Αριθμοί Catalan και Stirling

1. Αριθμοί Catalan και Stirling Διπλωματική Εργασία Δέδε Γεωργία Αθήνα, 2013

2. ΔΟΜΗ • ΕΙΣΑΓΩΓΗ • ΑΡΙΘΜΟΙ CATALAN και εφαρμογές • ΑΡΙΘΜΟΙ STIRLING α’ και β’ είδους και εφαρμογές

3. Διακριτά Μαθηματικά Τι είναι; ή καλύτερα Τι ΔΕΝ είναι;

4. Διακριτά Μαθηματικά Αφορούν σε δομές διακριτές (μη συνεχείς) π.χ. σύνολα, άλγεβρες Boole, διάφορες κατηγορίες ακεραίων, γραφήματα, τυπικές γλώσσες

5. Διακριτά Μαθηματικά Συγκέντρωση σε έναν κλάδο προβλημάτων που ταλάνιζαν για χρόνια τους Μαθηματικούς και δεν μπορούσαν να λυθούν με βάση τη Μαθηματική Ανάλυση! π.χ. το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων

6. Διακριτά Μαθηματικά Λογική και Απόδειξη Γιατί μια πρόταση είναι αληθής!

7. Διωνυμικοί Συντελεστές Εμφανίζονται στο Διωνυμικό Θεώρημα:

8. Διωνυμικοί Συντελεστές Συνδυασμοί των n αντικειμένων ανά k:

9. Διωνυμικοί Συντελεστές Η αναδρομική σχέση: οδηγεί στο:

10. Τρίγωνο του Pascal

11. Τρίγωνο του Pascal Κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς στην επάνω σειρά, π.χ. 10 = 6+4. Προηγούμενη αναφορά από τον Κινέζο Μαθηματικό ChuShih – Chieh «Τέλειος καθρέπτης των τεσσάρων στοιχείων» (1303).

12. Ακολουθίες Αριθμών • Bell • Motkzin • Lucas – Fibonacci

13. Αριθμοί Bell Eric Temple Bell (February 7, 1883 – December 21, 1960) Γνωστός και ως John Taine, συγγραφέας αστυνομικών μυθιστορημάτων

14. Αριθμοί Bell • Για ικανοποιούν την αναδρομική σχέση: • Συνδέονται με τους αριθμούς Stirling β’ είδους με τη σχέση:

15. Αριθμοί Motzkin Theodore Samuel Motzkin (26 March 1908–15 December 1970)

16. Αριθμοί Motzkin • Εκφράζουν το πλήθος των μη τεμνόμενων χορδών που μπορούμε να σχεδιάσουμε μεταξύ n σημείων της περιφέρειας ενός κύκλου και για ικανοποιούν την αναδρομική σχέση: • Συνδέονται με τους αριθμούς Catalan μέσω της σχέσης:

17. Αριθμοί Lucas - Fibonacci Leonardo Pisano Bigollo (c. 1170 – c. 1250) γνωστός και ως Fibonacci, σύντμηση για το filiusBonacci, δηλαδή γιος του GuglielmoBonacci

18. Αριθμοί Lucas - Fibonacci Το 1202 στο βιβλίο LiberAbaci («Περί του Άβακα») κατέγραψε τη μαθηματική γνώση που συγκέντρωσε στα ταξίδια του γύρω στη Μεσόγειο. Εκεί, έθεσε το πρόβλημα του υπολογισμού των απογόνων που προκύπτουν από ένα ζευγάρι κουνελιών, που δεν αναπαράγει τον πρώτο μήνα της ζωής του και στη συνέχεια γεννά ένα νέο ζευγάρι κουνελιών κάθε μήνα.

19. Αριθμοί Lucas - Fibonacci

20. Αριθμοί Lucas - Fibonacci • Οι αριθμοί Fibonacci μελετήθηκαν από τον • François Édouard Anatole Lucas (4 April 1842 – 3 October 1891) • Ισχύει η σχέση: • για τους αριθμούς Lucas και Fibonacci

21. Αριθμοί Catalan Eugène Charles Catalan (Bruges 30/05/1814 – Liège 14/02/1894) Αρχικά είχε το επίθετο Bardin, της μητέρας του, αφού οι γονείς του παντρεύτηκαν όταν ήταν 7 ετών

22. Αριθμοί Catalan • ασχολήθηκε με προβλήματα παραστατικής γεωμετρίας, συνεχών κλασμάτων, θεωρίας αριθμών και συνδυαστικής • έδωσε το όνομά του σε μια περιοχή του R3 και στους αριθμούς Catalan • έθεσε το πρόβλημα που σήμερα ονομάζουμε «εικασία του Catalan» Η μοναδική λύση στο πρόβλημα: xa + yb = 1, γιαa,x,b,y>1 είναι x=3, a=2, b=3, y=2.

23. Αριθμοί Catalan Οι αριθμοί Catalan έχουν γενικό τύπο: και κάποιοι από τους πρώτους όρους είναι:

24. Αριθμοί Catalan • Ο πρώτος που τους όρισε και τους χρησιμοποίησε ήταν ο Μογγόλος Μαθηματικός, Αστρονόμος και Τοπογράφος Minggatu το 1730 • Η πρώτη αναφορά από τον Catalan έγινε το 1838 στη επίλυση του προβλήματος τοποθέτησης παρενθέσεων σε ένα γινόμενο

25. Αριθμοί Catalan • Οι αριθμοί Catalan προκύπτουν από το τρίγωνο του Pascal, αν από την κεντρική στήλη και για τις σειρές άρτιου αριθμού αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες τιμές τις μεθεπόμενης στήλης

26. Τριγωνισμός n-γώνου Ένας τριγωνισμός ενός κυρτού n-γώνου είναι μια διαμέριση του εσωτερικού του n-γώνου σε τρίγωνα με ευθείες που είναι μη τεμνόμενες διαγώνιοι του n-γώνου.

27. Τριγωνισμός n-γώνου Το πλήθος των τριγωνισμών ενός n-γώνου είναι ίσο με τον (n-2)-τάξης αριθμό Catalan:

28. n1 n1 n1 Τριγωνισμός n-γώνου n5 n5 n5 n2 n2 n2 n3 n4 n4 n4 n3 n3 π.χ. για n=5 n1 n1 n5 n5 n2 n2 n4 n3 n4 n3 Οι δυνατοί τριγωνισμοί ενός πενταγώνου.

29. Χειραψίες σε κυκλικό τραπέζι Σε έναν κύκλο το πλήθος των μη τεμνόμενων χορδών μεταξύ 2n σημείων ισούται με τον n-τάξης αριθμό Catalan .

30. Τοποθέτηση Παρενθέσεων σε γινόμενο Το πλήθος των παρενθέσεων σ’ ένα γινόμενο με n παράγοντεςισούται με τον αριθμό Catalan (n-1)-τάξης:

31. Τοποθέτηση Παρενθέσεων σε γινόμενο π.χ. για n=4 • ((x1x2)(x3x4)) • (((x1x2)x3)x4) • ((x1(x2x3))x4) • (x1 ((x2x3)x4)) • (x1 (x2(x3x4)))

32. Σχεδίαση οροσειρών με n ανοδικές πλευρές (/) και n καθοδικές πλευρές (\) Το συγκεκριμένο πρόβλημα έχει λύση τον αριθμό Catalan n-τάξης

33. Το πρόβλημα της κάλπης Ας υποθέσουμε ότι γίνονται εκλογές και υπάρχουν δύο υποψήφιοι, οι Α και Β και 2n ψηφοφόροι. Οι υποψήφιοι τελικώς ισοψηφούν, ενώ δεν υπάρχουν άκυρα ή λευκά ψηφοδέλτια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να μετρήσουμε τις ψήφους των Α και Β, έτσι ώστε ανά πάσα στιγμή κατά τη διάρκεια της καταμέτρησης να υπερτερεί πάντα ο ίδιος υποψήφιος ή να είναι ισόπαλοι: η λύση είναι ο αριθμός Catalan n-τάξης ,

34. Dyck Paths/Διαδρομές Στο Καρτεσιανό επίπεδο με πόσους τρόπους μπορούμε να πάμε από το (0,0) στο (n,n) κατά τέτοιον τρόπο ώστε να κινούμαστε μόνο Βόρεια ή Ανατολικά και κάτω από τη διαγώνιο x=y: η λύση είναι ο αριθμός Catalan n-τάξης

35. Dyck Paths/Διαδρομές π.χ. για n=4

36. Μεταθέσεις Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε n αριθμούς σε σειρά έτσι ώστε να μην έχουμε 3 ή περισσότερους αριθμούς που να είναι διαδοχικοί στη φυσική τους σειρά: η λύση είναι ο αριθμός Catalan n-τάξης

37. Μεταθέσεις

38. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα Το πλήθος των δένδρων με προσανατολισμό και ρίζα και βαθμούς κορυφών 1 ή 3 και n φύλλα ισούται με τον αριθμό Catalan (n-1)-τάξης

39. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

40. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

41. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

42. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα Το πλήθος των δένδρων με προσανατολισμό, ρίζα και n φύλλα δίνεται από τον αριθμό Catalan n-2 τάξης,

43. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

44. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

45. Αριθμοί Stirling James Stirling (Stirlingshire 1692 – Edinburgh 1770) • Ασχολήθηκε με σειρές, διαφορικές εξισώσεις, Συνδυαστική, Μηχανική, Οπτική, Υδροδυναμική και Αστρονομία • Η συμμετοχή του στο κίνημα των Ιακωβιτών για την απελευθέρωση της Σκωτίας καθυστέρησε την επαγγελματική του σταδιοδρομία και δυσκόλεψαν τη ζωή του • Εκτός από επιτυχημένος Μαθηματικός ήταν εξίσου επιτυχημένος Μηχανικός και διευθυντής εταιρείας ορυχείων

46. Αριθμοί Stirlingβ’ είδους Οι αριθμοί Stirling β’ είδους υπολογίζουν με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε n διακεκριμένα αντικείμενα σε ακριβώς k μη διακεκριμένες θέσεις ώστε καμία θέση να μην είναι άδεια. Ισοδύναμα Οι αριθμοί Stirling β’ είδους υπολογίζουν με πόσους τρόπους μπορούμε να διαμερίσουμε ένα σύνολο n στοιχείων σε k μη κενά υποσύνολα.

47. Αριθμοί Stirlingβ’ είδους οι αριθμοί Stirling β’ είδους για 1≤k≤n≤6:

48. Αριθμοί Stirlingβ’ είδους Τοποθέτηση σε τρίγωνο:

49. Αριθμοί Stirlingβ’ είδους Κάθε αριθμός στο τρίγωνο προκύπτει αν προσθέσουμε τον πάνω αριστερά με τον πάνω δεξιά πολλαπλασιασμένο επί την τάξη του στη γραμμή που βρίσκεται, π.χ. 25 = 7 + 6*3

50. Αριθμοί Stirlingβ’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας Πολλά προβλήματα απαρίθμησης αντικειμένων είναι δυνατό να τα διατυπώσουμε σα να είχαμε να τοποθετήσουμε μπάλες σε κελιά ή δοχεία. Έχουμε αντιστοιχίσει, λοιπόν, τις μπάλες στα προς απαρίθμηση αντικείμενα και τα κελιά στις στάθμες απαρίθμησης. Το ερώτημα που τίθεται είναι με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε n μπάλες σε m κελιά, δεδομένου ότι σε κάθε κελί μπορούν να χωρέσουν και όλες οι μπάλες.