壁 的热流量是相等的。圆筒壁按单位长度管长而不是 单位面积来计算热流密度。

47. 一维稳态导热微分方程 即是： 9-2-3 变导热系数 • 对大多数材料，可近似认为随 t 线性变化。 温度分布与 b的关系？ • 温度分布的表达式： 温度分布为二次曲线

48. 根据Fourier定律的表达式： 或： 既： • 平均导热系数： 算术平均温度： • 热流密度

49. 1. 图示三层平壁中，若λ为定值，过程为稳态，试分析 三条温度分布曲线所对应的导热系数的相对大小。

50. 2. 厚度为δ的单层平壁，两侧温度维持为 t1 和 t2，平板 材料导热系数 （其中a，b为常数）， 试就 b>0， b=0， b<0 画出平板中的温度分布曲线， 并写出平板某处热流的表达式。假设无内热源。