Hamilton 系统的运动复杂性

1. Hamilton系统的运动复杂性 程崇庆 南京大学数学系

2. Isaac Newton 1642-1727

3. 二体问题：n=2方程的解法 根据角动量守恒，二体运动在一个平面上。

4. 二体问题：n=2方程的解法

5. 二体问题：n=2方程的解法 椭圆情况的图像（坐标原点固定在一个质点） Kepler: 单位时间内扫过的面积为常数

6. 三体问题：n=3 方程无法求显式解 根据Laplace的解释，牛顿认为只有上帝能解决此问题， 控制着稳定性。

7. 分析力学的奠基人 构型空间: 欧式空间 流形 （坐标，速度） 广义坐标，广义速度 Joseph-Louis Lagrange 1736-1813

8. 变分原理

9.  William R. Hamilton 1805-1865

11. 求解方程：寻找首次积分（first integral）

12. 求解方程：寻找首次积分（first integral）

13. 寻找首次积分求解方程的范例 在万有引力作用下的定点刚体旋转（陀螺） Euler top (1750)：定点在质心上，外力矩为零（图a） Lagrange top (1788)：刚体关于旋转轴对称，质心在对称轴上但不与固定点重合（图b） Kovalevskaya top (1888)：两个惯性力矩相等，并等于第三个惯性力矩的两倍（图c） 然而，人们将发现这样的求解方法在一般情况下行不通： 天才巨星Poincaré闪亮登场

14. 瑞典国王Oscar二世，由Gösta Mitttag-Leffler建议设立奖项： Given a system of arbitrarily many mass points that attract each according to Newton’s law, under the assumption that no two points ever collide, try to find a representation of the coordinates of each point as a series in a variable that is some known function of time and for all of whose values the series converges uniformly. Henri Poincaré 1854-1912  Karl Weierstrass: "This work cannot indeed be considered as furnishing the complete solution of the question proposed, but that it is nevertheless of such importance that its publication will inaugurate a new era in the history of celestial mechanics." 开启动力系统研究的新纪元！

15. Poincaré在三体问题研究中发现了不可积现象。一类Poincaré回归映射（保面积微分同胚）有一个双曲不动点，它的稳定流形与不稳定流形横截相交。Poincaré在三体问题研究中发现了不可积现象。一类Poincaré回归映射（保面积微分同胚）有一个双曲不动点，它的稳定流形与不稳定流形横截相交。 • 在不动点附近，这两个流形无限相交，构成栅栏状 • 不可积 首次积分不存在

16. Poincaré最终几何猜测 Every symplectic diffeomorphism of a compact symplectic manifold, ho-mologous to identity, has at least as many fixed points as a smooth functi-on on this manifold has critical points (at least if this diffeomorphism is not too far from the identity).

17. Poincaré回归定理 熵增大定理的数学反例（数学和物理） Boltzmann用熵（entropy）度量一个系统中的无序状态。 S=k log(W) W 无序度 Ludwig E.Boltzmann 1844-1906

18. George D. Birkhoff  1884-1944 时间平均=空间平均 源于Boltzmann 的 ergodic hypothesis（关于Lebesgue测度或与Lebesgue测度等价的测度）

19. 常微分方程运动稳定性理论-直接方法 • 一个解称为 • 稳 定 所有初值足够靠近的 解永远充分靠近该解； • 渐近稳定 所有初值足够靠近的解将无限趋于该解； • 不稳定 不论初值如何靠近，总有解会偏离该解。 Aleksandr Lyapunov 1857-1918 Hamilton系统的解不可能有渐近稳定性

20. n个自由度近可积Hamilton系统中大量n维不变环面的发现（ 1954） Kolmogorov起初的动机是试图证明Hamilton系统中不变环面上的运动弱混合，然而这导致他发现了大量拟周期运动不变环面的存在。 正如Arnold所说“Kolmogorov’s a-chievement is similar to that of Co-lombus, whose attempt to find We-stern route to India failed.” Andrey N. Kolmogorov 1903-1987

21. 几个概念：遍历、弱混合、强混合

22. 可积系统

23. KAM定理

24. KAM定理 解同调方程必须处理小分母问题

25. Jürgen K. Moser 1928-1999 Vladimir I. Arnold 1937-2010 1962年，J.Moser就扰动在C333中充分小证明了保面积扭转映射中不变曲线的存在性。 1963年，V.I.Arnold就任意n个自由度系统中充分小解析扰动证明了n维不变环面的存在性。

26. 如今，关于光滑性的要求已经降低到在C2n+中充分小即可。可以证明在C2n-空间中存在任意小扰动破坏KAM环面（程2011），甚至于Lagrange环面（程王林2012）。如今，关于光滑性的要求已经降低到在C2n+中充分小即可。可以证明在C2n-空间中存在任意小扰动破坏KAM环面（程2011），甚至于Lagrange环面（程王林2012）。 在80年代，M.Herman就二维扭转映射证明了 C3+KAM 定理成立（生成函数相当于C4+ ） C3 -KAM 定理成立（生成函数相当于C4- ）

27. KAM理论的重大意义

28. KAM理论的重大意义

29. KAM理论的重大意义 3. 实际应用：地球磁场导致其被带电粒子带包围，卫星观测发现地球周围有两个区域（van Allan 带），其中的带电粒子被俘获。这一现象可以用KAM理论解释（M.Braun 1970）。除了自然形成的van Allan 带，大当量核武器爆炸也会形成人工放射带，存在时间长达几年。

30. 退化性

31. KAM理论向保体积微分同胚的延伸

32. Arnold扩散 KAM不变环面在相空间中构成一个无处稠密的闭集，余集便是由各阶共振区构成的处处稠密的开集，尽管其Lebesgue测度较小。当系统自由度不少于3（2.5）时，这个开集道路连通。一个自然的问题便是是否存在这样的轨道，沿着该轨道其作用量变化可以很大

33. Arnold扩散

34. Arnold扩散

35. 自从1964年Arnold提出该问题以来，有大量的工作研究此问题。方法主要有两类：几何方法与变分方法自从1964年Arnold提出该问题以来，有大量的工作研究此问题。方法主要有两类：几何方法与变分方法 a priori unstable system 其中 R. de la Llave 及其合作者(2004), P. Bernard (2008), D.Treschev (2004), 程–严 (2004,2009)

36. a priori stable system （近可积系统） • 关于2.5或3个自由度系统，该问题近期有望解决。任意自由度的解决有待时日。直观看，自由度越大，扩散越容易。

37. 多自由度Hamilton系统的动力学不稳定 对于二维保面积扭转映射而言，椭圆不动点具有Lyapunov稳定性，但是对于多自由度系统而言，这样的稳定性相信不存在。根据我们研究Arnold扩散的经验可以猜测： 尽管KAM环面在线性近似下具有稳定性，但是考虑非线性作用后，KAM环面不再具有Lyapunov稳定性。任意两个KAM环面之间存在连接轨道。 动力系统中心问题（M.Herman） 典型系统的拟遍历猜测成立：自治系统的等能量面上具有稠轨道，即一条轨道的轨迹的闭包是整个等能量面。

38. 变分法简介

39. 变分法简介

40. 变分法简介 有反例

41. 变分法简介

42. 变分法简介

43. 稳定与不稳定流形的概念扩张

44. 稳定与不稳定流形的概念扩张

47. Poincaré used to say that precise formulation, as a question admitting a “yes or no” answer, is possible only for problems of little interest. Questions that are really interesting would not be settled this way: they yield gradual forward motion andpermanent development. V. I. Arnold (1999) Poincare followed rather the ideas of Francis Bacon (who claimed that to start scientific investigations from general axioms and principles is a dangerous and damned methods, leading to unavoidable mistakes) than the Cartesian theory (saying that copnformity to any reality is unrelated to science, which is the art of deducing corollaries of arbitrary axioms). V.I. Arnold (2006)

48. 谢 谢