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迭代法求非线性方程的根

迭代法求非线性方程的根. 迭代法是求解非线性方程近似根的一种方法,这种方法的关键是确定迭代函数  (x) ,简单迭代法 用直接的方法从原方程中隐含的求出 x ,从而确定迭代函数 (x) ,这种迭代法收敛速度较慢,迭代次数多,因此常用于理论中 ,Newton 迭代法采用另一种迭代格式 , 具有较快的收敛速度,由 牛顿迭代法可以得到很多其他迭代格式 。. 下一页. 迭代法. 一、 简单迭代法的概念与结论 二、 Newton 迭代法的基本思想 三、 牛顿法的几何意义 四、牛顿迭代法的步骤 五、例题 六、其他注意的事项. 一、简单迭代法的概念与结论.

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迭代法求非线性方程的根

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  1. 迭代法求非线性方程的根 迭代法是求解非线性方程近似根的一种方法,这种方法的关键是确定迭代函数(x),简单迭代法 用直接的方法从原方程中隐含的求出x,从而确定迭代函数(x),这种迭代法收敛速度较慢,迭代次数多,因此常用于理论中,Newton迭代法采用另一种迭代格式, 具有较快的收敛速度,由牛顿迭代法可以得到很多其他迭代格式。 下一页 1

  2. 迭代法 • 一、简单迭代法的概念与结论 • 二、 Newton迭代法的基本思想 • 三、牛顿法的几何意义 • 四、牛顿迭代法的步骤 • 五、例题 • 六、其他注意的事项 2

  3. 一、简单迭代法的概念与结论 • 简单迭代法又称逐次迭代法,基本思想是构造不动点方程,以求得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=(x), 然后建立迭代格式, • 当给定处值x0 后, 由迭代格式可求得数列{xk}。如果{xk}收敛于x*,则它就是方程的根。因为: • 但迭代格式有多种,迭代格式如何建立才能保证迭代法的数列收敛?有如下定理: 下一页 返回 7

  4. 实用中(1.2)式常用 定理一:假定函数 满足下列条件: 1、对任意 有 ;(1.1) 2、存在正数 L<1,使对任意 有 (1.2) 则迭代过程 对于任意初值 均收敛于方程 的根 ,且有如下的误差估计式: (1.3) 返回 下一页 8

  5. 证明:设方程 在区间 内有根 , 则有 由 故 据此反复递推有 下一页 返回 9

  6. 故当 时迭代值 按(1.2)式 有 (1.4), 据此反复递推得: 于是对任意正整数p有 在上式令 ,注意到 即得式(1.3)。证毕。 10 下一页 返回

  7. 定理二:对于迭代过程 ,如果 在所求根 的邻近连续,并且 (*) 则该迭代过程在点 邻近是P阶收敛的。 证明:由于 。据定理一,立即可以断定迭 代过程 具有局部收敛性。再将 在根 处展开,利用条件(*),则有 注意到 , 由上式得 下一页 返回 11

  8. 因此对迭代误差有: 。这表明迭代过程 确实为P阶收敛,证毕。 上述定理告诉我们,迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数. 如果选取当 时 ,则该迭代过程只能是线性收敛。对于牛顿迭代公式(1),其迭代函数为 由于 ,假定 是f(x)的一个单根,即 , 则由上式知 。于是依据定理二可以断定,牛顿法在根 的邻近是平方收敛的。 下一页 返回 12

  9. 定义一:如果存在 的某个邻域 ,使迭代过程 对于任意初值 均收敛,则称迭代过程 在根 邻近具有局部收敛性。 定理三:设 为方程 的根, 在 的邻近连续。且则迭代过程在邻近具有局部收敛性。 下一页 返回 13

  10. 证明:由连续函数的性质,存在 的某个邻域 ,使对于任意 成立 。此外,对于任意 总有 。这是因为 ,依据定义三,可以断定,迭代过程 对于任意初值 均收敛。证毕。 下一页 返回 14

  11. 二. Newton迭代法的基本思想 • 设 是f(x)=0的一个近似根,把f(x)在 处作泰勒展开 • 若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化),则得近似的线性方程 • 设 ,令其解为 ,得 • (1) • 这称为f(x)=0的牛顿迭格式。 下一页 返回 3

  12. 它对应的迭代方程为 显然是f(x)=0的同解方程, 故其迭代函数为 在 f(x)=0的根 的某个邻域 内, 在 的邻域R 内,对任意初值 ,应用由公式(1)来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一. 返回 下一页 4

  13. 三、牛顿法的几何意义 • 由(1)式知 是点 处 的切线 与X轴的交点的横坐标(如图)。也就是说,新的近似值 是用代替曲线y=f(x)的切线与x 轴相交得到的。继续取点 ,再做切线与x轴相交,又可得 。由图可见,只要初值取的充分靠近 ,这个序列就会很快收敛于 。 • Newton迭代法又称切线法 下一页 返回 5

  14. 下一页 返回 6

  15. 四、牛顿迭代法的步骤 • 步一、准备。选定初始近似值 ,计算 • 步二、迭代。按公式 迭代一次,得到新的近似值 ,计算 • 步三、控制。如果 满足 或 .则终止迭代,以 作为所求的根;否则转步四。此处 是允许误差, 下一页 返回 15

  16. 。其中c是取绝对值或相对误差 的控制常数,一般可取c=1。 步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N,或者 则方法失败;否则以 代替 转步二继续迭代。 下一页 返回 16

  17. 五.例题 例1:用牛顿法求下面方程的根 解 因 ,所以迭代公式为 选取 ,计算结果列于下表 从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了四次迭代就得到了较满意的结果. 下一页 返回 17

  18. 例2 计算 的近似值。 =10-6 x0=0.88 解: 令x= 问题转化为求ƒ(x)= x2-0.78265=0的正根 由牛顿迭代公式 xk+1= xk-ƒ(xk)/ƒ'(xk)= xk/2+0.78265/2xk 迭代结果 k01 2 3 xk 0.880000 0.884688 0.884675 0.884675 满足了精度要求 =0.884675 下一页 返回 18

  19. 六.其他注意的事项 下一页 19

  20. 返回 下一页 20

  21. 七、牛顿迭代法的优缺点 1、优点:牛顿迭代法具有平方收敛的速度,所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。 2、缺点:选定的初值要接近方程的解,否则有可能的不到收敛的结果。再者,牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。 返回 下一页 21

  22. 八、迭代的一般概念 迭代法可分为单点迭代法与多点迭代法。 单点迭代法的一般形式为: xi+1=(xi) i=0,1,2,... 需一个初始点 x0启动 多点迭代法的一般形式为: xi+1= (xi,xi-1,…,xi-k+1) 需多个初始点 x0 ,x1, x2…,xk启动 对于单点迭代:n=1 22

  23. 练习 求方程x3+x=2x2+3在x0=4附近的根。 解:函数(x)=x3-2x2+x-3写成嵌套形式 (x)=x3-2x2+x-3=((x-2)x+1)x-3 `(x)=3x2-4x+1=(3x-4)x+1 计算结果如下: N X N X 0 4.000000000000 4 2.175554938721 1 3.000000000000 5 2.174560100666 2 2.437500000000 6 2.174559410293 3 2.213032716315 7 2.174559410292 8 2.174559410292 1

  24. 判别Newton 法收敛的充分条件 设(x )在有根区间 (a,b)上存在二阶导数,且满足 (1)(a)(b)<0; (2)`(x)0,x(a,b); (3)``(x)不变号,x(a,b); (4)初值x0(a,b);且使(x0)``(x0)>0。 则牛顿迭代序列{xi}收敛于 (x)=0 在 (a,b) 内唯一的根。 1

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