Das haben wir doch erst durchgenommen!

1. Das haben wir doch erst durchgenommen! Wie kann der Unterricht die Nachhaltigkeit des Lernens verbessern?

2. Mehr Übung?

3. Die Säulen nachhaltigen Lernens Die drei Säulen nachhaltigen Lernens

4. 1. Säule: Begriffsbildung 1. Säule: Stabile Begriffsbildung

5. 1. Säule: Begriffsbildung Welche Möglichkeiten bietet der Unterricht für eine stabile Begriffsbildung? Inhalte aspektreich behandeln Schüleraktivitätpassend dazu wählen Aspekte mit geeigneten Bildern eng verknüpfen

6. 1. Säule: Begriffsbildung Aussage 1 Aussage 2 Aussage 3 Vergessens- und Rekonstruktionsprozess - bei alleiniger Abspeicherung von Aussagen • Aussagen verblassen und interferieren • Das Gelernte wird nicht oder falsch wiedergegeben Aussage 1 Aussage 2 Aussage 3

7. 1. Säule: Begriffsbildung Bild 1 Aussage 1 Bild 2 Aussage 2 Bild 3 Aussage 3 Vergessens- und Rekonstruktionsprozess - bei enger Verknüpfung mentaler Bilder und Aussagen • Auch hier finden ähnliche Vergessensprozesse statt • Aber: Mentale Bilder und Aussagen stützen und kontrollieren sich gegenseitig • Das Gelernte kann rekonstruiert und richtig wiedergegeben werden Mentales Betrachten Bild 1 Aussage 1 Bild 2 Aussage 2 Bild 3 Aussage 3 Rekonstruieren

8. 1. Säule: Begriffsbildung Beispiel: Kreisflächenformel • Beobachtung: Schüler verbinden mit A=pr² keine bildliche Vorstellung. • Infolge dessen ergeben sich Schülerfehler: A= 2pr A= 2pr² A= p bzw. A= 2p • Dabei lässt sich die Formel leicht mit bildlicher Vorstellung verknüpfen: A =p r² A ≈ 3,14 r² Bild allein genügt nicht! A ≈ 31/7 r²

9. 1. Säule: Begriffsbildung < < Unterrichtliches Vorgehen muss die Verknüpfung dieses Bildes mit der Formel vielfältig unterstützen! ? 3 r² 2r² 4r²

10. 1. Säule: Begriffsbildung Passende Schüleraktivität „Gut 3 - genauer 3,14 - Radiusquadrate entsprechen dem Kreis!“ A ≈ 3,14 r²

11. 1. Säule: Begriffsbildung A = 3,14 r² „Gut 3 - genauer 3,14 - Radiusquadrate entsprechen dem Kreis!“ Stabile Begriffsbildung Bilder, Aussagen, Formeln, Handlungen, im Gedächtnis eng miteinander verknüpft

12. 1. Säule: Begriffsbildung Passende Schüleraktivitäten am Beispiel Quader • Erstellung unterschiedlicher Modelltypen (Kanten-, Flächen-, Vollmodell) durch Schüler! • Strukturierung des Körpers durch • Repräsentation relevanter Aspekte z.B. mittels Farbe • Prozess des Aufbaus • Einfärben an Schrägbildern • entsprechende Vorstellungsübungen • Wechsel zwischen Modell und Schrägbild

13. 1. Säule: Begriffsbildung

14. 1. Säule: Begriffsbildung

15. 1. Säule: Begriffsbildung

16. 1. Säule: Begriffsbildung

17. 1. Säule: Begriffsbildung 100% 360€ 75% 270€ Beispiel: Prozentrechnung • Beobachtung: • Die Prozentrechnung wird meist als abstraktes Kalkül von den Schülern betrachtet. • Die Grundvorstellung von Prozent als Anteil ist nicht genügend gesichert. • Wichtige Größenvorstellungen sind oft nicht vorhanden. • Manche haben Probleme, den Aufgabentyp zu erkennen und die gegebenen Größen entsprechend zuzuordnen. Bei beiden Säulen ist derselbe Anteil repräsentiert: 75:100 = 270:360 p:100 = P:G P:G p:100

18. 1. Säule: Begriffsbildung 360 € 100% P = ? 75% 360 € 100% 270 € p% = ? Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung Der Prozentwert ist zu berechnen: Der Prozentsatz ist zu berechnen:

19. 1. Säule: Begriffsbildung G = ? 100% 270 € 75% Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung Der Grundwert ist zu berechnen:

20. 1. Säule: Begriffsbildung Mentale Modelle beziehen sich auf Prototypen • Satz von Thales • Trapez • Prisma

21. 1. Säule: Begriffsbildung Flexibilisierung der Modellvorstellungen

22. 1. Säule: Begriffsbildung Zusammenfassung: stabile Begriffsbildung • Enge Verknüpfung mentaler Bilder mit Aussagen • Reichhaltigkeit der Begriffsbildung • Passung der Schüleraktivitäten zum Aufbau geeigneter mentaler Bilder • Flexibilisierung der Prototypen

23. 2. Säule: Vernetzung 2. Säule: Vernetzung

24. 2. Säule: Vernetzung Lerninhalt 1 Lerninhalt 4 Lerninhalt 3 Lerninhalt 2 Lerninhalt 5 „Vernetztes bleibt hängen“ • Analog zu Verbindung Bild–Aussage Verbindungen innerhalb der Lerninhalte • Entsprechend der „Seman-tischen Gedächtnistheorie“ werden Inhalte netzwerkartig abgespeichert. • Lehrmethoden und Repräsentationsformen, die eine solche Vernetzung fördern, gelten deshalb als besonders nachhaltig!

25. 2. Säule: Vernetzung Welche Möglichkeiten bietet der Unterricht für ein vernetztes nachhaltiges Lernen? Innermathematisches Vernetzen Vernetzen mit Umwelt • Analogisieren • Freihandmathematik • Modularisieren • Die Frage: Warum? • Überblick schaffen

26. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Analogisieren Analogisieren • Man versucht bewusst, Ideen und Vorgehensweisen zu nutzen, die sich in früheren Fällen bewährt haben, für neue ähnliche Situationen. • Erarbeitet man in einem Lerngebiet Analogien zwischen einzelnen Teilen, so erhöht sich damit zunächst die Stoffmenge. • Das Lernpensum wird aber letztlich erheblich reduziert, da man mit einer Idee mehrere Probleme auf einmal erfasst.

27. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Analogisieren Kreisumfang Beispiel: Formelbildung für Kreis und Kugel Grobabschätzung führt auf Formeln vom Typ: Inhalt = x • Vergleichsinhalt = 3,14 • r² Kreisfläche = 4 • AKreis Kugeloberfläche 2r² < AKreis < 4r² Analogisieren Analogisieren = 3,14 • d 1•AKreis< OHalbkugel < 3•AKreis A B Kugelvolumen = 4 • VKegel Analogisieren 2d < < 4d UKreis 1•VKegel< VHalbkugel < 3•VKegel

28. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Analogisieren = 3,14 • r² Kreisfläche = 4 • AKreis Kugeloberfläche Kreisumfang = 3,14 • d Kugelvolumen = 4 • VKegel Analogisieren Analogisieren Analogisieren

29. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Analogisieren Beispiel: Flächeninhalt - Volumen Begriffliche Grundidee: Auslegen Abzählverfahren liefert Formel für Sonderfall Rückführung auf Sonderfall durch Umbau Triangulation Analogisieren Analogisieren Analogisieren Analogisieren

30. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Modularisieren Reduktion durch Modularisieren • Für den Schüler stellen sich viele Lernbereiche in der Mathematik als eine unüberblickbare Ansammlung unzusammenhängender Regeln, Formeln etc. dar. • Bildet man Kategorien, lassen sich allgemeinere Regeln formulieren. Die Anpassung an den speziellen Fall erfolgt dann durch das Einsetzen bereits bekannter Module. • Das Lernpensum wird erheblich reduziert! • Die Kernmodule werden dabei ständig wiederholt und geometrische Vorstellungen wachgehalten!

31. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Modularisieren Die erschlagende Fülle an Formeln

32. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Modularisieren Modularisieren am Beispiel der Inhaltsformeln Es gibt nur zwei Volumenformeln! Gerade Säulen Spitze Körper V = Gh V = 1/3 Gh V Zylinder = pr²h V Rechteckspyramide = 1/3 abh V Zylinder = G Kreis h 3,14 r²

33. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Modularisieren V = 2pr²+2prh V = 2pr(r+h) Modularisieren am Beispiel der Inhaltsformeln Wir brauchen keine Formeln für die Oberfläche! Wir brauchen präzise Vorstellungen von den Netzen! Beispiel: Zylinder • Bekannt sein müssen die Module • Zylindernetz • Kreisfläche • Rechtecksfläche • Kreisumfang

34. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Modularisieren Was soll man denn eigentlich wissen?

35. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Modularisieren Die Schlagkraft des Modularisierens am Beispiel der Zinsformeln

36. 2. Säule: Vernetzung – Reduktion durch Modularisieren Die Schlagkraft des Modularisierens am Beispiel der Zinsformeln Zinsen für einen Anteil vom Jahr = Anteil vom Jahr • Jahreszinsen Zinsen für ein halbes Jahr = 1/2 • Jahreszinsen Zinsen für 7 Monate = 7/12 • Jahreszinsen Zinsen für 217 Tage = 217/360 • Jahreszinsen Was, wenn nach Tagen gefragt ist?

37. 2. Säule: Vernetzung – Überblicksdarstellungen Überblick über die Volumenbestimmung

38. 2. Säule: Vernetzung – Überblicksdarstellungen = 3,14 • r² Kreisfläche = 4 • AKreis Kugeloberfläche Analogisieren Analogisieren Analogisieren Analogisieren Analogisieren Analogisieren Kreisumfang = 3,14 • d Analogisieren Kugelvolumen = 4 • VKegel Auch Analogien können in Form von Überblicksdarstellungen zusammengefasst werden

39. 2. Säule: Vernetzung mit Umwelt: Freihandmathematik Vernetzen mit Umwelt: „Freihandmathematik“ • Einfache und alltagstaugliche Einsatzmöglichkeiten für Mathematik aufzeigen • Mathematiktreiben aus dem Klassenzimmer in den Alltag exportieren. • Dies soll mathematisches Wissen verfestigen und Nachhaltigkeit über die Schule hinaus erzeugen.

40. 2. Säule: Vernetzung mit Umwelt: Freihandmathematik Beispiel: Welche Masse hat eigentlich diese Kugel?

41. 2. Säule: Vernetzung mit Umwelt: Freihandmathematik Beispiel: Masseschätzung einer Steinkugel

42. 2. Säule: Vernetzung mit Umwelt: Freihandmathematik Vereinfachen einer Formel

43. 2. Säule: Vernetzung mit Umwelt: Freihandmathematik Holz Stein Eisen 4 dm³ 2 m³ 1dm³ Stützpunkt-Relativ-Prinzip Wasser 0,5 x 2 x 8 x 1 g 1cm³ 1dm³ 1 kg 8 kg 1 t 1m³ 8 kg 1 t

44. 2. Säule: Vernetzung mit Umwelt: Freihandmathematik Welche Masse hat eigentlich diese Kugel? Durchmesser ≈ 1m Würfel V ≈ 1 m³ Kugel V ≈ 0,5 m³ Wasserkugel m ≈ 0,5 t Steinkugel m ≈ 1 t

45. 2. Säule: Vernetzung 2. Säule: Vernetzung: Mathematik in Umwelt finden Mathematik in der Umwelt finden und hinterfragen • Wo kommt ein geometrischer Begriff (Objekt, Eigenschaft, Relation,…) vor? • Z.B.: „Wo findest du hier im Klassenzimmer (Schulhaus, Straße…) Trapeze (Parallelität, Drehungen…)? • Ziel: Blick schärfen für mathematische Begriffe in der Umwelt und fachsprachliche Bezeichnungen einüben

46. 2. Säule: Vernetzung: Mathematik in der Umwelt hinterfragen • Warum kommt ein „Begriff“ gerade hier vor? • Warum findet man so viele Trapeze an einer Fachwerkfassade? • Warum sind Schimmelkulturen, Hexenringe, Baumscheiben,… kreisförmig, Teller, Tassen,… „rund“? • Ziele: • Diese Betrachtungsweise der Umwelt sorgt dafür, dass mathematische Begriffe wachgehalten werden • Beziehung von Herstellungsprozess (bzw. natürlichem Entstehungsprozess) und Eigenschaften verdeutlichen • Förderung der Allgemeinbildung

47. 2. Säule: Vernetzung: Mathematik in der Umwelt hinterfragen Fachwerk

48. 2. Säule: Vernetzung: Mathematik in der Umwelt hinterfragen Schimmelkultur, Hexenring, Baumscheibe… Schimmelkulturen, Hexenringe und Baumscheiben etc. sind deshalb nahezu kreisförmig, da sie von einem Zentrum aus mit etwa gleicher Geschwindigkeit nach außen wachsen!

49. 2. Säule: Vernetzung: Mathematik in der Umwelt hinterfragen Städte (Aspekt: Verteidigung) und Pinguingruppen (Aspekt: Wärme) sind kreisförmig, um die Randlänge zu minimieren.

50. 2. Säule: Vernetzung: Mathematik in der Umwelt hinterfragen „Runder Tisch“ beim Energiegipfel in Berlin Am Runden Tisch ist auf Grund der Symmetrie des Kreises jeder gleichgestellt