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Tree and BinTree

Tree and BinTree. 第6章 树与二叉树. 线索二叉树 二叉树、树和森林 树的应用. 线索二叉树 二叉树、树和森林 树的应用. 线索二叉树. 引入背景： 1) n 个结点的二叉树，有 n-1 条边 2)即：二叉链表的2 n 个孩子指针域【 1个结点2个指针域 】中只有 n-1 个域被利用，其余 n+1 个指针域为空 线索二叉树将使其余的 n+1 个空闲的指针域利用起来： (1) 当某结点 无左孩子 时，令 左指针 指向其 前驱 结点 (2) 当某结点 无右孩子 时，令 右指针 指向其 后继 结点. 线索二叉树.

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Presentation Transcript

  1. Tree and BinTree 第6章 树与二叉树

  2. 线索二叉树 • 二叉树、树和森林 • 树的应用

  3. 线索二叉树 • 二叉树、树和森林 • 树的应用

  4. 线索二叉树 引入背景： 1) n个结点的二叉树，有n-1条边 2)即：二叉链表的2n个孩子指针域【1个结点2个指针域】中只有n-1个域被利用，其余n+1个指针域为空 线索二叉树将使其余的n+1个空闲的指针域利用起来： (1) 当某结点无左孩子时，令左指针指向其前驱结点 (2) 当某结点无右孩子时，令右指针指向其后继结点

  5. 线索二叉树 做法：在原结点结构中增加两个标志域 typedef struct node { char data; struct node *lch,*rch; int ltag,rtag; }Btnode; 线索：指向前驱或后继的指针 线索化：对二叉树以某种次序进行遍历并加上线索的过程 线索二叉树：经过线索化之后的二叉树

  6. 对二叉链表进行线索化： 对该链表的任何一个结点p，做如下处理： (1) 若p有左孩子，则令p->ltag=0; (2) 若p无左孩子，则令p->ltag=1，且p->lch指向p的前驱结点 (3) 若p有右孩子，则令p->rtag=0; (4) 若p无右孩子，则令p->rtag=1，且p->rch指向p的后继结点 前驱、后继由遍历的次序(一般为前序、中序或后序)决定！ 图中二叉树的中序遍历次序： BDAEC

  7. 线索二叉树的逻辑表示图 按不同的遍历次序进行线索化，可得到不同的线索二叉树 有：先根线索二叉树、中根线索二叉树和后根线索二叉树 对于图中的二叉树的前序、中序、后序的遍历次序依次为： ABDCEFGHI、DBAFECHGI、DBFEHIGCA

  8. 中根次序线索化(递归)算法* main() { pr=NULL; //全局变量 //先建好一棵树的二叉链表 t=creat(); //为其中根次序线索化 inthread(t); pr->rch=NULL; } void inthread(Btnode *p) { if(p!=NULL) { //先为p的左子树中根次序线索化 inthread(p->lch); printf(“%6c\t”,p->data); //若p有左子树，则置ltag为0 if( p->lch!=NULL) p->ltag=0; //若p无左子树，则置ltag=1，并让lch指向p结点的前驱 else { p->ltag=1; p->lch=pr; } //为p结点建左线索，指向前驱结点pr if(pr!=NULL) //若p的前驱pr不为空 { //若p有右子树，则置rtag为0；否则置rtag=1，并让rch指向其后继 if(pr->rch!=NULL) pr->rtag=0; else { pr->rtag=1; pr->rch=p; } } //为前驱结点pr建右线索，指向p pr=p; //pr跟上p，以便p向后移动 //对p的右子树中根次序线索化 inthread(p->rch); } }

  9. 在中根线索树上检索某结点的前驱或后继 ltag(rtag)为1：无左(右)孩子，此时，前驱(后继)由lch(rch)指出； ltag(rtag)为0：有左(右)孩子，此时，前驱(后继)为中根遍历其左(右)子树时访问的最后一个(第一个)结点 (1) 已知q结点，找出它的前驱结点 Btnode *inpre(Btnode *q) { if(q->ltag= =1) p=q->lch; else { r=q->lch; while(r->rtag!=1) r=r->rch; p=r; } return(p); } 图中二叉树的中序遍历次序为：DBAFECHGI (2) 已知q结点，找出它的后继结点 Btnode *insucc(Btnode *q) { if(q->rtag= =1) p=q->rch; else { r=q->rch; while(r->ltag!=1) r=r->lch; p=r; } return(p); }

  10. 遍历中根线索二叉树 1) 首先从根结点开始查找二叉树的最左结点 2) 对最左结点进行访问 3) 利用在中根线索树上求某结点后继的算法，逐一找出每个结点加以访问，直至某结点的右孩子指针域为空 void inthorder(Btnode *t) { p=t; if(p!=NULL) while(p->lch!=NULL) p=p->lch; printf(“%6c”,p->data); while(p->rch!=NULL) { p=insucc(p); printf(“%6c”,p->data); } }

  11. 线索二叉树 • 二叉树、树和森林 • 树的应用

  12. 树的存储结构 (1) 顺序结构(向量)：将树结点按自上而下，自左至右的顺序一一存放，如：完全二叉树 (2) 常用链式结构： 1) 结点定长的多叉链表 2) 孩子－兄弟二叉链表 兄弟 孩子

  13. 一般树转化为二叉树 根据树的孩子-兄弟存储方式进行转化： (1) 加线：在每个兄弟结点间用虚线相链 (2) 抹线：对每个结点仅保留它与其最左一个孩子的连线，抹去该结点与其它孩子之间的连线 (3) 旋转：把虚线改为实线从水平方向向下旋转45度，成右斜下方向

  14. 二叉树还原为一般树 前提：二叉树必须是由某一树转换而来的没有右子树的二叉树！ (1) 加线：若某结点i是双亲结点的左孩子，则将该结点i的右孩子以及当且仅当连续地沿着右孩子的右链不断搜索到的所有右孩子，都分别与结点i的双亲结点用虚线连接 (2) 抹线：把原二叉树中所有双亲结点与其右孩子的连线抹去 (3) 进行整理：把虚线改为实线，把结点按层次排列

  15. 森林与二叉树之间的转换 森林是树的有限集合

  16. 森林转换为二叉树 (1) 将森林中每棵子树转换成相应的二叉树，形成有若干二叉树的森林 (2) 按森林图形中树的先后次序，依次将后边一棵二叉树作为前边一棵二叉树根结点的右子树 例：将二叉树森林转换为二叉树

  17. 二叉树还原为森林 (1) 抹线：将二叉树的根结点与其右孩子的连线以及当且仅当连续地沿着右链不断搜索到的所有右孩子的连线全部抹去 (2) 还原：将每棵二叉树按二叉树还原一般树的方法还原为一般树，即得到森林 例：将二叉树还原为二叉树森林

  18. 一般树或森林的遍历 主要是先序遍历和后序遍历 (1) 树的先序遍历： 首先访问树的根结点 然后从左至右逐一先序遍历每一棵子树 (2) 树的后序遍历： 首先后序遍历树的最左边的第一棵子树 接着从左至右逐一后序遍历每一棵子树 最后访问树的根结点 一般树的孩子-兄弟链表存储结构： typedef struct nodet { int data; struct nodet *fch; // 指向第一个孩子 struct nodet *nbra; // 指向下一个兄弟 }Cbnode;

  19. 线索二叉树 • 二叉树、树和森林 • 树的应用

  20. 二叉排序树的定义和特点 (1)定义： 二叉排序树(binary sort tree)或是空树或是非空树对于非空树： 1)若左子树不空，则左子树上各结点的值均小于它的根结点的值 2)若右子树不空，则右子树上各结点的值均大于它的根结点的值 3)它的左、右子树又分别是二叉排序树 (2)特点： 对二叉排序树进行中序遍历，可得到一个由小到大的序列

  21. 建立二叉排序树 实质：不断进行插入结点的操作 假设：有1组数据：K={ k1,k2,…,kn} 要求：将它们一一输入建成二叉排序树 定义结点结构如下： typedef struct node { int data; struct node *lch,*rch; }Snode; (1) 让k1做根 (2)对于k2，若k2<k1，令k2做k1的左孩子；否则令k2做k1的右孩子 (3)对于k3，从根k1开始比较，若k3<k1，则到左子树中找；否则到右子树中找；找到适当位置进行插入 (4) 对于k4,k5,…,kn，重复第(3)步，直到kn处理完为止

  22. 建立二叉排序树的算法： Snode*creat_bt() { Snode *t0,*s; int n,i; ElemType k; printf(“\n n=?”); scanf(“%d”,&n);//树结点的个数 t0=NULL; for(i=1;i<=n;i++) { printf(“\n %d key=?”,i); scanf(“%d”,&k); //树结点值 s=(Snode *)malloc(sizeof(Snode)); //创建结点 s->data=k; s->lch=NULL; s->rch=NULL; //将该结点按二叉排序树的要求插入 t0=insert1(t0,s); } return(t0); }

  23. 在二叉排序树插入一个结点s的算法 递归算法： Snode *insert1(Snode *t,Snode *s) { if(t==NULL) t=s; else if(s->data<t->data) t->lch=insert1(t->lch,s); else t->rch=insert1(t->rch,s); return(t); } 非递归算法： Snode *insert2(Snode *t,Snode *s) { if(t==NULL) t=s; else { p=t; while(p!=NULL) { q=p; if(s->data<p->data) p=p->lch; else p=p->rch; } //寻找s插入的位置 if(s->data<q->data) q->lch=s; else q->rch=s; } // 插入 return(t); }

  24. 例：二叉排序树的生成 给出一组数据：{10,3,18,6,20,2}

  25. 在二叉排序树中删除结点－1 删除结点p【p无右孩子】 方法：将p的左孩子上移代替p

  26. 在二叉排序树中删除结点－2 删除结点p【p无左孩子】 方法：将p的右孩子上移代替p

  27. 在二叉排序树中删除结点－3 删除结点p【p有左孩子也有右孩子】 方法：用p的前驱(或后继)结点s代替p

  28. 算法： void delet(Snode *t,Snode *p,Snode *f) { bool=1; if(p->lch==NULL) s=p->rch; // p无左孩子 else if(p->rch==NULL) s=p->lch; // p无右孩子 else { q=p; s=p->rch; // p左、右孩子均有 while(s->lch!=NULL) { q=s;s=s->lch; } // 找p的后继 if(q==p) q->rch=s->rch; else q->lch=s->rch; p->data=s->data; free(s); bool=0; } if(bool==1) // p只有一个孩子时 { if (f==NULL) t=s; // 即p= =t时 else if(f->lch==p) f->lch=s; else f->rch=s; free(p); } }

  29. 关于哈夫曼树的几个先导概念 树中两个结点间的路径： 由一个结点到另一结点的分支构成 两结点间的路径长度： 路径上分支的数目 树的路径长度： 从根结点到每一个结点的路径长度之和 设一棵二叉树有n个叶子结点，每个叶子结点拥有一个权值W1,W2,…,Wn，从根结点到每个叶子结点的路径长度分别为L1,L2,…,Ln，那么树的带权路径长度为每个叶子的路径长度与该叶子权值乘积之和，记作： 画图时：把带权的叶子画成方形 其它非叶子结点仍为圆形

  30. 哈夫曼树(最优二叉树) 哈夫曼树(最优二叉树)： 是一类带权路径长度最短的树，应用广泛 (c) 是哈夫曼树

  31. 哈夫曼树的构造 对于已知的一组叶子的权值W1,W2,…Wn (1)首先把n个叶子结点看作n棵树(仅含1个结点的二叉树)，把它们看做一个森林 (2)在森林中把权值最小和次小的两棵树合并，该树根结点的权值是两棵子树权值之和 (3)重复(2)，直至森林中只有一棵树为止 该树即为哈夫曼树！ 注意：n个叶子构成的哈夫曼树的带权路径长度唯一 但：树形不唯一

  32. 例：哈夫曼树的构造过程

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