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解析几何

解析几何. 第三章 常见曲面. 本章研究一些较复杂的图形，如旋转面、柱面、锥面、二次曲面等常见曲面．我们将从曲面的几何性质出发，选择适当的坐标系来建立它们的方程，另外，通过对方程自身的分析来研究曲面的几何性质．即研究 两个基本问题： １、已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面的方程；２、已知　 x 、 y 、 z 　满足的方程，研究方程表示的曲面的形状． 本章内容都是在右手直角坐标系中进行的. §1 球面和旋转面 §2 柱面和锥面 §3 二次曲面 § 4 直纹面 §5 曲面的交线、曲面所围成的区域. §1 球面和旋转面.

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  1. 解析几何

  2. 第三章 常见曲面 本章研究一些较复杂的图形，如旋转面、柱面、锥面、二次曲面等常见曲面．我们将从曲面的几何性质出发，选择适当的坐标系来建立它们的方程，另外，通过对方程自身的分析来研究曲面的几何性质．即研究两个基本问题：１、已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面的方程；２、已知　x、y、z　满足的方程，研究方程表示的曲面的形状． 本章内容都是在右手直角坐标系中进行的.

  3. §1 球面和旋转面 • §2 柱面和锥面 • §3 二次曲面 • §4 直纹面 • §5 曲面的交线、曲面所围成的区域

  4. §1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程 1.2 球面的参数方程 1.3 曲面与曲线的普通方程、参数方程 1.4 旋转面

  5. 球心在M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程为： (1) (2) 1.1 球面的普通方程 它是一个三元二次方程： 方程 (2) 无交叉项，平方项系数相同. 反之，任给一形如 (2) 的三元二次方程，可写为：

  6. 当 时为一球面; 当 时为一个点 当 时无轨迹（称为一个虚球面). 点与球面的位置关系: 在球内、球面上、球外； 平面与球面的交线：圆、交于一点、无交点（交线 为虚圆）； 两球面之间：不相交，相交于一点,相交于一圆,. 半径相等时可重合.

  7. (当 在 xoy 面上方时θ为正，反之为负)，则可得 M z R y θ Q  P x 1.2 球面的参数方程 设球心在原点，半径为 , 球面上任取一点 如图取角度

  8. 有两个参数 经度,θ: 纬度. 球面上点（除与Z轴交点外）对应唯一一对实数（ ），称为球面上曲纹坐标. 空间中点 , 称 为 的球面坐标（或空间极坐标）. 于是直角坐标与球面坐标关系为：

  9. 1.3 曲面与曲线的普通方程、参数方程 如果曲面上（或曲线上）点的坐标满足方程，满足方程的点在曲面上（或曲线上），则称方程为曲面（或曲线）的方程. 曲面的普通方程形如： 曲面的参数方程形如:

  10. 值 曲线上点. 曲面上点 称为曲纹坐标. 空间中的曲线可看成两个曲面的交线. 称为曲线的普通方程. 曲线的参数方程形如:

  11. 如：球面 与 面相交所得圆的普通方程为： 参数方程为:

  12. 定义3.1空间中，一条曲线 绕一定直线 旋转所得曲面称为旋转面. 称为轴， 称为母线. 1.4 旋转面 纬圆 经线(子午线) 注：经线可为母线，但母线不一定是经线.

  13. 已知轴 过点 方向向量为 母线 方程为: 点 在旋转面上 使 在过. 的纬圆上. M1 M0 o

  14. 从这个方程组消去 就得到x,y,z的方程， 即为所求旋转面方程.

  15. . z o y x 旋转面的方程 绕 z轴 曲线 C C

  16. . 在旋转面上 x 旋转面的方程 z 绕 z轴 曲线 C P 旋转一周得旋转曲面S N . M z S C o y

  17. 消去 得 代替即可. 即 中 用 ,即为旋转面方程. 对于其它坐标轴上母线绕坐标轴旋转的旋转面方程类似. 注：一定要是坐标平面上曲线绕此面上坐标轴旋转的旋转 面.

  18. 特殊旋转曲面 (1) 旋转双叶曲面 (2) 旋转单叶曲面 (3) 旋转锥面 (4) 旋转抛物面 (5) 环面

  19. (1)旋转双叶双曲面 y x 绕 x轴一周 0

  20. . z y (1)旋转双叶双曲面 x 绕 x轴一周 0

  21. . z y (1)旋转双叶双曲面 x 绕 x轴一周 . 0

  22. (2)旋转单叶双曲面 y o x 上题双曲线 绕 y轴一周 a

  23. . y o x z (2)旋转单叶双曲面 上题双曲线 绕 y轴一周 a

  24. . y o x z (2)旋转单叶双曲面 上题双曲线 绕 y轴一周 . . a

  25. x o y (3)旋转锥面 两条相交直线 绕 x轴一周

  26. . x z o y (3)旋转锥面 两条相交直线 绕 x轴一周

  27. . x z o y (3)旋转锥面 两条相交直线 绕 x轴一周 得旋转锥面 .

  28. (4)旋转抛物面 z y 抛物线 绕 z轴一周 o

  29. . z y x (4)旋转抛物面 抛物线 绕 z轴一周 o

  30. . (4)旋转抛物面 抛物线 绕 z轴一周 得旋转抛物面 z . o y 生活中见过这个曲面吗？ x

  31. . (4) 例 卫星接收装置

  32. (5) 环面 y o x 绕 y 轴 旋转所成曲面 r R

  33. . y o x z (5) 环面 绕 y轴 旋转所成曲面

  34. . y o x z (5) 环面 绕 y轴 旋转所成曲面 生活中见过这个曲面吗？ 环面方程 . .

  35. . (5) 环面 救生圈

  36. §2 柱面和锥面 2.1 方程的建立 2.2 圆柱面 2.3 柱面方程的特点 2.4 锥面方程的建立 2.5 圆锥面 2.6 锥面方程的特点

  37. ． ． 2.1 方程的建立 定义：一条直线 沿着一空间曲线 平行移动所形成的曲面称为柱面． 称为母线，称为准线. 显然,平面为柱面. 柱面的准线和母线都不唯一，与每一条母线相交的曲线均可作为准线，除平面外，母线方向是唯一的（即不同母线互相平行).

  38. 设一个柱面母线方向为 ，准线 方程为： 点 在柱面上 消去 ,得：

  39. 再消去 即得柱面方程. 准线 取为参数方程 时，可得柱面的参数方程： 下面考虑特殊的柱面方程：圆柱面、锥面、圆锥面的方程.

  40. 有一对称轴 过点 方向即为母线方向 若圆柱面半径为 ， 则由： 在圆柱面上 若圆柱面对称轴为 轴，则圆柱面方程为: 2.2 圆柱面 可得其方程.

  41. 为 点的柱面坐标. 称 圆柱面的参数方程为： 由

  42. 2.3 柱面方程的特点 定理 3.1 若一个柱面的母线平行于z轴（或x轴、y轴），则它的方程中不含z（或x，y）；反之，三元方程若不含z（或x，y），则它一定表示一个母线平行于 z 轴（或x轴、y轴）的柱面.

  43. 柱面:F(x,y)=0 z (x,y,z) M 母线 0 y F( x,y )=0 z= 0 x 准线 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面 (不含z) 曲面S上每一点都满足方程； S (x, y, 0) N 点N满足方程，故点M满足方程 曲面S外的每一点都不满足方程

  44. 柱面:F(y, z)=0 F( y, z )=0 准线 z x = 0 母线 0 y x (不含x) F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面

  45. 椭圆柱面 z o y x b a

  46. 双曲柱面 z y = 0 x o y

  47. 抛物柱面 z y o x

  48. 2.4 锥面方程的建立 定义：将曲线 上点与 外一定点 的连线组成的曲面称为锥面. 顶点， 准线， 上点与 点连线称为母线. 已知锥面顶点为 准线 方程为： 注：准线不唯一，与每一母线相交的曲线均可作为准线. 求锥面方程.

  49. 上有一点在 上 再消去 得到 的一个方程，就为所求锥面方程. 点 在锥面上

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