Matrix Pencil for Positioning in Wireless Ad-hoc Sensor Network

1. Matrix Pencil for Positioning in Wireless Ad-hoc Sensor Network 无线Ad-hoc传感器网络中的矩阵束定位 Lecture Notes in Computer Science Liang Song1, Raviraj Adve1 and Dimitrios Hatzinakos1

2. Abstract • Abstract. Wireless ad-hoc sensor networks(WASN)are attracting research interest recently because of their various applications in distributed monitoring,communication,and computing.In this paper,we concentrate on the range error problem of WASN positioning algorithms.A new matrix pencil based time of arrival(TOA)positioning method(MPP)is proposed for WASN.The new scheme employs matrix pencil for multipath time-delay estimation,and triangulation for absolute positioning.Simulations in a square-room scenario show that the positioning performance is generally robust to multipath effect and the positioning error is limited to around one meter • 无线Ad-hoc传感器网络（ wasn ）引起广泛的研究兴趣，因为他们在分布式监控，通信和计算的各种应用。文章中，我们集中于wasn定位算法的距离误差的问题，提出了一种新的基于时间到达（TOA）矩阵束定位方法（MPP）。使用矩阵束多重路径时延的估计，采用三角测量法实现完全定位。一方形空间内的仿真显示对多重路径，定位性能一般具有鲁棒性，定位误差在一米内。

3. 1 Introduction • 在WASN中最富挑战性的是开发一种实际的分布式定位算法。“实际的”是指算法应能适应不同的环境，快速配置，低功耗，低成本。 • WASN定位中一个最基本问题是误差范围，在不同的测量方法中有不同的定义。然而不同的测量方法，如In RSSI[5](Received Signal Strength Indicator)and TOA or TDOA(Time of Arrival/Time Difference of Arrival)[3], AOA(angle of arrival)等都有这样和那样的不足。 • 本文提出一种基于矩阵束的定位算法，且假设在接收端可知射频信号的发送时间（TTR）（通过介质访问控制MAC层实现射频信号定时发送）。仿真可知，MPP的测量误差低于RSSI。通过最小二乘法，定位误差可以在一米内。当仿真中考虑到发送范围，定位误差约为5％。

4. 2 Channel Model and Estimation • 射频信号通过一个准衰减信道传播，信道内有复杂的高斯白噪声和一个传播时延D的多重路径效应。信道响应函数： • 频域内： • M是多重路径数， 是相关的时延和增益 • 假设X(ω)和 Y(ω)是发送和接收信号的频域表示，N(ω)表示高斯白噪声。 • WASN中，多数多径时延τm小于一个信号/芯片时间Ts，通常最大传播时延是Ts的序列（order）。例如IEEE802.11无线局域网的典型带宽是FB=11MHz,TS=1/FB=0.09μs。WASN中两个节点间的距离一般是10米左右，相关的LOS(Line of Sight)视距时延τLOS=0.03μs。。多径最大时延D≈TS。这就提议了一种基于快速傅氏变换FFT-based的信道估计设计。 • 考虑发送一个训令序列T r(n)（长度K·L）：

5. 在接收节点，RF训练信号分为L段，包含1个“1”和K－1个“0”。K的选择应使得(K－1)·TS>D。K实际上很小，可设为2. Yl(ωn)表示 FFT 第l段G(ω)表示发送滤波响应，由方程3得。 • N是FFT点的数目，C是常数，信道估计为： • Vn表示信道估计的噪声部分并可通过增大训练长度L来抑制。由方程2.5.6得：

6. 3 MPP Algorithm • 一旦信道估计可通过方程6获得，MPP可执行定位。定义一组L2×L1 矩阵Xn • 无噪声环境中，Xn的秩为M，也就是vn=0，然而当考虑噪声时，秩大于M。为了降低噪声的影响， M-truncated SVD (Singular Value Decomposition) of Xn。Xn奇异值分解： • Σn是M主奇异值的M×M维对角线矩阵。Un由Xn的M个主要左奇异向量组成，Vn由Xn的M个主要右奇异向量组成。基于方程7，文献16显示M多重路径时延可由任何M×M个Q矩阵的特征值估计。 • 所以，N－L1－L2+1个Q矩阵可以均分以降低噪声干扰。时延估计：

7. {zm|m=1...M}是以下矩阵的M维特征值。 • 因为LOS（line of sight）与最短时延相关，两个节点间距离估计 • C是光速，一旦得到超过三个固定节点的距离，就可以通过最小二乘法的三角测量定位方法估计其位置[6]。 • 一个重要的问题是怎样确定传感器节点的系数M,和L1,L2。假设矩阵Xn的最大奇异值是 n，Mn表示大于 奇异值的数目， 表示与信道条件相关的最低系数。M是Mn 的平均数， n=0...N－L1－L2+1。 • L1L2满足条件9.然而分析L1L2的最优选择比较困难。基本上，同时选择较小的L1L2会增加矩Q数目和抑制噪声。然而这将导致Xn 难以求解（more ill-conditioned）。现在指出该矛盾并将在以后研究。

8. 4 Simulations and Results • 为获得方程2中的信道模型系数，仿真环境模型为一方形空间。统一任一的分布（M－1）个传感器。所以在一个信道内总共有M个路径。假设{pm|m=1...M－1}表示（M－1）个节点的坐标，rx和tx表示接收和发送节点的坐标。相关M－1路径时延 • LOS时延 • 系数 如下 {um|m=1...M}是独立的零平均值单位变化的复杂的高斯随机变量。 系统带宽IEEE 802.11,FB=11MHz。发送滤波使用上升的余弦波。方程5的训练长度L设为1000，K根据不同的房间大小变化。K≤4，所以训练序列的长度小于4000。在接收端不同的 高斯白噪声掺杂进射频信号。最高信噪比： • FFT点的数目设为N＝25，为简化，L1=M+2，L2=N-L1。所以得到一个可以进一步提高仿真结果的矩阵Q。δ设为 0.01不同的空间的范围测量误差（M或SNR）变化：

9. 图1，M为3，SNR从－4dB 到20dB。图2，SNR是10dB，M从1到7变化。两图中，更大空间仿真有更好的性能。更大空间很可能有普遍的多径时延，这将防止Q矩阵条件变差。另一个观察结果，更小的M意味着更好的性能，尤其是M＝1有更低误差。其原因在[14] Cramer-Rao限制分析中可找到。增加M，并未急速衰减。10dB信噪比，范围误差仍在30％内，甚至M＝8。曲线的波动可归咎于L1L2的非优化选择。相比RSSI的范围误差大至50％，结果有明显的提高

10. 此外，在不同大小空间和不同路径数M下仿真定位误差。信噪比为10dB。与文献[11]相似的策略，发现和摒弃非视距测量（NLOS），10个MPP迭代平均实现每个定位。不同大小空间，200个Monte-Carlo运行结果平均和描绘在图3到图5.当M>1，结果显示对多径数M的鲁棒性。然而当M＝1，由于更小的误差范围，得到更好的性能。当有足够的固定点，定位误差约为1米。考虑不同空间的不同发送范围，定位误差5％内。在只有三个固定点的极端环境，约为10％。与范围误差原因类似，当考虑定位误差时，更大的空间依然具有很好的性能。此外，在不同大小空间和不同路径数M下仿真定位误差。信噪比为10dB。与文献[11]相似的策略，发现和摒弃非视距测量（NLOS），10个MPP迭代平均实现每个定位。不同大小空间，200个Monte-Carlo运行结果平均和描绘在图3到图5.当M>1，结果显示对多径数M的鲁棒性。然而当M＝1，由于更小的误差范围，得到更好的性能。当有足够的固定点，定位误差约为1米。考虑不同空间的不同发送范围，定位误差5％内。在只有三个固定点的极端环境，约为10％。与范围误差原因类似，当考虑定位误差时，更大的空间依然具有很好的性能。

11. 5 Conclusions and Future work • 本文提出了一种WASN的新的定位算法MPP。依靠矩阵束方法执行TOA估计和依靠三角测量法获得定位。相比RSSI，MPP更准确且避免了复杂的补偿算法。相比AHLos，MPP避免了声波信号的缺点且对不同环境更具鲁棒性。 • 将来的工作将考虑系数L1L2的最优选择理论。MPP的实现依赖于发送时间已知的重要假设。在其可以实际实现前，TTR假设还需要更多的研究工作。