Chapter.5 and Chapter.11

1. Chapter.5 and Chapter.11

2. 마찰력(전단력) = 압력에 의한 힘 = 수두손실(압력손실) • 위의 식을 정리하면 다음과 같다. <관로 내부에서의 유속, 압력, 전단응력> <관류의 전단응력 및 유속 분포>

3. 뉴턴의 제1점성법칙은 다음과 같다. • 위의 식을 에 대입하면 다음과 같다. • 위의 유속에 대한 식을 관의 내경에 대하여 적분하면 다음과 같다. • 위의 식의 적분상수 C는 다음과 같이 구할 수 있다.

4. 최대유속은 r=0인 점에서 발생하며, 다음과 같다. • 평균유속은 다음과 같이 유속의 유한단면적을 곱한 다음 전체를 적분하여 전체 단면적으로 나누어준다. • 다음과 같이 평균유속은 최대유속의 1/2이다. • 마찰에 의한 에너지 손실 : 유속 - 압력의 구배도 - 마찰력 • 압력손실 - 마찰 - 에너지 손실

5. 위식을 정리하면 다음과 같은 압력손실을 구할 수 있다. • 관류의 동수반경은 다음과 같다. 동수반경 = 단면적 / 윤변 • 압력손실(수두손실)은 다음과 같다. • 위의 식을 Poiseulli식이라 한다.

6. 층류의 에너지 손실식은 점성계수, 유속, 관의 내경, 길이에 관계가 있다. • 정수장에서 배수관망 설계, 상수관망 설계는 다음과 같다. • 1. 수요 : 원하는 유량 : 20만 * 0.5톤/일/인 = 10만톤/일 • 필요한 공급 유량 Q • 2. 배수관망의 조건에 따라 필요한 관의 P, L이 결정된다. • 3. V, D는 위의 조건으로부터 구한다. • * 점성법칙이 유효하게 적용되기 위해서는, 작은 내경의 관로의 점성유체에 대한 층류이어야 한다. 난류 • <층류와 난류의 유속 분포도> • 층류의 경우에는 • 난류인 경우에는 실험 결과로부터, • 여기서, • 층류 : Re < 2000 • 난류 : Re > 4000 • 천이영역 : 2000<Re<4000

7. 5.2 Derive the equations of the head loss for the problem 5.1 such as Darcy-Weisbach equation. • 난류 유동 : Darcy-Weisbach 공식 • 관류유동에 있어서 난류인 경우의 수두손실은 Darcy-Weisbach식으로 다음과 같다. • 여기서, 는 마찰상수이다. • 개수로 유동에서의 Darcy-Weisbach식은 다음과 같다. • 관의 형상에 따른 국부 수두손실은 다음의 식으로 평가된다.

8. 압력과 마찰력의 평형 관계로부터 다음의 식을 구성할 수 있다. • 마찰력(전단력) = 압력에 의한 힘 = 수두손실(압력손실) • 위의 식을 정리하면 다음과 같다. • 난류에 대한 실험에 의하면 마찰력은 다음과 같다. • 층류에 대한 뉴턴의 제1점성법칙은 다음과 같다. • 따라서, 수두손실은 다음과 같다.

9. Osborne Reynolds는은 유동특성을 규명하기 위하여 다음과 같은 Reynolds 번호를 고안하였다. • : 동점성계수 • 위의 식에서 알수있듯이 관내의 유체거동은 에 따라 결정된다. • 유속과 수두손실과의 관계는 다음 그림과 같다. Figure 3.4 유속과 수두손실

10. 층류Re < 2000 Laminar Flow • 천이영역2000 < Re < 4000 Transition Region • 난류Re > 4000 Turbulent Flow • 층류에 대해서는 다음과 같이 Poiseuille의 식을 사용한다. • 마찰력 -> 압력감소 -> 수두손실 -> 에너지 손실 • 평형개념 : 마찰력-압력감소 -> 관류에서의 유속의 식 • 레이놀즈 번호 : 관성력 / 점성력 -> 층류, 난류, 천이영역

11. 5.3 Derive the equations of the velocity from the head loss equation for the problem 5.2 such as Manning's, Chezy's, and Hagen-William's formula. • 1) Manning's 공식 • for turbulent regions of rough pipes, or for canals. • R = 동수반경 = 윤변/단면적 = perimeter/area • n = 조도계수 = roughness coefficient • : hydraulic radius ( for a circular pipe)

12. 2) Chezy's • 단면적이 일정한 유로를 비압축성유체가 정상, 등속의 난류로 흐를 때 벽에서의 전단응력은 평균속도의 제곱에 비례한다. • (5.6.1) • 여기서 는 무차원계수이다. 개수로와 비원형폐수로에서는 전단응력이 全表面(전표면)에 걸쳐 일정하지가 않다. • 이런 경우에는 로서 벽에서의 평균전단응력을 사용한다. 非圓形流路(비원형유로)에서 나타나는 부차유동(secondary flow)은 壁剪斷應力(벽전단응력)을 균등화시키려는 작용을 한다.

13. 그림 5.15 水路(수로)의 검사체적에 작용하는 축방향 힘

14. 그림 5.15는 개수로 또는 폐수로를 흐르는 정상, 둥속유동을 표시한 그림이다. 개수로에 대해서는 친과 f2가 같다. • 그리고 유동이 일어나는 것은 퍼텐셜에너지의 감소 에 기인한다. 폐수로에서는 유동을 야기 시키는 에너지는 퍼텐셜에너지의 감소 이외에 압력강하 도 있다. • 원관 내에서 연직하향으로 흐르는 경우 압력 는 유동에 따라 증가할 것이다. • 그러나 壁面(벽면) 剪斷應力(전단응력)을 극복하고 유동을 계속할 수 있는 에너지를 하려면 퍼텐설에너지의 감소 가 보다 커야 한다.

15. 손실을 유용에너지의 감소와 결부시켜 에너지방정식인 식 (3.10.1)을 다음과 같이 나타낼 수 있다. • 속도수두 은 동일하므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. • (5.6.2)

16. 등속도유동이라고 가정하였으므로, 방향에 적용한 선형운동량 방정식인 식 (3.11.2)는 • 로 된다. 여기서 P는 水路(수로)의 濕潤長(습윤장)(wetted perimeter)이다. 다시 말해서 유체와 접하고 있는 (자유액체표면을 제외) 벽 둘레 길이이다. • L sin θ = z1 - z2이므로 • (5.6.3) • 이다. 식 (5.6.2), 식 (5.6.3)으로부터 식 (5.6.1)을 사용하면 • (5.6.4)

17. 이 식에서 로 놓았다. R을 유로의 수력반지름(hydraulic radius)이라 한다. R은 문제를 다롤 때 대단히 유용하다.원관의 경우 이다. • 식 (5.6.4)에서 손실항의 단위는 m · N/N또는 ft ·lb/lb이구 마찰에 의한 水頭損失(수두손실)(head loss due to friction)이라는 의미에서 로 표시한다. 水路(수로)의 단위길이 당 유체의 단위중량당의 손실을 S 로 정의하면 • (5.6.5) • 이고, V에 관하여 풀면 • (5.6.6) • 로 된다. 계수 또는 C는 실험에 의하여 결정된다. 이 식이 Chezy의 공식이다. Chezy계수 C는 원천적으로 어느 정도의 치수를 갖는 水路(수로)나 壁面狀態(벽면상태)에 대하여 상수로 간주하였다. • 그러나 현재는 C에 관한 여러 종류의 공식들이 일반적으로 사용된다.

18. 3) Hagen-William's • 천이영역에 대해서는 다음과 같이 Hazen-Williams 공식을 적용한다.

19. 5.4 Explain the concept of Reynold's number and hydraulic radius. • Reynolds수 는 점성력에 대한 관성력의 비이다. • 임계 Reynolds수는 管內流動(관내유동), 경계층유동 또는 유체 속에 잠긴 물체 둘레의 유동이 층류유동이냐 혹은 난류유동 이냐와 같이, 유동형태를 구별하는 판정값이다.

20. 압축성유동에서는 Reynolds수보다 Mach수가 일반적으로 더 중요한 의미를 갖는다. • 층류유동은 유체입자가 층 또는 막 안에서, 한 층이 인접한 층 위를 원활하게 미끄러지도록 운동하는 유동을 말한다. • 그러므로 층류유동에서의 운동량수송은 층과 층 사이에서 분자적 운동량교환만으로 이루어진다. 불안정성, 즉 난류로 전향하려는 경향은 인접층간의 상대운동을 저지하려는 粘性剪斷力(점성전단력)에 의하여 억제된다.

21. 그러나 난류유동은 격렬한 橫斷운동량수송(transverse interchange of momentum)을 가지면서 유체 입자가 매우 산만한 운동을 하는 유동이다. • 유동의 성질, 다시 말해서 층류냐 혹은 난류냐, 그리고 층류화 경향에 미치는 난류의 상대적 중요성을 나타내는 척도는 Reynolds 수에 의하여 정량적으로 표시된다. • 다음을 만족할 때 두 유동은 力學的(역학적) 相似(상사)가 이루어진다고 말한다. • 1. 기하학적으로 相似(상사)하다. 즉 대응 線型次元比(선형차원비)가 일정하다. • 2. 대응하는 유선(流線)들이 기하학적으로 상사(相似)하다. 또는 대응되는 모든 점에서 일정한 壓力比(압력비)를 갖는다.

22. 2개의 기하학적 相似流動(상사유동)을 생각할 때, Reynolds는 유동을 기술하는 일반 미분방정식이 같으면 力學的(역학적) 相似(상사)도 성립한다는 것을 추론하여 냈다. 한 조의 방정식에 포함되어있는 질량, 길이 및 시간의 단위를 바꾸고, 이들 변형된 방정식이 원래의 방정식과 일치되도록 만족하여야 할 조건을 결정하면, 이 양쪽 경우에 대하여 무차원수 가 같은 값을 가져야 한다는 것을 Reynolds는 증명하였다. • 여기서 는 특성속도, 은 특성길이, 는 질량밀도 그리고 는 점성계수이다. 이 무차원수를 Reynolds 수라 R로 쓴다. • (5.1.1)

23. 무차원수의 물리적 의미를 결정하기 위하여 Reynolds는 그림 5.1에 도시한 바와 같이 유리관을 흐르는 물의 유동에 대한 실험을 하였다. • 유리관을 수평으로 설치하고 한 쪽 끝은 물탱크에 연결하고, 다른 쪽 끝에 밸브를 결합하였다. • 관의 上端(상단)에는 매끈한 나팔관을 부착하여 물의 교란을 막았고, 나팔관 前面(전면)의 한 점에서 가느다란 染料線(염료선)이 분사(噴射)되도록 染料噴出口(염료분출구)를 설치하였다. • Reynolds는 특성속도로 평균속도 , 특성길이로서 관의 지름 를 택하여 • 로 하였다. • 유량이 적을 때 염료선은 관속에서 직선을 그리며 흘러 유동이 층류임을 보여준다.

24. 유량이 적을 때 염료선은 관속에서 직선을 그리며 흘러 유동이 층류임을 보여준다. 유량이 증가함에 따라 Reynolds 수는 증가한다. • 왜냐하면 는 상수이다. 는 유량에 비례하여 증가하기 때문이다. 유량이 계속 증가하면 염료의 사선(絲線)이 흔들거리다가 드디어 갑자기 파괴되고 관 전체로 확산되어 버린다. • 이러게 되면 유동은 격렬한 운동량 교환을 일으키면서 난류로 변환되어 질서정연한 층류유동은 완전히 붕괴되어 버린다. 세밀한 실험을 통해 Reynolds는 • 부터 난류가 발생됨을 알아냈다.

25. 그림 5.1 Reynolds 실험장치

26. 그 후 한 연구자가 Reynolds의 실험 장치를 그대로 사용하여 실험 전 여러 날 동안 탱크의 물을 정지 상태로 유지하고, 물이나 실험장치의 진동을 세심하게 배제시키고 실험한 결과 의 값을 얻기도 하였다. • 이들 값들 上臨界(상임계) Reynolds수(Reynolds upper critical number)라 한다. 그러나 통상의 배관은 불규칙하여 훨씬 작은 Reynolds수에서 난류를 발생시키므로 상임계 Reynolds수는 실용적 의미가 없다. • Reynolds는 난류상태로 흐르는 유리관 속의 물의 속도를 점차 줄여가면서 Reynolds수를 계산한 결과 R이 2,000 이하로 되는 속도에서는 항상 층류가 됨을 발견하였다.

27. 이 값을 관 유동에 대한 하임계(下臨界) Reynolds수(Reynolds lower critical number)라 하고, 이 값은 매우 중요한 의미를 갖는다. • 통상의 배관에서 층류유동이 난류로 변하는 Reynolds수는 2,000~4,000의 범위이다. • 그러나 통상층류와 난류를 구분하는 임계값으로서 을 가정한다. • 층류에서 손실은 속도에 비례하지만, 난류에서는 속도의 1.7~2.0 에 비례한다.

28. 오늘날 사용되는 Reynolds 수는 원형단면의 直管(직관)에 대한 Reynolds 수 이외에도 여러 가지가 있다. • 예를 들면, 유체 속에서 운동하는 구(球)에 대해서는 가 사용된다. 여기서 • 는 구(球)의 속도, 는 구(球)의 지름 그리고 와 는 유체밀도와 점성계수이다. • 비압축성유체의 주어진 유동성질은 그의 Reynolds 수의 크기에 의하여 특정지어진다. 이 크다는 것은 분자의 어느 한 항 또는 모든 항이 분모에 비하여 상대적으로 크다는 것이다. • 이것은 유체의 공간이 넓은 경우, 고속(高速)유동의 경우, 밀도가 큰 경우, 점성계수가 극히 작은 경우 또는 이들 경우들이 조합되어 일어나는 경우에 해당한다.

29. 분자는 관성력(inertial force), 다시 말해서 유체의 가속 또는 감속으로 나타나는 힘에 관련한다. • 분모는 점성전단력(粘性剪斷力)의 원인이 되는 항이다. 따라서 Reynolds 수는 점성력에 대한 관성력의 비로 생각할 수 있다. 큰 Reynolds 수는 손실이 속도의 제곱에 비례하는 격렬한 난류를 의미한다. • 난류는 점성작용에 의하여 기계적 에너지를 비가역량으로 급격히 전환시키는 극히 많은 작은 와(渦)로 구성된 미세규모(fine scale)일 수도 있고 거대한 와동(渦動)이나 강(江)에서의 소용돌이, 대기 중에서의 돌풍과 같이 큰 규모(large scale)일 수도 있다. • 큰 와동은 보다 작은 와동들을 유발하고, 차례로 미세규모의 난류를 생성해낸다. 난류유동은 매끈한 유동, 경우에 따라서는 등속도 유동에 부차유동(副次流動)을 중첩시킨 유동으로 생각할 수 있다. • 미세규모의 난류운동은 고진동수(高振動數)를 갖는 속도의 작은 변동을 갖는다.

30. 이 변동량의 제곱평균제곱근과 변동의 부호가 바뀌는 주파수는 난류의 정도를 나타내는 정량적인 척도이다. 일반적으로 난류의 세기는 Reynolds 수가 증가함에 따라 커진다. • 중간정도의 값에서는 점성과 관성의 영향이 모두 중요하다. 그리고 점성계수가 변하면 속도분포와 유동저항도 변한다. • 같은 값의 에 대하여 기하학적으로 상사(相似)한 閉流路系(폐유로계)는(예컨대 상사비가 1대 2인 경우) 속도수두에 대한 손실비가 같다. • Reynolds 수는 한 유체에 대한 실험결과를 가지고 다른 종류의 유체가 흐르는 相似(상사)한 유동에 대하여 특성을 예측할 수 있는 수단이 된다. • hydraulic radius: 흐르는 물의 단면을, 물길 옆으로 스며든 물의 길이로 나눈 값. 유로의 수력반지름(hydraulic radius)이라 한다. 문제를 다롤 때 대단히 유용하다.원관의 경우 이다.

31. 5.5 Explain the computational algorithm of the pipe network using the concept as shown in the section of 4.3-4.5 in the Brebbia's textbook. • 요소 해석 • 상수관망내의 모든 요소와 절점이 정의되면, 각 요소에 대하여 수두손실과 유량과의 관계를 정의하여야 한다. 다음의 I 요소에 대한 관경 D, 조도계수 C, 길이 L을 나타내었다. 각 요소별 절점의 연결도와 유량의 정의

32. 여기서, k, j는 절점번호, i는 요소번호를 나타낸다. i 요소로 연결되는 각 절점 k, j의 수두차이는 , 요소내 유량은 • 이다. • 수두손실로부터 유량을 평가하기 위하여 층류에 대한 Poiseuille의 공식을 사용하면 다음과 같다(마찰력과 압력). • 여기서, 계수는 유체와 요소 의 특성에 따라 결정된다. 위의 식은 선형방정식으로 간단하지만 정확하지는 않다.

33. 천이영역 및 난류에 대해 Hazen-Williams 공식을 사용하면 다음과 같다 (비선형 문제). • : 비선형 • 위의 식의 계수는 에 따라 결정되므로 비선형식이다. • 요소행렬식(각 관의 절점별 유량과 수두와의 관계) • 절점의 유량은 다음의 식과 같이 자기중심적으로 평가된다.

34. 확산, 지하수 유동의 개념도 마찬가지이다. • 위의 식을 수두차이로 표시하기 위하여, 절점별 유량은 다음과 같이 절점에서 요소로 유입되는 경우에는 “+”, 요소에서 절점으로 유출되는 경우에는 “-”부호를 가진다(요소 중심적인 관점). • 위의 식을 수두차이 에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다.

35. 행렬과 벸터로 표시하면 다음과 같다. • 여기서, 는 요소내 절점별 유속 벸터, 는 요소별 특성 행렬, 는 요소별 절점 수두 벸터이다.

36. 전체 시스템 방정식 • 관망 해석은 전체 절점에 대한 유량 및 수두를 계산하는 것이 주 알고리즘이다. 따라서, 전체 절점에 대하여 각 요소별 행렬식을 합해 주어야 한다. • 이때, 각 절점별로 연속방정식 즉, 유량의 물질수지가 유지되어야 한다. • 따라서, 관망해석은 각 관로(요소)별로 에너지손실과 흐름을 해석하고(왜냐하면 관로 내부에서는 실제 흐름에 의해 마찰이 발생하고, 이러한 마찰과 흐름의 관계를 평형 상태에 도달했다고 가정), 전체 절점에 대한 물질수지를 고려하는 것(여러 관로에서 유입되는 유량이 평형상태에 도달함)이라 할 수 있다.

37. 이러한 관로의 유동 해석은 상수, 하수, 기타 가스유동도 마찬가지이다. • 각 절점의 물질수질를 고려한 각 절점별 연속방정식은 다음과 같다. • 여기서, 는 j 절점에서의 소비나 공급유량이다.

38. 다음과 같은 상수관망을 고려하여 위의 알고리즘을 나타내보자. 각 절점별 연속방정식을 평가하면 전체 시스템 방정식을 구성할 수 있다.

39. 각 절점에 대한 연속방정식을 평가하기 위하여 5 절점에 대한 연속방정식은 다음과 같다. • 위식의 유량을 평가하기 위하여 5 절점에 연결된 요소를 다음과 같이 살펴보자.

40. 각 요소의 유량은 다음과 같이 수두차이에 의해 결정된다. • 따라서, 5 절점으로 유입되거나, 유출되는 유량은 다음과 같다. • 위의 3개의 식을 합하면 다음과 같다. • 위의 과정이 5 절점에 대한 각 요소별 절점 유량을 합해주는 과정으로 전체 절점에 대한 합산 과정은 전체 절점에 대하여 연결된 요소의 절점의 유량을 합쳐주는 과정을 의미한다.

41. 관망이외에 일반적인 유한요소법의 수치해석 방법에 있어서, 전체 절점에 대한 행렬식을 구성하기 위해서는 각 요소별 절점에 대한 식을 합쳐주어야 한다. • 일반적으로, 전체 요소를 결합하기 위하여 다음과 같은 체계적으로 합치는 방법을 제시하였다. • 유한요소법과 마찬가지로 각 요소별 절점의 연결도표를 작성한다.

42. (ii) 양의 유량은 시작절점에서 최종절점으로 흐른다. • (iii) 각 요소에 대하여 계수를 계산한다. • (iv) 해당되는 절점에 알맞게 합쳐주기 위하여 각 요소의 절점의 연결도를 고려하여 전체 요소를 합쳐준다.

43. 다음에 각 요소행렬이 합쳐지는 예를 나타내었다.(전체 절점에 대한 합산과정은 각 요소에 대해서 계산해주고 합쳐주는 과정이다. 즉, 전체 요소에 대한 요소행렬식을 평가하여 합쳐주면 계산이 완료됨.) • 위의 요소행렬을 더하는 방법은 i 요소내 k, j 절점의 경우 다음과 같이 일반화할 수 있다. • - (k,k)와 (j,j) 위치에 계수를 더해준다. • - (k,j)와 (j,k) 위치에 계수를 더해준다.

44. 위의 과정을 Fortran으로 프로그램밍하면 다음과 같다. • c • c... initialize global matrix ... • c npmax : total number of nodes = 6 • c glob : global matrix after assembling • c • do i=1,npmax • do j=1,npmax • glob(i,j) = 0 • enddo • enddo • c • c... assemble each element matrix for overall element ... • c nelmax : total nuber of elements : 9 • c • do nel=1, nelmax • c • c... read information about element connectivity ... • c nodemax : total number of node in each elment : 2 c element1st node2nd node112213 c read(nodeele(nel,ie), ie=1, nodemax) c... c... compute each element of element matrix at each node ... c ig : global nodal number of ieth node in element nel c jg : global nodal number of jeth node in element nel c do ie=1, nodemax do je=1, nodemax ig=nodeele(nel,ie) jg=nodeele(nel,je) c c... compute each element in k matrix ... c ek= rk(nel)*(-1)**(ie+je) c c... assemble each element in k matrix ... c glob(ig,jg) = glob(ig,jg)+ek c enddo enddo enddo 합쳐진 최종방정식은 다음과 같이 행렬과 벸터를 이용하여 간단히 나타낼 수 있다. 여기서, 는 관망의 특성 행렬, 는 관망의 수두 벸터, 는 관망 소비 벸터이다.

45. 5.6 Determine the discharge through the system as shown below by using the concept of the equivalent pipe where, =0.5, =300m, =600mm, = 2mm, =240 m, =1m, =0.3mm, , and H=6m.

46. 에너지방정식으로부터 • 정리하면 • 의 값과 그림 5.21로부터 의 값을 완전난류 범위에 대해서 가정하면, • 이 값들로 을 구함으로써 • 그림 5.21에서 에 대해 다시 풀면 그리고 이다.

47. 5.7 Determine flow through each pipe and the pressure at B as shown below for a total flow of 12 cfs. Where, =3000ft, =1ft, =0.00 ft; =2000ft, =8in, =0.0001ft; =4000ft, =16in, =0.0008ft; =2.00 slugs/ , =0.00003 /s, =8psi, =100ft, =80ft.

48. 유동이 파이프들 사이로 나뉘어졌다가 다시 합쳐지도록, 2개 또는 그 이상의 파이프로 연결된 것을 병렬파이프(parallel-pipe)시스템이라 한다. • 직렬파이프 시스템에서는 같은 유체유동이 모든 파이프를 통과하면서 수두손실이 합산되나, 병렬파이프 시스템에서의 수두손실은 어느 파이프에서나 같으며 유량이 합산된다. • 병렬파이프 시스템을 해석하기 위해서, 국부손실은 등가길이로서 각 파이프의 길이에 더해진다고 가정한다.

49. 그림 11.9로부터 만족되어야 하는 조건은 • (11.5.1) • 이다. 여기서 , 는 점 와 의 높이이고, 는 진입파이프나 출구파이프를 통과하는 송출량이다. • 이때 두 가지 유형의 문제가 발생한다. • (1) 와 에서 수력구배선의 높이를 알고 유량 를 구하는 문제. • (2) 를 알고 수두손실과 유동의 분포량을 구하는 문제, 파이프의 크기, 유체의 성질 및 조도는 알려져 있다고 가정한다.

50. 첫 번째 유형은, 수두손실이 수력구배선의 강하에 해당하기 때문에 유량에 대한 단순한 파이프문제의 해가 된다. • 이 유량들을 더하면 총 유량이 된다. • 두 번째 유형의 문제는 어느 한 파이프의 수두손실 뿐 아니라 유량도 알려져 있지 않기 때문에 더 복잡하다.