1.3 Relációk

1. 1 1.3 Relációk Def. (rendezett pár)(a1 , a2 ) := {{a1}, {a1 , a2 }} . Javítva!!!!!!! Def. (rendezett n-es)(a1 , ..., an ) := ((a1 , ..., an-1 ), an ) . Def. (Descartes (direkt) szorzat )A1 A2  ...  An:= {(a1 , ..., an ) | ai Ai } ,ahol A1, A2 , ... , An tetszőleges halmazok . Def. (n-ér reláció (n-változós))R A1 A2  ...  An . jelölés binér relációknál: ( a, b ) R , vagya R b .

2. 2 Def. (Homogén reláció)i, j  { 1, 2, ...,n } : Ai = Aj . Def. (RXY reláció értelmezési tartománya )dmn(R):= { a  X |  b  Y : (a, b)  R} . Def. (RXY reláció értékkészlete )rng(R) := { b  Y |  a  X : (a, b)  R} .

3. 3 Def. Ha S R, akkor S azRleszűkítése, Raz Skiterjesztése. Def. Az Rreláció X halmazra valóleszűkítéseR|X := { (a, b)  R | a  X } . Def. Az RXY reláció inverze:R-1 = {(b, a)  Y  X| (a, b) R } . Észrevételek:

4. 4 Def. Az A halmaz képe inverz (ős)képe Észrevétel: R(A) =   A  dmn(R) =  . Def. Az S és R binér relációk kompozíciója Észrevétel: rng(S) dmn(R) =   R o S =  .

5. 5 dmn(R) rng(S) z S R x y B A C Tehát R o S  A  C

6. Legyen A = { 1, 2 , 3, 4, 5}, 6 B = { 6, 8 , 10, 12, 14}, C = { 30, 36 , 42, 48, 54} , D = { 2, 3 }, S A  B, ahol (a, b)  S, ha b = 2a , R B  C, ahol (a, b)  R, ha b = 3a . Ekkor S(D) = { 6 }, S-1(S(D)) = { 3 }, S = { (3, 6) , (4, 8) , (5, 10) }, R = { (10, 30) , (12, 36) , (14, 42) }, dmn(S) = {3, 4, 5}, rng(S) = {6, 8, 10}, dmn(R) = {10, 12, 14}, rng(R) = {30, 36, 42}, R o S = { (5, 30) }.

7. 1.3.27. 7 1.3.28. rng(S) z dmn(R) S R rng(R) x y B A C

8. 8 Homogén binér relációk tulajdonságai Legyen R A A alakú, ekkorR 1. reflexív: a  A (a Ra) 2. irreflexív: a  A ¬(a Ra) 3. szimmetrikus :  a, b  A (a Rb  b Ra) 4. antiszimmetrikus :  a, b  A (a Rb  b Ra b =a)

9. 9 5. szigorúan antiszimmetrikus (asszimmetrikus):  a, b  A (a Rb  ¬(b Ra)) 6. tranzitív :  a, b, c  A (a Rb b Rc a Rc) 7. intranzitív :  a, b, c  A (a Rb b Rc ¬(a Rc)) 8. trichotom :  a, b  A (1!áll fenn a Rb, b Ra, a=b közül) 9. dichotom :  a, b  A (a Rb  b Ra)

10. 10 Def.~ ekvivalenciareláció ha reflexív, tranzitív, szimmetrikus. Def. ( halmaz osztályfelbontása ) A tetszőleges X halmazt osztályozzuk (osztályokra bontjuk), ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak úniójaként állítjuk elő. Az x  X elem ekvivalencia osztálya:

11. 1.3.38. . Biz. 1. ,azaz tfh ~ ekvivalenciareláció X –n. ~ reflexivitás  x  x  osztályok nem üresek Mi újság két osztály metszetével ? ~ ~ tfh van nem üres: z  x  y tranz.+szimm.  x ~ y , továbbá ~ ~ ~ ~ tranz.+szimm.  w  x  w  y és w  y  w  x . ~ ~ ~ ~ Kaptuk: x  y    x = y 11

12. 12 Tehát a következő halmaz X –nek egy osztáyfelbontását adja: 2. , tfh X –nek osztályfelbontása: X1 X2  ...  Xn= X Legyen a relációnk: ρ := {(a, b) X X | a, b  Xivalamely 1 i n –re } .    szimmetrikus ? reflexív ? tranzitív ?

13. 13 Def. AzR X Xreláció részbenrendezés (  ), ha - reflexív, - tranzitív, - antiszimmetrikus, szigorú részbenrendezés ( < ), ha - irreflexív, - tranzitív. Def. Tetszőleges részbenrendezett halmaz esetén, ha bármely két elem relációban van, rendezésről (teljes rendezés) beszélünk. (X,  ) részbenrendezett vagy rendezett struktúra, ha  részbenrendezés vagy rendezés.

14. Tetszőleges X, a  relációval részbenrendezett halmaz bármely Y részhalmaza részbenrendezett a  YY relációval. Ha (Y,  YY ) struktúra rendezés, akkor lánc. Tfh RX –beli reláció. Ha S X –beli reláció olyan, hogy xSy akkor áll fenn, ha xRy és x  y, akkor S az R –nek megfelelő szigorú reláció. Tfh RX –beli reláció. Ha T X –beli reláció olyan, hogy xTy akkor áll fenn, ha xRy vagy x = y, akkor T az R –nek megfelelő gyenge reláció. < szigorú részbenrendzés irreflexív, tranzitív, szigorúan antiszimmetrikus .  rendezés  < trichotóm 14

15. Zárt intervallum: [x, y] = { z X | x  z  y } . Nyílt intervallum: (x, y) = { z X | x < z < y } . Jel: ] , x [ 15

16. 16 Legyen(X,  )részbenrendezett struktúra, ekkor m  X az X minimális eleme, ha nem létezik olyan (m  ) x  X, amelyre m ≥ x , legkisebb eleme, ha maximális és legnagyobb elem hasonlóan minden x  X – re m  x . Észrevételek: legkisebb és legnagyobb elem legfeljebb egy van minimális és maximális elem több is lehet rendezett halmazban legkisebb és minimális egybeesik

17. Legyen B A (A részbenrendezett), ekkor a  A a B alsó korlátja, ha minden x  B – re a  x , felső korlátja,ha minden x  B – re x  a . Észrevételek: lehet 0, vagy több korlát a korlát nem biztos, hogy B eleme ha egy korlát B –ben van, akkor 1! (legkisebb, vagy legnagyobb elem) 17

18. B infinuma (inf B), ha létezik, B legnagyobb alsó korlátja, pontos felső/alsó korlát, felső/alsó határ Bsupremuma (sup B), ha létezik, B legkisebbb felső korlátja. Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme. Észrevétel: jólrendezett  rendezett 18

19. 19 1.4 Függvények Def. Az f reláció függvény, ha (x, y)  f  (x, y’)  f  y = y’ Kapcsolódó jelölések, fogalmak: Az összes olyan függvény halmaza, amelynek értelmezési tartománya X – nek, értékkészlete pedig Y – nak része. rng(f) Y dmn(f) =X dmn(f) X parciális függvény

20. Mikor egyenlő két függvény? f = g ( dmn(f) = dmn(g) )  ( x dmn(f)  f(x) = g(x)). Def.Az f :A  B függvény szürjektív, ha B = rng(f) ,injektív,ha  a, b dmn(f) : (a  b)  f(a)  f(b),bijektív, ha injektív és szürjektív is. ráképezés kölcsönösen egyértelmű 20

21. 21 Észrevétel: injektív függvény inverze is függvény. 1.4.11. Ha adott egy X halmazon értelmezett ekvivalenciareláció, akkor az X elemeihez saját ekvivalenciaosztályukat rendelő leképezést (függvényt) kanonikus leképezésnek (függvénynek) nevezzük. Fordítva: ha f : X  Y függvény, akkor ~  X  X ekvivalenciareláció, ahol (x, y)  ~ , ha f(x) = f(y)

22. 22 Legyen (A, 1 ) , (B, 2 ) részbenrendezett struktúra. Ekkor az f: A  B függvény monoton növő, ha  x, y dmn(f): x 1 y  f(x)2 f(y) , szigorúan monoton növő, ha  x, y dmn(f): x <1 y  f(x)<2 f(y) . Csökkenő hasonlóan! Észrevételek: ha A és B rendezettek, akkor f szigorúan monoton  f injektív f injektív  monoton  szigorúan monoton és f inverze is monoton .

23. Családok Legyen x függvény, dmn(x) = I és x(i) = y helyett írjunk x(i) = xi –t. Ekkor Iindexhalmaz, rng(x) indexelt halmaz, xindexeltcsalád. Ha rng(x) elemei halmazok, akkor halmazcsaládról beszélünk és egy Xi , i  Ihalmazcsaládunióját így definiáljuk: I  esetén halmazcsaládmetszetét így definiáljuk: 23

24. 1.4.22. 1.4.24. 24

25. 25 Descartes – szorzat Def. Az Xi , i I halmazcsaládhoz tartozó kiválasztási függvénynek nevezzük azokat az alakú függvényeket, ahol iI -re xi Xi . Def. Az Xi , i I halmazcsalád Descartes – szorzata a hozzá tartozó összes kiválasztási függvény halmaza. Jel: vagy Észrevételek: ha  i  I : Xi =   I =   Def.

26. 26 Példa (relációs adatbázis) I = {személyi_szám, név, lakcím, végzettség} attribútumok (mezőnevek) Xszemélyi_szám ={11 jegyű decimális számok} olyan függvény, ahol iI -re xi Xi . Xi indexelt családhoz tartozó rekord xi a rekord i nevű mezője. Adattábla : Xi indexelt családhoz tartozó rekordok egy halmaza. Általánosítva: rekord: egy Xiindexelt családhoz tartozó kiválasztási függvény. Xiindexelt családhoz tartozó reláció: kiválasztási függvények egy halmaza.

27. 27 f : An A az A-n értelmezet n-váltotós (n-ér) művelet. Jel: f (a1, a2, ..., an) Műveleti tábla operandusok jobboldali eredmény baloldali binér művelet

28. 28 Függvénytér (műveletek függvényekkel) Ha X, Y tetszőleges halmaz és  binér művelet Y-on, akkor legyen tehát  binér művelet az X-et az Y-ra képező függvények halmazán, azaz  : (X  Y)  (X  Y)  (X  Y) Mindkét fogalom értelmezhető nullér és unér műveletre is! Művelettató leképezés (homomorfizmus) Legyen  · az A,  a B halmazon értelmezett binér művelet.A  : A B függvényt homomorfizmusnak nevezzük, ha művelettartó, vagyis minden a1, a2  A esetén (a1a2) = (a1) (a2). injektív és művelettartó