第三章微分中值定理与导数的应用

Tianjin Normal University 第三章微分中值定理与导数的应用计算机与信息工程学院主讲人：张少强

第四节函数的单调性 与曲线的凹凸性用一阶导数研究曲线的上升和下降函数的单调性用二阶导数研究函数的凹凸性曲线的弯曲方向

a b 一、函数单调性的判定法若函数y＝f (x) 在[a, b]上单调减少，若函数y＝f (x) 在[a, b]上单调增加，则它的图形是一条沿x轴正向下降的曲线。则它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线。则曲线上各点处切线的斜率是非正的，则曲线上各点处切线的斜率是非负的，即 y 即 y＝f (x) o x a b

若在(a, b)内导数始终 又有则若在(a, b)内反之，若函数在某区间可导，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？答案是肯定的。√ 讨论：设函数f (x)在[a,b]上连续，在(a, b)上可导，在[a, b]上任取两点x1，x2（不妨设x1<x2) 由Lagrange中值定理得到： <

若在(a, b)内 若在(a, b)内在区间[0,2π]上单调增加. 换成其他区间也成立归纳以上讨论，得定理1 设函数y＝f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)上可导则函数y＝f (x)在[a, b]上单调增加；则函数y＝f (x)在[a, b]上单调减少。例1判定函数y=x-sinx 在[0, 2π]上的单调性. 解：注：若可导函数y=f (x)在区间内导数不恒大于0也不恒小于0，那我们就得将导数为0的点作为分界点，讨论其单调性.

例2讨论函数 的单调性. 解：函数的定义域为因为在因为在内内在在上单调减少；上单调增加. 所以函数所以函数最后以导数为零的点为分界点按定理1讨论先求定义域再求导数为零的点另外注意，有的函数也可能在所讨论的区间内有导数不存在的点.

的单调性. 例3讨论函数解：这函数的定义域为再求导数为0和导数不存在的点作为分界点当x=0时，函数导数不存在.不存在导数为0的点. 在在内，内， y 因此函数在因此函数在上单调减少；上单调增加； x 先求定义域

例4确定函数的单调区间 解：定义域为求导解方程分成三部分两个根把在在在讨论函数单调性的过程求 f (x)的定义区间，且在每个定义区间上连续在定义区间内求导数为0的点和导数不存在的点为分界点用分界点划分定义区间, f′的符号就能在各个部分区间保持固定.研究各部分区间f′的单调性.

例5讨论函数 的单调性. 解：先求定义域： x 1 -1 除了点x=0, 其余各点均有和在区间都是单调增加的. 在整个定义域内是单调增加的. 再求导数为0（和导数不存在）的点：最后，在分界点讨论导数的符号：说明：一般地 如果 f(x)在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正(或负)时 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的

例6 若证明当有方法：令证明 f (x) 单调增加. 下面讨论：用函数的单调性证明不等式. 若f (a)=0, 则有f (x)>f (a)=0. 证明

因为当x>1时f(x)>0 所以f(x)在[1)上f(x)单调增加 因此当x>1时f(x)>f(1)=0 即

二、曲线的凹凸性与拐点 函数曲线除了有升有降之外, 还有不同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？

曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续 如果对I上任意两点x1x2恒有那么称f(x)在I上的图形是凹的 如果恒有那么称f(x)在I上的图形是凸的 • 观察与思考 • 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系. >>>

定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[ab]上连续 在(ab)内具有二阶导数. 若在(a b)内f(x)>0则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)<0则f(x)在[a b]上的图形是凸的

简要证明(1) 由拉格朗日中值公式 得两式相加并应用拉格朗日中值公式得

定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[ab]上连续 在(ab)内具有二阶导数. 若在(a b)内f(x)>0则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)<0则f(x)在[a b]上的图形是凸的 例7判断曲线yln x的凹凸性 解因为在函数 yln x 的定义域(0)内y<0 所以曲线yln x是凸的

定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[ab]上连续 在(ab)内具有二阶导数. 若在(a b)内f(x)>0则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)<0则f(x)在[a b]上的图形是凸的 例8判断曲线yx3的凹凸性 解y3x 2y6x 由y0得x0. 因为当x<0时y<0所以曲线在( 0]内是凸的 因为当x>0时y>0所以曲线在[0)内是凹的

拐点 • 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点 • 讨论 • 如何确定曲线yf(x)的拐点？ • 如果(x0,f(x0))是拐点且f(x0)=0存在, 问f(x0)=？ • 如何找可能的拐点？拐点

拐点 • 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点 • 讨论 • 如何确定曲线yf(x)的拐点？ • 如果(x0,f(x0))是拐点且f(x0)存在, 问f(x0)=？ • 如何找可能的拐点？ • 提示 • 如果在x0的左右两侧f(x)异号, 则(x0,f(x0))是拐点. 在拐点(x0,f(x0)) 处 f(x0)=0或 f(x0)不存在. 只有f(x0)等于零或不存在, (x0,f(x0))才可能是拐点.

只有f(x0)等于零或不存在, (x0,f(x0))才可能是拐点. • 如果在x0的左右两侧f(x)异号, 则(x0,f(x0))是拐点. 例9求曲线y2x33x22x14的拐点 解y6x26x12

( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3) x f(x) f (x) 例10求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 解(1)函数y3x44x31的定义域为() (4)列表判断 ＋ 0 － 0 ＋ ∪ 1 ∩ 11/27 ∪ 在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的;在区间[02/3]上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点

例12 • 例11 • 曲线yx4是否有拐点？ • 提示 y4x 3y12x 2 • 当x0时y>0在区间()内曲线是凹的 • 因此曲线无拐点 解二阶导数无零点; 当x0时, 二阶导数不存在 因为当x<0时y>0当x>0时y<0 所以点(0 0)曲线的拐点

作业 • 习题3－4 • 3 (3); 4(2)(4); 8 (1)(3)(5); 9(2)(3); 11

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