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Pequena introdução à obra de Iannis Xenakis. Henrique Iwao graduação em música modalidade composição IA Unicamp. 1. Iannis Xenakis e a música grega antiga.
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Pequena introdução à obra de Iannis Xenakis Henrique Iwao graduação em música modalidade composição IA Unicamp
1. Iannis Xenakis e a música grega antiga • “O conceito pitagórico dos números dizia que as coisas são números, ou que as coisas continham números , ou que as coisas são similares a números. Essa tese (e isso em particular interessa ao músico) desenvolveu-se a partir do estudo dos intervalos musicais para obtenção da catarse órfica, porque, de acordo com Aristoxenos, os pitagóricos usavam a música para purificar a alma assim como a medicina para purificar o corpo” [1]
Gregorio Panigua - Anakrousis (contemporânea) Dhipli Zyia (1952) Procession aux Eaux Claires (1953) Concret Ph (1958) Premier Hymne Delphique (c.138 A.C.) Les Emenides (1966) Jonchaies (1977) Tracées (1987) Aristophane - Aeonaoi Nefelai (450-385 A.C.) Gendy3 (1991) A la Memoire de Witold Lutolawski (1994) Mésomède de Crète - Hymne à la Muse (c.130 D.C.)
Achorripsis, grego para “jatos sonoros”, foi composta em 1957. • Xenakis coloca o seguinte problema: supondo que M pontos possam aparecer com a única condição de que eles obedeçam a uma lei aleatória sem memória (isto é, cujo resultado observado até um instante dado não influencia os resultados futuros). • Admitindo que existem poucos pontos distribuídos num plano - superfície (baixa densidade), a lei (variável aleatória com distribuição) de Poisson é aplicável. • Usando essa lei, diz Xenakis, é possível obter um máximo de assimetria com um mínimo de regras.
Fases fundamentais de uma obra musical segundo o capítulo I do livro “Formalized music: thought and mathematics in composition”, de Iannis Xenakis: • 1. concepções iniciais (intuição). • 2. definição de entidades sônicas (material sonoro). • 3. definição das transformações (macro-composição). • 4. micro-composição. • 5. seqüenciamento (esquema da obra como um todo). • 6. implementação de cálculos e correções. • 7. resultado simbólico final (notação musical). • 8. realização sônica (execução da obra).
O esquema macro-composicional de Achorripsis. • Hipóteses iniciais: • “1. Num determinado espaço existem homens e instrumentos musicais. 2. Há meios de contato entre esses homens e os instrumentos que permitem a emissão de eventos sônicos raros*” [2] • *isto é: fragmentos melódicos, células musicais, aglomerações, etc, também controlados por leis aleatórias, sob a condição de que eles não ocorrem freqüentemente (com freqüência alta) durante a música (eventos sonoros esparsos no tempo).
As variáveis da matriz de vetores (esquema de macro-composição): • 1. A Variável Aleatória de Poisson. • 2. O parâmetro (média*) λ. • 3. O número de células, colunas e linhas. • * a média é o valor esperado da função, mas não necessariamente o que mais ocorre. Ela é entendida como centro de massa – gravidade; isto é, ponto de equilíbrio da variável aleatória. • Exemplo: espera-se que, para um jogo de cara ou coroa, cara valendo 0 e coroa valendo 1, o resultado seja 0.5, ou seja, a média desse jogo é 0.5 (e no entanto 0.5 não é cara nem coroa: não é nem um resultado possível de uma jogada!).
Colunas: intervalos de tempo (cada uma com 6.5 tempos). • Linhas: tipos de eventos sonoros. • Matriz com 28 colunas e 7 linhas; 28x7 = 196 células. • X~Poi(λ) P(X=k) = λke-k/k! • λ= 0.6 eventos/célula. • k = 0; 1; 2; 3; 4; 5. • e = 2,71828… • 5! = 5x4x3x2x1. 0! = 1. • Poisson é usada para estimar número de eventos em determinada quantidade de tempo, especialmente quando a ocorrência desses eventos é rara (de freqüência baixa). • Xenakis calcula então a probabilidade de que exista, em uma determinada célula, um evento sonoro com densidade 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Ele despreza a possibilidade de valores acima de 5 porque tem probabilidade muito baixa.
Resultados: • k=0 P(X=0) = 0.5488 • k=1 p1 = 0.3293 • k=2 p2 = 0.0988 • k=3 p3 = 0.0198 • k=4 p4 = 0.0030 • k=5 p5 = 0.0004 • Problema: • Na década de 90 a simulação de variáveis aleatórias é bastante utilizada, isto é, hoje em dia podemos simular para as 196 células quais seriam suas densidades sonoras; o resultado da simulação seria aproximadamente proporcional aos valores das probabilidades obtidos acima. • Mas Xenakis escreveu a peça em 1957! Assim foi obrigado a utilizar os valores das probabilidades como se fossem proporções fixas, isto é, teve de multiplicar cada valor de probabilidade por 196.
Número de células com densidade k: • n0 = 0.5488x196 = 107 células com densidade 0 • n1 = 0.3293x196 = 65 • n2 = 0.0988x196 = 19 • n3 = 0.0198x196 = 4 • n4 = 0.0030x196 = 1 • n5 = 0.0004x196 = 0 • Para que sua peça fosse assimétrica, Xenakis deveria arrumar um jeito de tornar a disposição dos eventos sonoros (cada um com uma densidades específica) na matriz parecida com o que hoje seria o resultado de uma simulação computacional. • Ou seja, a distribuição de Poisson não deveria ser usada meramente como geradora de proporções de eventos e densidades relacionadas. • Xenakis resolve então reaplicar a distribuição de Poisson para as colunas e as linhas.
Se existem 28 colunas e m células com densidade k, então a média de células com densidade k por coluna é igual a λk = m/28. • É necessário reaplicar a distribuição de Poisson para cada uma das 5 densidades possíveis de eventos sonoros. • Ex: λ1 = 65/28 = 2,32. • A probabilidade de que existam k eventos de densidade sonora 1 numa coluna é então calculada. Multiplicando o resultado por 28 temos que 3 colunas não tem evento com densidade 1, 6 colunas tem um evento com densidade 1, 7 colunas tem dois eventos de densidade 1 cada, etc... • E assim temos mais cálculos!
Se existem 7 linhas e m células com densidade k, então a média de células com densidade k por coluna é igual a λk = m/7. • É necessário reaplicar a distribuição de Poisson para cada uma das 5 densidades possíveis de eventos sonoros. • Ex: λ1 = 65/7 = 9,3. • A probabilidade de que existam k eventos de densidade sonora 1 numa linha é então calculada. Multiplicando o resultado por 7 temos que 0,57 linhas tem 0 eventos de densidade 1, 0,76 linhas tem 1 evento de densidade 1, 0,89 linhas tem dois eventos de densidade 1, etc... • Aqui é interessante notar que os arredondamentos desses valores são feitos de maneira totalmente arbitrária por Xenakis.
O jogo. • Agora Xenakis deve seguir sua rede de proporções... • Ex: para eventos com densidade 3; 4 linhas não os têm, 2 linhas têm um evento, 1 linha tem dois eventos. 24 colunas não os têm, 3 colunas têm 1 evento. • Mas o quanto isso é distante dos resultados obtidos através de uma simulação computacional? • E quando é melhor usar um cálculo proporcional ao invés de uma simulação? • (temos sempre que considerar a quantidade de eventos sonoros...)
Xenakis não segue rigorosamente os valores por ele obtidos através dos cálculos... (além de interferir nos arredondamentos) • 1. “Os valores colocados na matriz não são sempre rigorosamente definidos. Dada uma média λ, eles dependem do número de linhas e colunas da matriz.Quanto maior o número de linhas e colunas, mais rigorosa será a definição. Essa é a Lei dos Grandes Números*”. • 2. Certas indeterminações permitem maior liberdade artística, uma das portas que se abrem ao subjetivismo do compositor. • * na verdade, esse não é o enunciado da Lei dos Grandes Números; ocorre que, para uma matriz com mais células, são necessários menos arredondamentos nos cálculos, o que torna os resultados mais rigorosos e livres de intervenção humana.
No infinito... • Mais importante que explicar a Lei dos Grandes Números é perceber como Xenakis utiliza os valores de probabilidade que ele recebeu e os transforma em proporções. De fato, no infinito os valores de probabilidade se estabilizam em valores fixos; por exemplo, se fosse possível jogar uma moeda balanceada infinitas vezes teríamos a certeza de que metade dos resultados seria cara e metade seria coroa... • Em todo experimento real só podemos observar finitos valores assumidos por nossa variável aleatória. Quanto maior o número de observações, mais podemos dizer sobre sua natureza, e menos desvios (valores estranhos) ao nosso modelo probabilístico (uma distribuição, por exemplo) teremos. • Quanto nós críamos sons podemos querer que esses desvios se manifestem mais ou menos!
3. Bibliografia. • [1] XENAKIS, I. Formalized Music: thought and mathematics in composition. New York, Pendragon Press, 1992 (pag. 202) • [2] XENAKIS, I. Formalized Music: thought and mathematics in composition. New York, Pendragon Press, 1992 (pag. 24) • [3] PANIAGUA, G. "Ancient Greek Music - notas de programa do CD Musique de la GRÈCE ANTIQUE“. Harmonia Mundi, 2000. • [4] ARSENAULT, L. "Iannis Xenakis’s Achorripsis: the Matrix Game” Computer Music Journal, M.I.T. Press, Cambridge, 26:1, (58,72), 2002. • [5] CHILDS, E. “Achorripsis: a sonification of probability distributions” Proceedings of the 2002 International Conference on Auditory Display, Kyoto, Japan, July 2-5, 2002. • [6] MOOD, A.; GRAYBILL,F.; BOES, D. Introduction to the theory os statistics. New York. McGraw-Hill inc. 1974.
