Modele zmienności aktywów

1. Modele zmienności aktywów Model multiplikatywny Parametry siatki dwumianowej

2. Model multiplikatywny zmienności aktywów Rekurencyjny model multiplikatywny: S(0)=S0, S(k+1) = S(k) u(k), k=1,2,… Cena aktywa w chwili k dana jest więc wzorem (1) S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0). Po zlogarytmowaniu obu stron (2)

3. Model multiplikatywny Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ2 oraz są wzajemnie niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji możemy zapisać: (3)E[ln S(k)] = lnS(0) +μk, (4) var[lnS(k)] = k σ2. Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana logarytmu ceny jak i wariancja tej zmiennej rosną proporcjonalne do k.

4. Model multiplikatywny Stopy zwrotu • Równość (3) można zapisać w postaci E[ln S(k)] – E[lnS(0)] = μk E[ln (S(k)/S(0))] = μk , lub też (5) E [S(k)/S(0)]=eμk gdyż dla funkcji ciągłej f i zmiennej losowej X ; E[f(X)]=f(E(X)) μ można interpretować jako oczekiwaną stopę zwrotu w pojedynczym etapie przy kapitalizacji ciągłej Z definicji μ =E[ln (S(n+1)/S(n))], n=1,…,k S(n+1)/S(n) = [S(n+1)-S(n)]/S(n)+1 ln [S(n+1)/S(n)] = ln {[S(n+1)-S(n)]/S(n)+1} = =(w przybliżeniu)= [S(n+1)-S(n)]/S(n) = r – stopa zwrotu w jednym etapie przy kapitalizacji okresowej; korzystamy z rozwinięcia

5. Model multiplikatywny Stopy zwrotu E {ln[S(n+1)/S(n)]}= E[w(n)] = μ μ - oczekiwana stopa zwrotu w jednym etapie Z definicji modelu E{ln (S(k)/S(0))} = E[w(0)+…+w(k-1)]; w(i)=lnu(i) Lewa strona oznacza oczekiwaną całkowitą (po k etapach) stopę zwrotu, przy założeniu kapitalizacji ciągłej.

6. Model multiplikatywny • Bezpośrednio ee związku • Otrzymujemy logarytm z ilorazu (6) • Jeżeli w(i) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych i parametrach μ, σ2 , to zmienna losowa ln[S(k)/S(0)] ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej (kμ) oraz wariancji kσ2 (Wniosek 3, par. 37, S Zubrzycki „Wykł. rach. p-stwa..”)

7. Rozkład logarytmiczno – normalny • Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym N(μ,σ) . Niech X = eY (Y = lnX) • DEF. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy rozkładem logarytmiczno – normalnym i oznaczamy Λ(μ,σ) • (X jest funkcją wykładniczą zmiennej losowej o rozkładzie normalnym) • FX – dystrybuanta zmiennej X

8. Rozkład logarytmiczno – normalny • Zatem • Oznaczmy przez (x) gęstość rozkładu zmiennej X • (7)

9. Rozkład logarytmiczno – normalny • Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym N(μ,σ) . Niech X = eY • Wtedy • Mk = exp (μk + 0,5 σ2 k2) Mk – k-ty moment rozkładu logarytmiczno-normalnego a stąd EX = exp (μ+ 0,5 σ2) • War X =E(X2)-(E(X))2 =exp (2μ+ 2σ2) - exp (2μ+ σ2)= = exp (2μ+ 2σ2) [ exp ( σ2) –1]

10. Model multiplikatywny, dwumianowy • Zakładamy, że w każdym okresie cena akcji może spaść lub wzrosnąć, zawsze w tej samej proporcji, czyli • (10) przy czym pierwsza z tych wartości jest przyjmowana z prawdopodobieństwem p a druga z (1-p)

11. Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym - Siatka dwumianowa cen (4 etapy, S – cena początkowa)

12. Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym Ze wzoru S(n) = u(n-1)u(n-2)…u(0)S(0) wynika, że możliwe ceny końcowe muszą mieć postać S(0) ukdn-k, gdzie k = 0,1,…,n. Na drzewie cenowym istnieje różnych dróg prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną S(0)ukdn-k , gdyż każda droga jest jednoznacznie scharakteryzowana przez n-wyrazowy ciąg (u,u,d,u,…,d,u), zawierający k liter u oraz (n-k) liter d.

13. Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym • Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi – jako koniunkcji zdarzeń niezależnych - wynosi • pk (1-p)n-k Zatem prawdopodobieństwo ceny końcowej Sukdn-k wynosi

14. Przykład Model dwumianowy. Cena końcowa akcji po 304 etapach

18. Parametry siatki dwumianowej Sformułowanie problemu Dana jest roczna oczekiwana stopa zwrotu z akcji uwzględniająca kapitalizację ciągłą : • E[ln(ST /S0)] =  • - gdzie ST oznacza cenę akcji po roku oraz wariancja logarytmu ze zmiennej (ST /S0) • War [ln(ST /S0)] = 2 Ile powinny wynosić przy tych danych parametry siatki zmienności, czyli wielkości u,p, w jednym etapie, jeżeli w ciągu roku wystąpi n etapów oraz u =1/d ?

19. Parametry siatki dwumianowej • Zakładamy, że zmienne losowe • k=1,2,…,n są niezależne, wzrost następuje z prawdopodobieństwem p. • Zmienne losowe • k=1,2,…,n są także niezależne, co wynika bezpośrednio z definicji niezależności zmiennych losowych

20. Parametry siatki dwumianowej • Ogólne równania modelu:

21. Parametry siatki dwumianowejSi oznacza cenę akcji po i-tym etapie

22. Parametry siatki dwumianowej • Ze związku ( c ) wynika, że po n etapach w omawianym modelu • E(ln(Sn/S0))=n , • co jest równoważne równościom • E(Sn /S0)=en, E(Sn)= S0 en • Jeżeli dodatkowo założymy, że S1=1, to otrzymujemy E(lnSn)=n, E(Sn)=en • Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia U,D, t • (11)

23. Parametry siatki dwumianowej • Wariancja. Z niezależności zmiennych ln(u(k)), wynika, że

24. Parametry siatki dwumianowej • Pp

25. Parametry siatki dwumianowej

27. Parametry siatki dwumianowej • Ostatecznie otrzymujemy następujące parametry siatki dwumianowej •  = E[ln(ST/S0)], ST – cena po roku • 2 - roczna wariancja zmiennej ln(ST/S0) • t – czas trwania jednego etapu (ułamek roku)

28. Interpretacja parametrów ,2 •  = E[ln(ST/S0)],  = ln(E[(ST/S0)]) E[(ST/S0)])=e E(ST) = S0 e , gdyż S0 jest stałą • Parametr  jest więc roczną oczekiwaną stopą zwrotu, zakładając kapitalizację ciągłą, tzw. logarytmiczną stopę zwrotu • Jeżeli S0 = 1, • to  = E[ln(ST)]. Stąd E(ST) = e • War [ln(ST /S0)] =War [ln(ST)] = 2 • 2 – jest wtedy wariancją z logarytmu ceny po roku, czyli miarą zmienności rocznej ceny akcji

29. Literatura • Teoria inwestycji finansowych – D. Luenberger • Instrumenty pochodne – sympozjum matematyki finansowej. Kraków UJ 1997 • Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie J. Hull Warszawa 1997 • Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008 • Rynkowe instrumenty finansowe A. Sopoćko PWN 2005