Estadística Descriptiva: 2. Medidas de Tendencia y Dispersión

1. Estadística Descriptiva:2. Medidas de Tendencia y Dispersión Ricardo Ñanculef Alegría Universidad Técnica Federico Santa María

2. Estadística DescriptivaObjetivo • Obtener información desde una muestra, que permita entender o formular hipótesis acerca del fenómeno que se estudia. • Herramientas básicas: • Gráficos: descripciones cualitativas • Estadísticas: descripciones cuantitativas de la tendencia y variabilidad presente en una muestra.

3. Estadística DescriptivaMedidas de Tendencia y Dispersión

4. Si tuvieramos que resumir en un sólo valor representativo todo el conjunto de observaciones, ¿qué valor usamos?. Medidas de Tendencia

5. Moda: Valor o clase de valores que se observa con • mayor frecuencia en la muestra. • Puede no existir o no ser único. • Funciona para cualquier tipo de dato: categóricos, ordinales ó numéricos. Medidas de Tendencia

6. Promedio o Media Muestral: Centro geométrico del conjunto de valores observados • Requiere datos numéricos Medidas de Tendencia

7. Mediana: Se trata del valor que divide el rango de valores observados en dos mitades con el mismo número de observaciones • Su cómputo requiere ordenar la muestra • Si tenemos un número impar de observaciones la mediana es exactamente el valor del centro: (n+1)/2 • Si tenemos un número par de observaciones la mediana se computa “usualmente” como el promedio de las observaciones n/2 y (n/2)+1 Medidas de Tendencia

8. Robustez de la Media versus la Mediana • La media es extremadamente sensible a situaciones en que hay valores numéricamente muy distantes del resto (outliers) • La mediana en cambio permite obtener valores más representativos en estos casos • Ejemplo: (1, 2, 2, 2, 3, 9) Medidas de Tendencia

9. Mediana 0,5000 Moda 0,4500 Media Aritmética 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 Q1 Q2 Q3 Q4 0,1000 0,0500 0,0000 0 1 2 3 4 5 6 7 Rango Medidas de Tendencia

10. Robustez de la Media versus la Mediana Medidas de Tendencia

11. Medidas de Tendencia (…) en los 70 (…) la razón de los salarios del percentil noventa y el percentil diez era de 3.4 veces, en 2005 ésta estaba en alrededor de 5 veces

12. Percentiles: valores que acumulan una cierta frecuencia relativa. El i-ésimo percentil es el primer valor que acumula al menos i/100 Medidas de Tendencia 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 102,5 166,5 110,5 118,5 126,5 134,5 142,5 150,5 158,5

13. Percentiles: Medidas de Tendencia Si los datos se ordenan de orden ascendente de magnitud, entonces el percentil Pi para i = 1, 2, … 99 si es entero en otro caso

14. Cuartiles: valores que acumulan una frecuencias de 1/4 (Q1) , 2/4 (Q2) y 3/4 (Q3) Medidas de Tendencia 102,5 166,5 110,5 118,5 126,5 134,5 142,5 150,5 158,5

15. Cuartiles: Medidas de Tendencia Si los datos se ordenan de orden ascendente de magnitud, entonces el cuartil Qi para i = 1, 2, 3 si es entero en otro caso

16. Es muchos casos las medidas de tendencia anteriores deben o quieren calcularse sobre datos que ya han sido agrupados Medidas de Tendencia Límites 106,5-114,5 114,5-122,5 122,5-130,5 130,5-138,5 138,5-146,5 146,5-154,5 154,5-162,5 Marca 110,5 118,5 126,5 134,5 142,5 150,5 158,5 Frecuencias ABS - REL - REL. AC. 5 0,125 0,125 3 0,075 0,2 5 0,125 0,325 8 0,2 0,525 6 0,15 0,675 7 0,175 0,85 6 0,15 1

17. 9 Histograma 8 7 6 5 4 3 2 1 0 110,5 118,5 126,5 134,5 142,5 150,5 158,5 • La organización en clases permite reducir el efecto del ruido o errores en los datos: se pesa un intervalo y su frecuencia, no la frecuencia de un sólo valor Medidas de Tendencia

18. Promedio o Media Muestral con datos agrupados Medidas de Tendencia ni ni-1 ni+1 ni : Frec. relativa Clase i fi : Frec. relativa Clase i Ci : Marca Clase i k : N° de clases C1 C2 C3

19. Moda con datos agrupados. La clase modal se determina como la clase con mayor frecuencia. Medidas de Tendencia D1 nM D2 n1 n2 L : Límite inferior Clase modal aM : Amplitud Clase Modal (CM) D1 : nM - n1 D2 : nM - n2 nM : Frec. absoluta Clase Modal n1 : Frec. absoluta Clase anterior a CM n2: Frec. absoluta Clase posterior a CM aM CM L

20. Mediana con datos agrupados Medidas de Tendencia ojiva Fe-1 fe L : Límite inferior Clase Mediana (C Me) Fe-1 : Frec. Rel. Acumulada hasta antes (C Me) fe : Frecuencia Rel. (C Me) ae : Amplitud (C Me) ae L

21. Percentiles con datos agrupados Medidas de Tendencia L :Límite inferior percentil i-ésimo FPi-1: Frec. Rel. acumulada hasta antes de la clase percentil i-ésimo aPi : Amplitud percentil i-ésimo fPi : Frecuencia Rel. de la clase del percentil i-ésimo ojiva FPi-1 fPi aPi L

22. Cuartiles con datos agrupados Medidas de Tendencia L :Límite inferior cuartil i-ésimo FPi-1: Frec. Rel. acumulada hasta antes de la clase del cuartil i-ésimo aPi : Amplitud cuartil i-ésimo fPi : Frecuencia Rel. de la clase del cuartil i-ésimo ojiva FCi-1 fCi aCi L

23. Medidas de Tendencia: Valores representativos de toda la muestra: Media, Moda, Mediana, Quartiles y Percentiles.

24. ¿Cómo damos cuenta de la variabilidad del conjunto de observaciones?: podemos medir las diferencias observadas con respecto a nuestras medidas de tendencia Medidas de Dispersión

25. Índice de Variación: Frecuencia con que no se observa la moda o la clase modal en la muestra Medidas de Dispersión

26. Varianza Muestral: promedio de las diferencias al cuadrado con respecto a la media. Medidas de Dispersión Datos Agrupados: Datos NO Agrupados: fi : Frec. relativa Clase i xi : Marca Clase i x : Media Aritmética ni : Frec. absoluta Clase i n: Tamaño Muestra k : N° de clases s2 : Variancia Muestral x : Media Aritmética xi : i-ésimo valor observado n: Tamaño Muestra _ _

27. Desviación Estándar: Raíz cuadrada de la varianza. • Tiene las mismas “unidadesde medida” que las observaciones de la muestra Medidas de Dispersión Datos Agrupados: Datos NO Agrupados:

28. Desviación Media: Promedio de las diferencias absolutas con respecto a la media. • Tiene las mismas “unidadesde medida” que las observaciones de la muestra Medidas de Dispersión Datos Agrupados: Datos NO Agrupados:

29. Rango: Diferencia entre el máximo y el mínimo valor observado en la muestra. • Rango Percentil: Diferencia entre P90 y P10: aproximación más robusta al rango. • Rango InterCuartílico: Distancia promedio de los cuartiles con respecto a la mediana (segundo quartil) Medidas de Dispersión

30. Medidas de Dispersión: grado de variabilidad con respecto a las tendencias: Tasa de Variación, Varianza Rango InterQuartílico.

31. BoxPlots Cuartiles 1, 2 y 3 Q1 Q2 Q3 Valores Atípicos Valores Atípicos 3 IRQ 3 IRQ Mediana Media

32. BoxPlots • Representación visual para describir, simultáneamente, varias características importantes tales como: • Centro • Dispersión • Asimetría de la distribución • Identificación de las observaciones (valores) atípicas Q1 Q2 Q3 3 IRQ 3 IRQ

33. BoxPlots en Matlab