Wielokąty wpisane i opisane na okręgu

1. Wielokąty wpisane i opisane na okręgu

2. Wielokąt wpisany w okrąg To taki wielokąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu. Ten wielokąt nie jest wpisany w okrąg, ponieważ jeden z jego wierzchołków nie leży na okręgu. Jeśli figura jest wpisana w okrąg, to okrąg jest opisany na tej figurze.

3. Środek okręgu w wielokącie wpisanym w ten okrąg jest równo oddalony od wierzchołków tego wielokąta. Aby skonstruować wielokąt wpisany w okrąg należy wyznaczyć co najmniej dwie symetralne boków tego wielokąta, a miejsce przecięcia się tych symetralnych wyznaczy środek okręgu. Symetralne boków trójkąta przecinają się zawsze w tym samym miejscu, z czego wynika, że na każdym trójkącie można opisać okrąg.

4. Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie W ten sam sposób przebiega konstrukcja każdego innego wielokąta wpisanego w okrąg. Jeśli jednak nie jesteśmy pewni czy taką konstrukcję można wykonać, należy narysować symetralne wszystkich boków wielokąta. Jeśli przetną się one w jednym punkcie, możemy rysować okrąg.

5. Położenie środka okręgu względem wpisanego trójkąta W trójkącie rozwartokątny środek okręgu znajduje się poza trójkątem. W trójkącie prostokątnym środek okręgu leży na środku przeciwprostokątnej W trójkącie ostrokątnym środek okręgu znajduje się wewnątrz okręgu.

6. Sześciokąt foremny Aby skonstruować sześciokąt foremny należy wyznaczyć promień okręgu, w który ten sześciokąt ma być wpisany. Następnie cyrklem odmierzamy na okręgu odcinki równe promieniowi tego okręgu. Łuki łączymy otrzymując sześciokąt foremny.

7. Ośmiokąt foremny

8. Wielokąt opisany na okręgu To taki wielokąt, którego wszystkie boki są stycznymi do okręgu. Ten wielokąt nie jest opisany na okręgu, ponieważ jeden z jego boków nie jest styczny do okręgu. Jeśli figura jest opisana na okręgu , to okrąg jest wpisany w figurę.

9. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych wszystkich kątów tego trójkąta. Zatem środek okręgu jest jednakowo oddalony od wszystkich jego boków.

10. Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt W ten sam sposób przebiega konstrukcja każdego innego wielokąta opisanego na okręgu. Jeśli jednak nie jesteśmy pewni czy taką konstrukcję można wykonać, należy narysować dwusieczne wszystkich kątów wielokąta. Jeśli przetną się one w jednym punkcie, możemy rysować okrąg.

11. Wielokąty Foremne Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg.

12. WZORY IWŁASNOŚCI

13. h = a√3 2 D = a√2 R = d 2 r = R = a√2 2 r = a√3 6 r = a 2 r = 1 3 h R = R = 2 3 R = a√3 3 h

14. r = h a r = a√3 2 R = a Jeżeli r jest promieniem okręgu wpisanego w sześciokąt foremny, a R jest promieniem okręgu na nim opisanego to zachodzi zależność r = R√3 lub odwrotnie R = 2r√3 2 3

15. Suma miar przeciwległych kątów wielokąta wypukłego wpisanego w okrąg są równe. Każda z nich wynosi 180°. α + γ = δ + β = 180° Suma długości przeciwległych boków czworokąta wypukłego opisanego na okręgu są równe. a + c = b + d

16. Zadania

17. Które z tych okręgów są wpisane, a które opisane na wielokącie? Okrąg wpisany w wielokąt Okrąg wpisany w wielokąt Okrąg opisany na wielokącie Okrąg opisany na wielokącie

18. Podaj długość promienia okręgu: • a) wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości 18 cm, • b) opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości 18 cm.

19. Dane: Szukane: a = 18 cm r = ? r = a√3 R = ? 6 R = a√3 3 Rozwiązanie: a) r = = 3√3 b) R = = 6√3

20. Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się wewnątrz trójkąta. Jaki to trójkąt? To trójkąt ostrokątny.

21. W trapez równoramienny o kątach ostrych mających miary 60° i 30° oraz krótszej podstawie o długości 5 cm, wpisano okrąg o promieniu równym 3 cm. Oblicz pole i obwód tego trapezu.

22. r = 3 cm h = 2r h = 6 cm h =|AE|√3 |AD|= 2|AE| |DC|= 5 cm Rozwiązanie: 6 cm =|AE|√3 |AE|= = 2√3 |AD|= 2√3 * 2 = 4√3 |AB|= 4√3 + 5 cm Obw. = 4√3 cm + 5 cm + 5cm + + 4√3 cm + 4√3 cm = = 10cm + 12√3cm P = P = (10 cm + 4√3 cm) * 3 cm P = 30 cm2 + 12√3 cm2

23. źródła • http://planimetria.tangens.pl/42,Wielok%C4%85t_wpisany_i_opisany_na_okr%C4%99gu.html • http://www.matematykam.pl/okrag_wpisany_i_opisany_na_figurach.html • https://www.megamatma.pl/res/upload/RYSUNKI_DOBRE/WZORY/tablice_calosc/74_4.gif • http://edudu.pl/sciaga-okrag-wpisany-w-trojkat,d81f348082ff6c4b2076 • http://www.slawni-matematycy.cba.pl/g.html • http://www.megamatma.pl/uczniowie/gimnazjum/figury-plaskie/okrag-opisany-na-trojkacie-konstrukcja • http://matematyka.opracowania.pl/gimnazjum/okr%C4%85g_opisany_i_wpisany_w_tr%C3%B3jk%C4%85t_r%C3%B3wnoboczny/ • http://www.matematykam.pl/okrag_wpisany_i_opisany_na_figurach.html • http://portalmatematyczny.pl/wielokaty-i-okregi • http://www.mariamalycha.pl/NaPlusy/okregi.pdf • http://www.zaradni.pl/nauka-i-edukacja/jak-skonstruowac-szesciokat-foremny/1,3639

24. Koniec Wykonały: Natalia Czerwińska Anna Światłoń