Quelques exercices d’identification de types de symétries

1. Quelques exercices d’identification de types de symétries Basés sur des dessins et gravures de Escher et de Jetta

2. Procédure • Pour chacun des dessins examinés, nous suivons l’ordre des vérifications à faire pour s’assurer du type de symétrie du pavage. • Ensuite, nous mentionnons le type du pavage, dans la nomenclature des cristallographes. • Si des fausses pistes se présentent, nous les signalons.

3. Anges et démons • 2 directions de miroirs (H et V) • Centres de rotation d’ordre 4 au point de convergence de 4 anges et 4 démons • Ces points ne sont pas sur les axes • Type pm4

4. Arachnides • 3 directions de miroirs • Rotations d’ordre 3 autour des points de convergence des queues et de ceux des « coudes » • Ces centres sont sur les axes de symétrie • Type p3m

5. Colombes • Aucun miroir (toutes les colombes sont vues par le flanc droit) • Pour la même raison, pas de symétrie glissée • Rotations d’ordre 2 (centres antre 2 ailes ou 2 ventres) • Type p2 • ! Il peut y avoir des symétries glissées sans miroir, mais si tous les motifs sont dans le même sens on peut éliminer les deux d’un coup

6. Crabes • Une seule direction de miroirs (verticale) • Rotations d’ordre 2 (centres entre les yeux de 2 crabes de même couleur) • Accessoirement, symétries glissées horizontales • Type p2g

7. Fleurs • Deux directions de miroirs (voir lignes vertes) • Cantres de rotation d’ordre 4 (croisement d’une ligne bleue et d’une rouge) • Type pm4 • ! Chaque fleur est une rosace Rm5, mais ses rotations ne s’étendent pas à tout le pavage

8. Personnages accroupis • Deux directions de miroirs (H et V) • Centres de rotation d’ordre 4 situés hors des axes • Type pm4 • Encore ? Ben oui, Escher est un original qui a trouvé drôle de traiter en parti-culier de ce cas bizarre

9. Premier croquis de Jetta • Les trois directions des bords de triangles, et les trois directions de médianes, portent des miroirs • Rotations d’ordre 6 autour des rond-points • Type p6m

10. Deuxième croquis de Jetta • 4 directions de miroirs (H, V et les bissectrices) • Centres de rotation d’ordre 4 (centre des carrés gris, et des rosaces) à l’intersection des axes • Type p4m • Les rosaces sont de type R8m, mais leurs 8 rotations ne conservent pas le dessin tout entier

11. Oui, mais ... • Avez-vous remarqué que les rosaces ne sont pas toutes identiques ? • Si l’on tient compte de leurs différences, les axes de symétrie sont plus espacés (l’axe bleu est toujours valable, l’axe rouge pas) • … mais c’est toujours un p4m

12. Lézards gauches • Les lézards sont tous orientés de la même manière (ils « regardent à gauche ») ; donc ni miroirs ni sym glissées • Centres de rotation d’ordre 4 (point de rencontre des « bras droits ») • Type p4

13. Lions bas • Tous les lions ont « la tête à gauche », donc ni miroirs ni sym glissées • Centres de rotation d’ordre 2 (entre les 3es pates, et entre les crinières) • Type p2(et non p2g comme dit en classe)

14. Lions perses • Cette fois, il y a des lions « droits » et « gauches » • Cependant, il n ’y a aucun miroir ; il y a donc forcément des symétries glissées • Centres de rotation d’ordre 2 à la jonction des pattes • Type p2g

15. Lutins • Tous les lutins montrent leur profil droit ; pas de miroirs ni de symétries glissées • Centres de rotation d’ordre 3 sur le front • Type p3

16. Papillons • Pas de miroirs (les papillons sont à peu près symétriques, mais cette symétrie ne se propage pas à tout le dessin) • Centres de rotation d’ordre 6 au bout des ailes gauches • Type p6m • Il y a aussi des centres de rotation d’ordres 3 et 2 ; mais on ne considère jamais que l’ordre le plus élevé

17. Poux • Une seule direction de miroirs • Symétries glissées dans la direction perpendiculaire aux miroirs • Centres de rotation entre les 1es pattes, et entre les 3es pattes • Type p2g

18. Raies • Aucun miroir (les poissons jaunes sont symétriques, tout au moins leur forme extérieure, mais cette symétrie n’est pas globale) • Centres de rotation d’ordre 2 entre les nageoires latérales vertes, ainsi qu ’entre les jaunes) • Symétries glissées H et V • Type pg2

19. Et pour continuer ... D’excellentes sources d’exercices sont disponibles autour de vous : • Carrelages et pavages (au sens propre) • Papiers peints • Arrangements floraux • … Bonne chasse !