روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II

روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II کریم عابدی

فصل اول: تحليل خطی عناصر محدود صفحات و پوسته ها

1- مبانی روش عناصر محدود الف- مدل های رياضی پيوسته سيستم و روش وردشی در حل آنها مراحل تحليل يک سيستم مهندسی مدل های رياضی 1- انتخاب يک مدل رياضی برای مساله فيزيکی 2- فرمول بندی مدل رياضی و حل آن و يافتن و تفسير نتايج 1- مدل گسسته سيستم 2- مدل پيوسته سيستم پاسخ سيستم با تعداد محدودی متغير حالت مشخص مي شود. معادلات جبری بر پاسخ سيستم حاکم است. پاسخ سيستم با تعداد بی نهايت متغير حالت مشخص مي شود. معادلات ديفرانسيل بر پاسخ سيستم حاکم است.

1- مبانی روش عناصر محدود تشکيل و حل معادلات ديفرانسيل به روش تحليلی مشکل است روشهای عددی روشهای عددی روش عناصر محدود: روش عددی است که معادلات ديفرانسيل را به معادلات جبری تبديل مي کند. 1- روش هايي که مستقيما روی معادله ديفرانسيل عمل مي کند. 2- روش هايي که روی تابعک انرژی پتانسيل کلی عمل مي کند. انتخاب تابع آزمون با شرط ارضاء شرايط مرزی هندسی و نيروئي انتخاب تابع آزمون با شرط ارضاء فقط شرايط مرزی هندسی

1- مبانی روش عناصر محدود روش های حل مدل های رياضی: الف) روش مستقيم ب) روش وردشی پتانسيل بارها – انرژی کرنشی سيستم = تابعک انرژی پتانسيل کلی حالت پيوسته سيستم 1- ايجاد شرايط تعادل و روابط مشخصه عناصر ديفرانسيلی نمونه را برحسب متغيرهای حالت 2- بدست آوردن معادله ديفرانسيل حاکم 3- استخراج شرايط مرزی حالت گسسته سيستم 1- ايده آل سازی سيستم 2- تعادل عناصر 3- سوار کردن عناصر 4- محاسبه پاسخ معادلات تعادل ( از نوع ديفرانسيل )

1- مبانی روش عناصر محدود ب- روش Ritz روش عددی برای حل تقريبی معادلات ديفرانسيل ويژگی:روی تابعک انرژی پتانسيل کلی عمل مي کند، نه روی معادله ديفرانسيل روش حل: 1- انتخاب تابع آزمون 2- جايگذاری تابع آزمون به جای متغير حالت در تابعک انرژی پتانسيل کلی 3- اعمال شرط مانا بودن روش عناصر محدود توابع Ritz مجهولات Ritz توابع شکل درجات آزادی مجهول گرهی ايجاد دستگاه معادلات جبری مجهولات Ritz

1- مبانی روش عناصر محدود پ- اصل تغييرمکان های مجازی و رابطه آن با اصل وردشی کار مجازی خارجی = کار مجازی داخلی اصل وردشی اعمال شرط مانا بودن با توجه به اينکه کرنش ها مجازی اند نيرو های حقيقی تنش های حقيقی تغييرمکان های مجازی کرنش های مجازی

1- مبانی روش عناصر محدود ت- دو روش اساسی در فرمول بندی روش عناصر محدود انواع فرمول بندی 1- فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغييرمکان 2- فرمول بندی عناصر محدود آميخته متغيرهای حالت: تغييرمکان های تعميم يافته متغيرهای حالت: تغييرمکان های تعميم يافته، تنش، کرنش

1- مبانی روش عناصر محدود ث- نحوه استخراج معادلات روش عناصر محدود جسم عمومی سه بعدی زير را در نظر مي گيريم که در آن، جسم را به صورت مجموعه همبسته از عناصر محدود گسسته تقريب سازی مي کنيم: ارتباط تغييرمکان ها در درون هر عنصر بر حسب تغييرمکان های نقاط گرهی مجموعه همبسته عناصر ارتباط کرنش ها در درون هر عنصر بر حسب تغييرمکان های نقاط گرهی مجموعه همبسته عناصر ماتريس درون يابی تغييرمکان m شماره عنصر ارتباط تنش ها در درون هر عنصر بر حسب کرنش ها و تنش های اوليه عنصری ماتريس کرنش-تغييرمکان که سطرهای آن از مشتق گيری و ترکيب مناسب سطرهای ماتريس H بدست مي آيند. ماتريس ارتجاعی عنصر تنش های معلوم اوليه

1- مبانی روش عناصر محدود ث- نحوه استخراج معادلات روش عناصر محدود اعمال اصل تغييرمکان های مجازی: با توجه به اينکه تغييرمکان ها مجازی اند:

1- مبانی روش عناصر محدود ث- نحوه استخراج معادلات روش عناصر محدود نيروهای حجمی عنصری نيروهای سطحی عنصری نيروهای ناشی از تنش های اوليه عنصری

2- دو نظريه در مورد خمش صفحات الف- تيرها: 1- تيرEuler-Bernouli 2- تيرTimoshenko • اثر برش در فرمول بندی وارد نمی شود؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، بعد از تغييرشکل نيز همچنان عمود باقی می مانند؛ • زاويه دوران مساوی است با: • اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، در حالت کلی بعد از تغييرشکل عمود باقی نمی مانند؛ • زاويه دوران مساوی است با:

2- دو نظريه در مورد خمش صفحات ب- صفحات: نظريه ها: 1- صفحه Kirchhoff 2- صفحه Reissner/Mindlin ويژگی ها: در صفحه xy قرار دارد. 1- تخت و بدون انحنا 2- يک بعد در مقابل دو بعد ديگر قابل صرفنظر 3- نيروها Fz, Mx, My 4- تنش در امتداد محور z برابر صفر مي باشد. • اثر برش در فرمول بندی وارد نمی شود؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، بعد از تغييرشکل نيز همچنان عمود باقی می مانند؛ • زوايای دوران مساوی است با: • اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، در حالت کلی بعد از تغييرشکل عمود باقی نمی مانند؛ • زوايای دوران مساوی است با:

3- استخراج معادله ديفرانسيل حاکم بر خمش صفحه صفحه با بار جانبی گسترده q يک المان سه بعدی بي نهايت کوچک را در نظر مي گيريم: تعادل نيروها در امتداد z تعادل لنگرها حول محور x تعادل لنگرها حول محور y

3- استخراج معادله ديفرانسيل حاکم بر خمش صفحه صفحه با بار جانبی گسترده q معادله ديفرانسيل حاکم صفحه که برای هر دو نظريه صفحه صادق است

4- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از روش مختصات تعميم يافته بر مبنای نظريه Kirchhoff الف- روش مدل های مختصات تعميم يافته تابع تغييرمکان را به طور ساده به صورت يک عبارت چند جمله ای در نظر مي گيريم: بردار تغييرمکان های گرهی متغيرهای حالت بردار مختصات تعميم يافته X, Y, Zعنصر سه بعدی: تابعی بر حسب X, Yعنصر دو بعدی: تابعی بر حسب Xعنصر يک بعدی: تابعی بر حسب باتوجه به اينکه داريم: در نتيجه:

4- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از روش مختصات تعميم يافته بر مبنای نظريه Kirchhoff • ب- استخراج ماتريس سختی خمش صفحه • 1- بعد المان: دو بعدی - چهار گرهی و يا بيشتر • 2- متغيرهای حالت: سه درجه آزادی در هر گره • 3- توابع تغييرمکان: حالت چهار گرهی • 4- مولفه های کرنش: • 5- مولفه های تنش: • 6- ماتريس مصالح: • 7- نحوه انتگرالگيری: • معايب روش فوق: • عدم کارايي محاسبات در تعيين ماتريس H • عدم سازگاری متغير وابسته بودن دوران ها • عدم کارايي محاسبات در انتگرالگيری • عدم مدل نمودن مرزهای انحناءدار • عدم دخالت اثر برش متغيرهای وابسته

4- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از روش مختصات تعميم يافته بر مبنای نظريه Kirchoff پ- وضعيت پيوستگی خيز و دوران ها در المان محدود مستطيلی خمش صفحه اگر لبه 2- 1 را در نظر بگيريم(X=0)، خواهيم داشت: در گره 1 (Y=0) در گره 2 (Y=b) نتيجه: در امتداد لبه 2-1 سازگار ناسازگار شش معادله هشت مجهولی چهار معادله چهار مجهولی

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin الف- مبانی عناصر ايزوپارامتريک مبنای فرمول بندی عناصر ايزوپارامتريک، درون يابی مختصات عنصری و تغييرمکان های عنصر با استفاده از توابع درون يابی يکسانی است که در يک دستگاه مختصات طبيعی تعريف مي شوند. دستگاه مختصات طبيعی برحسب تعداد ابعاد عنصر، يک بعدی، دو بعدی و يا سه بعدی خواهد بود. فرمول بندی عناصر محدود ايزوپارامتريک (حالت سه بعدی عمومی): hi توابع درون يابی حالت يک بعدی(برحسب r): حالت دو بعدی(برحسب r, s): با توجه به اينکه تغييرمکان های عنصر بر حسب r, s, t می باشند، لذا لازم است برای مشتق گيری نسبی آنها نسبت به x, y, z از ماتريس ژاکوبی استفاده گردد.

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin ب- عناصر خمش صفحه ای با استفاده از تئوری Reissner/Mindlin بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin، مولفه های تغييرمکان يک نقطه با مختصات x,y,z طبق نظريه خمش با ملاحظه تغييرمکان های کوچک عبارتند از: وضعيت کرنش ها و تنش ها در نظريه صفحه Reissner/Mindlin: دوران عمود بر ميان سطح تغييرشکل نيافته در صفحه x-z حول محور y ها دوران عمود بر ميان سطح تغييرشکل نيافته در صفحه y-z حول محور xها انحناء خمشی موازی صفحه x-z انحناء خمشی موازی صفحه y-z انحناء پيچشی

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin ب- عناصر خمش صفحه ای با استفاده از تئوری Reissner/Mindlin اعمال اصل کار مجازی برای يک عنصر صفحه ای با بارگذاری جانبی در واحد سطح ميان سطح: پس از جايگذاری های لازم: انحناء خمشی موازی صفحه x-z انحناء خمشی موازی صفحه y-z انحناء پيچشی

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin ب- عناصر خمش صفحه ای با استفاده از تئوری Reissner/Mindlin تابعک انرژی پتانسيل کلی: لازم به ذکر است در گسسته سازی تغييرمکان صرف، از روابط زير استفاده مي کنيم:

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin مثال : عبارات مورد استفاده برای تعیین ماتریس سختی عنصر صفحه ای چهار گرهی را که در شکل زیر نشان داده شده است استخراج کنید. یک عنصر صفحه ای چهار گرهی

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin محاسبه ماتریس ژاکوبی با استفاده از توابع درون یابی تعریف شده برای عنصر تنش مسطح دو بعدی عبارات زیر را برای و بدست می آوریم. بنابراین اگر از نمادگذاری زیر استفاده کنیم: که در آن:

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin همچنین داریم: در این صورت ماتریس سحتی عنصر عبارت است از: و بردار بار سازگار عبارت است از:

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin پ- پديده قفل شوندگی برشی (Element Shear Locking) پ- 1- پديده قفل شوندگی برشی در تیرها برای پيدا کردن فهم بيشتر در مورد رفتار عناصر نازک از تابعک انرژی پتانسيل کلی تير استفاده مي کنيم: /2EI ايجاد انرژی کرنشی برشی غير واقعی

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin پ-1- پديده قفل شوندگی برشی در تيرها

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin پ- 2 - پديده قفل شوندگی برشی درصفحه ها رابطه تابعک انرژی پتانسیل کلی در عنصر صفحه ای: از طرفی رابطه کرنش ها به صورت زیر می باشد:

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin با جایگذاری روابط فوق در تابعک انرژی به رابطه زیر می رسیم:

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin با جایگذاری انتگرال گیری های فوق رابطه تابعک به صورت زیردر می آید:

5- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از عناصر ايزوپارامتريک بر مبنای نظريه Reissner/Mindlin سهم خمشی به رابطه زیر می رسیم: با تقسیم رابطه فوق برEh3 سهم برشی ایجاد انرژی کرنشی برشی غیرواقعی

6- فرمول بندی آميخته 1- فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغييرمکان 2- فرمول بندی عناصر محدود آميخته متغيرهای حالت: تغييرمکان های تعميم يافته انواع فرمول بندی متغيرهای حالت: تغييرمکان های تعميم يافته، تنش، کرنش

6- فرمول بندی آميخته الف- روش ضريب لاگرانژ لازمه تحليل يک مساله مهندسی: قيد خاصی در برخی متغيرهای معين اعمال گردد به عنوان مقدمه، فرمول بندی يک مدل سازه ای گسسته برای تحليل حالت پايا را در نظر مي گيريم: در برخی پارامترهای پيوسته يا برخی متغيرهای گسسته اعمال مي شود؛ ممکن است شامل شرايط معين پيوستگی باشد؛ ممکن است شامل اعمال مقادير مشخص در متغيرهای حل باشد؛ ممکن است شامل اعمال شرايطی باشند که بايد بين متغيرهای معين برقرار گردند.

6- فرمول بندی آميخته الف- روش ضريب لاگرانژ می خواهيم قيدی مانند اعمال نمائيم و تابعک انرژی پتانسيل کلی را اصلاح کنيم. eiبرداری است که تمامی عناصر آن صفر بوده، به جز عنصر i ام که مساوی يک می باشد.

مثال 31-3:از روش ضريب لاگرانژ براي تحليل سيستم فنري نشان داده شده در شكل با اعمال تغيير مكان U2=1/k استفاده كنيد. يك سيستم فنر ساده معادلات حاكم بدون اعمال تغيير مكان مشخصي به U2 عبارتند از: بدين ترتيب جواب كامل U1 و R2به اين صورتبدست مي آيد:

نيروي R2 نيروي مورد نياز براي اعمال تغيير مكان U2 در درجه آزادي 2 مي باشد. با استفاده از روش ضرايب لاگرانژ ، معادلات حاكم عبارتند از: λ مساوي نيرو با علامت منفي است كه بايد در درجه آزادي 2 وارد شود تا اينكه تغيير مكان U2=1/k به سيستم اعمال گرد.

6- فرمول بندی آميخته ب- مبانی فرمول بندی آميخته نظريه اساسی مورد استفاده در فرمول بندی آميخته را مي توان به صورت زير شرح داد: ب-1-تابعک انرژی پتانسيل کلی به صورت زير مي باشد می خواهيم دو قيد بر روی تابعک انرژی پتانسيل کلی اعمال کنيم: بردار تغييرمکان های از پيش تعيين شده نمايشگر عمگر ديفرانسيلی

6- فرمول بندی آميخته ب- مبانی فرمول بندی آميخته ب-2- معادلات تعادل با استفاده از شرط مانا بودن تابعک انرژی پتانسيل کلی بدست مي آيند: تغييرات در U بايد در تغييرمکان های از پيش تعيين شده روی سطح Su و متناظر با آن صفر باشند. برخی فرمول بندي های بسيار عمومی با استفاده از اصول وردشی که مي توان آنها را به عنوان یسط هايي از اصل مانا بودن پتانسيل کلی تلقی کرد، مي توان بدست آورد. اين اصول بسط يافته وردشی نه تنها از تغييرمکان ها، بلکه از کرنش ها و تنش ها به عنوان متغيرهای اوليه استفاده مي کنند. به اينگونه فرمول بندی های عناصر محدود، فرمول بندی عناصر محدود آميخته اطلاق مي شود.

6- فرمول بندی آميخته ب- مبانی فرمول بندی آميخته ب-3- برای نيل به يک اصل وردشی توانمند، رابطه تابعک انرژی پتانسيل کلی را به صورت زير مي نويسيم: (با استفاده از روش ضريب لاگرانژ) متغيرها در اصل وردشی عمومی ضرايب لاگرانژ ازجنس نيروی سطحی از جنس تنش برای اعمال شرايط با اعمال شرط مانا بودن

مثال 29-4:عنصر خرپايي سه گرهي نشان داده شده در شكل را در نظر بگيريد. يك تغيير سهموي را براي تغيير مكان و يك تغيير خطي را براي تنش و كرنش فرض كنيد. همچنين فرض نمائيد كه متغيرهاي تنش و كرنش متناظر با درجه آزادي داخلي عنصر مي باشند، به گونه اي كه تنها تغيير مكان ها در گرههاي 1 و 2 به عناصر مجاور اتصال مي يابند. اصل وردشي Hu-Washizu را براي محاسبه ماتريس سختي عنصر بكار بريد. عنصر خرپايي سه گرهي حل:

(الف) عبارات مرزي مربوط به عبارات Sf و Su مي باشند و در تعيين ماتريس سختي عنصر مورد نياز نيستند. حال درون يابي هاي زير را بكار مي بريم:

از جايگذاري توابع درون يابي در (الف)، متناظر با عبارت 1، نتيجه زير را بدست مي آوريم: و متناظر با عبارت 2: و متناظر با عبارت 3: در روابط فوق داريم: بنابراين نتيجه زير حاصل مي شود: (ب)

كه در آن داريم: اگر عبارات مربوط به B و E را جايگذاري كنيم و درجات آزادي εiوτiرا حذف نمائيم، از (ب) نتيجه زير حاصل مي شود:

6- فرمول بندی آميخته ب- مبانی فرمول بندی آميخته ب-4- اگر فرض کنيم که تنش ها برحسب کرنش ها داده شده اند، در اينصورت متغيرها عبارتند از: تغييرمکان های تعميم يافته و کرنش ها، لذا خواهيم داشت:

مثال 30-4:عنصر تيري نشان داده شده در شكل را در نظر بگيريد. تغيير خطي در تغيير مكان جانبي W و در دوران مقطع θرا فرض كنيد و كرنش برشي جانبي γ را ثابت بگيريد. معادلات عناصر محدود را ايجاد نمائيد. عنصر تيري دو گرهي حل: فرض مي شود كه تنش ها بر حسب كرنش ها داده شده اند، و لذا مي توان τ=cε را در رابطه تابعك Hu-Washizu جايگذاري كرد تا نتيجه زير حاصل شود:

تابعك Hellinger-Reisner‌ را براي اين عنصر مي نويسيم: (الف) در اين فرمول بندي تيري u،wوγxzAsمتغير مي باشند. با استفاده از δΠHR* ، متناظر باδuنتيجه زير را بدست مي آوريم: (ب)

و متناظر با γxzAsداريم: (پ) با فرض: براي بدست آوردن درونيابي تغيير مكانها به صورت زير عمل مي كنيم:

بدين ترتيب با مرتب كردن متغيرهاي u و w بر حسبw1 ، θ1 ،w2 ، θ2 ماتريسهاي درونيابي زير بدست مي آيد:

از جايگذاري در (ب) و(پ) نتيجه زير حاصل مي شود:

روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II