Potenciação - Elementos

1. Potenciação - Elementos 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25= 32 - O número 2 chamamos de base. É o que se repete. - O número 5 chamamos de expoente. Indica quantas vezes o 2 (base) irá se repetir. - O 32 é o resultado da operação a potência.

2. Potenciação - Definição Dados dois números naturais a e n (n>1),a expressão anrepresenta um produto de n fatores iguais ao número a, ou seja, an = axaxaxa ... xa (n vezes a).

3. O Quadrado de um Número 12 = 1x1 = 1 lê-se: 1 elevado ao quadrado ou 1 elevado a segunda potência. 22 = 2x2 = 4 lê-se: 2 elevado ao quadrado ou 2 elevado a segunda potência. 32 = 3x3 = 9 lê-se: 3 elevado ao quadrado ou 3 elevado a segunda potência.

4. O Cubo de um Número 13 = 1x1x1 = 1 lê-se: 1 elevado ao cubo ou 1 elevado a terceira potência. 23 = 2x2x2 = 8lê-se: 2 elevado ao cubo ou 2 elevado a terceira potência. 33 = 3x3x3 = 27 lê-se: 3 elevado ao cubo ou 3 elevado a terceira potência.

5. Potências de Expoentes 0 Vamos considerar as potências: 10 = 1 20 = 1 30 = 1 n0 = 1 0 Para toda potência de base diferente de 0 e cujo o expoente é igual a 0, o resultado será sempre igual a 1.

6. Potências de Expoentes 1 Vamos considerar as potências: 11 = 1 21 = 2 31 = 3 n1 = n Para toda potência cujo o expoente é 1, o resultado será sempre igual a base.

7. Potências de Base 1 Vamos considerar as potências: 10 = 1 11 = 1 12 = 1x1 = 1 13 = 1x1x1 = 1 1n = 1x1x1. . . x1 = 1 Para toda potência de base 1, não importa o valor do expoente, o resultado será sempre igual a 1. n vezes o 1

8. Potências de Base 10 Toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Potências de 10 são muito utilizadas para notação científica. Vamos considerar as potências: 100 = 1 101 = 10 102 = 10x10 = 100 103 = 10x10x10 = 1000 104 = 10x10x10x10 = 10000 10n = 10x10x10x. . .10 n vezes o 10

9. Exemplos de Potência de Base 10 A distância da Terra à Lua, que é de aproximadamente 400.000 km, pode também ser escrita da seguinte forma: 4 x 105 km.

10. Potenciação de Números Inteiros O expoente é um número par: (+3)2 = (+3).(+3)= +9 (- 3)2 = (- 3).(- 3)= +9 (+3)4 = (+3).(+3).(+3).(+3)= +81 (- 3)4 = (- 3).(- 3).(- 3).(- 3)= +81 Quando o expoente é um número par, o resultado é um número inteiro positivo.

11. Potenciação de Números Inteiros O expoente é um número ímpar: (+3)3 = (+3).(+3).(+3)= +27 (- 3)3 = (- 3).(- 3).(- 3)= - 27 (+3) 5= (+3).(+3).(+3).(+3).(+3)= +243 (- 3) 5= (- 3).(- 3).(- 3).(- 3).(- 3) = - 243 Quando o expoente é um número ímpar, o resultado tem o mesmo sinal da base.

12. Potenciação de Números Racionais Veja os exemplos:

13. Multiplicação de Potências de mesma Base Veja o exemplo: 23 X 24 = 2 X 2 X 2X 2 X 2 X 2 X 2 = 27 2324 23 X 24 = 2 3 + 4= 2 7 am x an = am + n Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência, conservando a base e somando os expoentes.

14. 2 x 2 x 2x 2 16 = = 2 = 24:23 8 2 x 2 x 2 Divisão de Potências de mesma Base Veja o exemplo: 24:23 = 2 4 - 3= 21 am:an = am - n Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência, conservando a base e subtraindo os expoentes.

15. 8 2 x 2 x 2 = = = 1 23:23 8 2 x 2 x 2 Expoente Zero Veja o exemplo: 23:23 = 2 3 - 3= 20 20 = 1 Todo número elevado ao expoente zero é igual a 1.

16. Potência de Potência Veja o exemplo: (22)3 = 22x 22x 22 = 22+2+2= 26 3 vezes (22)3 = 2 2. 3= 2 6 (am)n = am . ncom a0 Uma potência de potência pode ser escrita na forma de uma única potência conservando a base inicial e multiplicando os expoentes.

17. Potência de um Produto Veja o exemplo: (2x3)3 = (2 x 3)X(2 x 3)X(2 x 3) = 23x 33 3 vezes (2x3)3 = 23x 33 (a x b)m = am x bm Para elevar um produto de dois ou mais números a um expoente, elevamos cada fator a esse expoente. A propriedade vale também para a divisão.

18. Cuidado! Veja o exemplo: (2 + 3)3  23 + 33 (2 + 3)3 = 53 = 5 x 5 x 5 = 125 Perceba que a propriedade que vale para o produto não vale para a adição. 23 + 33 = 2 x 2 x 2 + 3 x 3 x 3 = 8 + 27 = 35

19. Outro modo de resolver: 2 x 2 x 2 23:25 = = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1 22 Expoente Negativo Veja o exemplo:2 3: 2 5= 2 3-5 = 2 -2 Para todo número racional a, com a  0, temos que a –1 =1/a.

20. Expoente Negativo - Exemplos Veja exemplos com números fracionários: Perceba no segundo exemplo, que o sinal negativo (menos) do expoente inverteu a fração, mas o resultado ficou positivo porque o expoente é par, e como já vimos, quando o expoente é par o resultado é positivo.

21. Expoente Negativo em Bases Decimais Veja exemplos com números decimais: Perceba no segundo exemplo, que o sinal negativo (menos) do expoente inverteu a fração, mas o resultado ficou negativo porque o expoente é ímpar, e como já vimos, quando o expoente é ímpar o resultado é tem o mesmo sinal da base.