Dane informacyjne

2. Dane informacyjne Nazwa szkoły: Zespół Szkół Usługowo –Gospodarczych w Pleszewie ID grupy: 97/18_MF_G1 Opiekun: Magdalena Karczewska Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Metody kombinatoryczne w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: IV/ 2011/2012

3. METODY KOMBINATORYCZNE W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

4. Czym jest kombinatoryka? Kombinatoryką nazywamy dział matematyki zajmujący się zbiorami skończonymi oraz odwzorowaniami między nimi. Kombinatoryka jest sztuką liczenia - zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza głównie rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych.

5. Twierdzenie o mnożeniu Jeżeli zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to liczba różnych par (x, y) takich, że x∈A i y∈B wynosi m· n.

6. Przykład Ile różnych wyników można otrzymać przy rzucie monetą i kostką? 2 · 6 = 12 (O, 1), (O, 2), (O, 3),(O, 4), (O, 5), (O, 6) (R, 1), (R, 2), (R, 3),(R, 4), (R, 5), (R, 6)

7. Zbiór Ciąg Pojęcia którymi posługuje się kombinatoryka {x1 , x2, ..., xn} oznacza zbiór o elementach x1 , x2, ..., xn. Każdy zbiór nie zawiera dwóch identycznych elementów, to znaczy każdy element traktujemy tak, jakby występował tylko jeden raz, a kolejność elementów zbioru nie odgrywa roli. (a1 , a2, ..., an) oznacza ciąg o wyrazach a1 , a2, ..., an. Kolejność ustawienia wyrazów w ciągu jest bardzo ważna. Zmieniając kolejność wyrazów w ciągu otrzymujemy inny ciąg. Ciąg może zawierać wyrazy identyczne lub nie.

8. Silnia Symbol n! - oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n! = 1∙2∙3∙…∙n przy czym 0!= 1 . Przykłady: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

9. Symbol Newtona

10. Permutacja Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Liczba permutacji zbioru n-elementowego jest równa: n!

11. Wariacja bez powtórzeń Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego  (1 ≤ k ≤ n) nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie). Gdy k=n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

12. Wariacja z powtórzeniami Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n-elementowego  nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu). Należy zauważyć, iż kolejność elementów ma znaczenie. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa:

13. Kombinacja bez powtórzeń Kombinacja bez powtórzeń to każdy podziór zbioru skończonego. Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowegoA nazywa się każdy k-elementowy podzbiór zbioru A (0 ≤ k ≤ n). Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub wręcz "kombinacja z n po k". Liczba kombinacji z n po k wyraża się wzorem:

14. Tabela przedstawiająca algorytm postępowania przy rozwiązywaniu zadań

15. Przykłady zadań kombinatorycznych

16. Permutacja Rozwiązanie Na ile sposobów może wsiąść do autobusu, pojedynczo, jednymi drzwiami grupa licząca 6 kobiet i 4 mężczyzn jeżeli kolejność wsiadania jest dowolna.

17. Permutacja Rozwiązanie Na ile sposobów może wsiąść do autobusu pojedynczo, jednymi drzwiami grupa licząca 6 kobiet i 4 mężczyzn jeżeli najpierw wsiadają kobiety później mężczyźni?

18. Permutacja Rozwiązanie W zespole tanecznym jest 10 dziewcząt i 10 chłopców. Każda dziewczynka tańczy z chłopcem. Ile jest różnych możliwości utworzenia 10 par tanecznych?

19. Permutacja Rozwiązanie Ile liczb sześciocyfrowych możemy utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5,6 takich, że 1 i 2 sąsiadują ze sobą w kolejności wzrastania?

20. Permutacja Rozwiązanie Ile parzystych sześciocyfrowych liczb możemy utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5,6?

21. Wariacja bez powtórzeń Rozwiązanie Ile jest różnych czterocyfrowych liczb? Zakładamy, że cyfry nie mogą się powtarzać.

22. Wariacja bez powtórzeń Rozwiązanie Ile jest różnych czterocyfrowych kodów PIN? Zakładamy, że cyfry nie mogą się powtarzać.

23. Wariacja bez powtórzeń Rozwiązanie Pewna firma chce drukować ulotki, w których jedna strona ma mieć dwukolorowe tło (górna połowa ma mieć inny kolor niż dolna). Ile jest wzorów takich ulotek, jeśli firma ma do dyspozycji 7 kolorów?

24. Wariacja bez powtórzeń Rozwiązanie Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych, podzielnych przez 25?

25. Wariacja z powtórzeniami Rozwiązanie Ile jest różnych czterocyfrowych liczb? Zakładamy, że cyfry w liczbie mogą się powtarzać.

26. Wariacja z powtórzeniami Rozwiązanie Ile jest różnych czterocyfrowych kodów PIN? Zakładamy, że cyfry mogą się powtarzać.

27. Wariacje z powtórzeniami Rozwiązanie Na ile sposobów można pięciu osobom przyporządkować ocenę z matematyki?

28. Kombinacje Rozwiązanie Z urny, w której znajduje się 7 kul losujemy 2 kule. Ile jest możliwych wyników losowania?

29. Kombinacje Rozwiązanie Na ile sposobów z grupy liczącej 6 chłopców i 3 dziewczynki można wybrać trzyosobową delegację w skład której wejdą same dziewczynki

30. Kombinacja Rozwiązanie W klasie jest 15 dziewcząt i 16 chłopców. Spośród uczniów tej klasy wybieramy czteroosobową delegacje. Na ile sposobów można to zrobić, tak aby w delegacji znalazły się co najmniej dwie dziewczynki?

31. Kombinacje Rozwiązanie Z okazji zjazdu koleżeńskiego spotyka się dwunastu przyjaciół. Każdy wita się z każdym poprzez podanie ręki. Ile nastąpi powitań?

32. Źródła http://zimowisko2009.blox.pl/resource/liczby.gif http://www.gadudodatki.pl/uploads/produkty/galerie/thumb1/7f/7f424c85de5b796dfa8f612f617556dd175d45fc.jpg http://www.druk-reklama.com/grafika/strony/ulotki/ulotki-top.jpg www.edukator.pl/portal-edukacyjny/kombinatoryka/760.html M.Kurczab, E.Kurczab, E.Świda Matematyka, zbiór zadań dla liceów i techników http://files.students.ch/uploads/a/2010/04/23/powitanie.gif J.Lingman, E.Stachowski, A.Zalewska Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa dla uczniów szkół średnich http://bajan.net.pl/?gal=8