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7-2 线性变换的运算

7-2 线性变换的运算 令Ｖ是数域Ｆ上一个向量空间。Ｖ到自身的一个线性映射叫做Ｖ的一个线性变换。用Ｌ ( Ｖ ) 表示向量空间Ｖ的一切线性变换所成的集合，则在 L （ V ）上定义如下运算 ( 线性变换的运算） 设 σ ， τ ， ρ∈ Ｌ ( Ｖ ). ▲ 变换的加法：和 σ ＋ τ 的定义 (σ ＋ τ)(ξ) ＝ σ （ ξ ）＋ τ （ ξ ）且Ｌ ( Ｖ ) 对加法作成一个加群，即满足向量空间定义中的前四个公理。 ▲ 纯量乘法：纯量积ｋ σ 的定义 ( ｋ σ)(ξ) ＝ｋ σ （ ξ ）， 满足向量空间定义中的第七，八个公理，对加法则满足分配律。.

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7-2 线性变换的运算

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Presentation Transcript

  1. 7-2 线性变换的运算 • 令Ｖ是数域Ｆ上一个向量空间。Ｖ到自身的一个线性映射叫做Ｖ的一个线性变换。用Ｌ(Ｖ)表示向量空间Ｖ的一切线性变换所成的集合，则在L（V）上定义如下运算(线性变换的运算） • 设σ，τ，ρ∈Ｌ(Ｖ)

  2. ▲变换的加法：和σ＋τ的定义 (σ＋τ)(ξ)＝σ（ξ）＋τ（ξ）且Ｌ(Ｖ)对加法作成一个加群，即满足向量空间定义中的前四个公理。 ▲ 纯量乘法：纯量积ｋσ的定义 (ｋσ)(ξ)＝ｋσ（ξ）， 满足向量空间定义中的第七，八个公理，对加法则满足分配律。

  3. 数域P上线性空间V上的全体线性变换在变换的加法及数量乘法下,构成数域P上一个线性空间. 记为L（V）。 • L（V）中的零向量就是V上的零线性变换； • L（V）中的向量α的负向量就是V上的线性变换α的负变换－ α 。 • 对L（V）中的元素，还可以定义 • 乘法: 线性变换σ与τ的乘积στ的定义为： (στ)(ξ)＝σ[τ(ξ)]

  4. ▲变换σ与τ的积类似与映射合成.一定要注意与函数有关定义的差别,数学分析中,两个函数的积不是它们作为映射的积,两个函数的复合函数才是它们作为映射时的积.▲变换σ与τ的积类似与映射合成.一定要注意与函数有关定义的差别,数学分析中,两个函数的积不是它们作为映射的积,两个函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 此外,σ(ξ)·τ(ξ)是没有定义的.关于线性变换的积的算律与矩阵的积的算律是相同的,线性变换的乘法不满足交换律,消去律,这是需要注意的. ▲幂：σn＝σσ…σ， σ0＝ι

  5. 线性变换的乘积（数乘线性变换）、线性变换的和也是线性变换；线性变换的乘积（数乘线性变换）、线性变换的和也是线性变换； 因为映射的乘积满足结合律，线性变换的乘法也满足结合律：即（AB)C＝A(公元前） 但线性变换的乘积一般不满足交换律; 例如R[x]中的微商变换D与积分变换J来说 DJ=E, 但JD≠E即JD≠DJ, 数乘变换(数量乘法) 任意k∈P, (kA)()=k(A())=kA() 是线性变换,满足4个线性变换

  6. V的线性变换A是可逆的,如果存在V的线性变换B, 满足AB=BA=E; 这时称B为A的逆矩阵, 记成A-1; 当线性变换A可逆时,其逆变换也可逆, 事实上

  7. 线性变换的多项式: • 同一个线性变换的多项式乘法是可交换的

  8. 例1 在三位几何空间中,对于某向量?的内射映是一个线性变换; • 例2 线性空间P[x]n中微商变换是线性变换,且 Dn=0 .

  9. 课堂小结 • 线性变换的运算 • 乘法、加法、数乘运算 • 各种运算满足的运算律

  10. 思考题

  11. 思考题解答 作业： P324-3、4、5

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