§ 6.6 定积分的应用

1. § 6.6 定积分的应用 定积分的应用极其广泛, 以下仅介绍它在几何与经济上的应用; 并希望同学们通过本章的学习能熟练地的运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法—— 微元法. (元素法) 一.微元法的基本思想 如图:曲边梯形AabB的面积为 定积分 y y=ƒ(x) B 而这个积分的被积 A C 表达式ƒ(x)dx, 正好是区间[a , b]上 的任意小区间[ x, x + ∆x] 上的窄曲边 梯形 D H E F o x a x b x+Δx DEFH面积ΔS的近似值, 而

2. y ΔS=ƒ(x)dx+o(dx). y=ƒ(x) B 当∆x = dx→0时, A C D H 根据微分的定义有ƒ(x)dx= dS.即 E F o x a x b x+Δx 求曲边梯形AabB的面积S 的方法为: (1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 S的微分dS = ƒ(x)dx; (面积微元) (2) 以微分表达式ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积微元进行求和累加) 即可。

3. 抛开 S的具体含义，把这种思想加以抽象, 就得到 微元法思想的表述: 若总量与变量x的变化区间[a, b]有关, 且对区间具有 可加性 (即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之和); 在区间[x, x+ dx] 上对应分量的近似值 为ƒ(x)dx, 则有dA=ƒ(x)dx且总量为 数学上将这种思想方法称之为微元法. 总量A的微 分dA=ƒ(x)dx, 称为总量A的积分微元.

4. y 二.平面图形的面积 y=ƒ(x) 求平面图形面积的步骤: y=g(x) o (1) 选取积分变量x a x x+dx x b (过点x作垂直于 x 轴的直线穿区域D, 是一进一出) 或y (过点y 作垂直于y轴的直线穿区域D, 是一进一出) 及积分区间. y d (2) 写出面积微元dS y+dy (3) 作定积分 y x=φ(y) x=ψ(y) o c x 注:在选择积分变量时, 还要考虑图形特征.

5. 1. 若平面图形D 被夹在直线x = a与x = b之间, 且其 上下边界的方程分别为y = ƒ(x)和y = g(x) 则图形的面积为 y y=ƒ(x) 分析:对任意的x∈[a , b], 作垂直于x轴的直线穿区域D, y=g(x) o a x x+dx x b 是从 g(x) 进, 从ƒ(x)出; 则以dx为底, ƒ(x) – g(x)为高的小窄矩形面积微元 dS = [ƒ(x)–g(x)]dx

6. 例 24计算由两条抛物线: 所围成图形的面积。 为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形。 解 为了定出图形的所在范围, 应先求出这两条抛物线的交点，为此, y (1,1) 解方程组 x x+dx o 1 x 即这两条抛物线的交点为(0, 0) 及(1, 1)。 从而知道这图形在直线x = 0 及x = 1 之间。 取x为积分变量, 且x ∈[0,1], 微元为 则

7. 2. 若平面图形 D 被夹在直线y = c与 y = d之间，且其左右边界的方程分别为x =φ (y) 及x =ψ (y), 则图形的面积为 y d 分析: 对任意的y∈[c, d], y+dy 作垂直于y 轴的直线穿区域D, y x=φ(y) o x 是从ψ(y)进,从φ(y)出; x=ψ(y) c 则以dy为底,φ(y)–ψ(y)为高的小窄矩形面积微元 ds = [φ(y)–ψ(y)] dy

8. 例 25计算由抛物线与直线y = x - 4 所围成图 形的面积。 为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形。 解 为了定出图形的所在范围, 应先求出抛物线和直线的交点，为此, y (8,4) y+dy y (2,– 2) x o 解方程组 y=x–4 x=y+4 – 4 即这两条抛物线的交点为(2, -2) 及(8, 4)。 从而知道这图形在直线y = -2 及y = 4 之间。 取y为积分变量,且y ∈[-2, 4], 微元为

9. 则 思考:若选x 为积分变量，应该如何做? 请同学们课后 自己作一下. y (8,4) x o 4 8 (2,– 2) – 4

10. 例26设曲线x 轴与y 轴在第一象限所围的图形 被曲线 分为面积相等的两部分，试确定的值。 解 如图， 解方程组 而 再由 得

11. 二. 立体的体积 以下只讨论两种特殊立体的体积. 1.平行截面面积已知的立体的体积 设某立体被夹在过x轴上 的点 x= a 与x= b 并垂直于 x轴的两平面之间, 对应 y S(x) 于[a,b]上的任意点x处， o a x x b 垂直于 x 轴的截面面积 S(x) 是 x的连续函数, 下面用 微元法来求它的体积.

12. 在[a, b]上任取一个小区间[x, x+dx], 得一薄片的体积 dV = S(x)dx 微元(近似值)为 y S(x) o a x+dx x x b 在[a, b]上作定积分得

13. 类似地，若立体被夹在过y轴上的点y = c 与 y = d并 垂直于 y轴的两平面之间, 在[c, d]上的任意点 y处垂直于 y轴的截面面积 S(y) 是y的连续函数, 则立体的体积为

14. 例27 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与 底面交成角α,计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 解 建立如图所示的坐标系, 从而底面圆的方程为 – R S(x) 设x为[–R,R]上之任意一点, α y o 过该点且垂直 x 轴的截面 α x y 面积为S(x),则由三角形的面积公式, 有 R x 则

15. 2.旋转体的体积 y 旋转体就是由一个平面图形 绕这平面内一条直线旋转一周而 成的立体. 这直线叫做旋转轴. y=ƒ(x) o a x b 圆柱、圆锥、圆台、球体 都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形 绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的 直径旋转一周而成的立体, 所以它们都是旋转体。 上述旋转体都可以看作是由连续曲线y =ƒ(x) 、 直线 x = a、 直线x = b及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴

16. 旋转一周而成的立体. 下面用微元法来求它的体积. y y y=ƒ(x) y=ƒ(x) x+dx o a x x b x+dx x o a x b 在[a, b]上任取一个小区间[x, x + dx], 则此小区间上的 的体积微元(近似 窄曲边梯形绕 x轴旋转而成的薄片 近似值)为 在[a, b]上作定积分得

17. 注1若此图形绕 y轴旋转一周,对应的薄片体积微元为 y y=ƒ(x) b x+dx x o x a 则所得的旋转体的体积为

18. 类似地, 由曲线 x =φ(y) 、 直线 y = c 、 = d(c<d)与 y轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的 体积为 y d y+dy y o x=φ(y) x c

19. 注2一般地, 由连续曲线 y =ƒ(x) 、 y =g(x)和直线 x = a、x = b所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积为 y y=ƒ(x) y=g(x) x+dx x o a x b

20. 由前第17张幻灯片知： y y=ƒ(x) b x+dx x o x a 则平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为 y y=ƒ(x) y=g(x) o a x x+dx x b

21. 类似地，由曲线x =φ(y), x=ψ(y)(φ(y) ≤ψ(y)) 及 直线y = c, y = d(c<d) 与y轴所围成的曲边梯形, 绕 y轴旋 转一周而成的旋转体的体积为 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为

22. 例28求曲线 和 y = 0所围成的图形分别绕 x 轴及 y 轴旋转所得旋转体的体积. 解 为了确定积分区间, 应先求 两曲线之交点. y (1,1) 解方程组 x o x (2,0) 则绕x轴旋转的体积微元为 在[0, 2]上作定积分得

23. y (1,1) o 1 x (2,0) 则绕y轴旋转的体积微元为 故

24. 四.经济应用 在经济问题中, 经常都要涉及到各种经济量的总量.这些总量, 在一定条件下, 也可用定积分来进行计算. 下面介绍两个常用问题: 1.已知边际(变化率), 求总量. 若总量P(t)在某区间I上可导, 且[a, x]∈I, 则有 注1在上式中,当x为产量且a = 0时,只要将P(x)代之以总 成本C(x)、总收益R(x)、总利润L(x),则有

25. 注2当x从a变到b时, P(x)的改变量即为

26. 例29设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量例29设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量 x(单位: 百台)的函数 总收入R(单位:万元)的 边际收入 是产量 x的函数 (1)求产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各 增加多少? (2)已知固定成本C(0)=1万元.分别求出总成本、总收益、 总利润与产量 x的函数关系式; (3)产量为多少时, 总利润最大; 并求此时的最大总利润, 总成本及总收益各为多少?

27. 解 (1)由注2知产量由1百台增加到5百台时总成本与总 收入分别为 (2)因总成本是固定成本与可变成本的和, 则总成本 函数为 总收益为 则总利润函数为L(x) = R(x) - C(x) =

28. 注3:第一问可这样求解 ΔC=C(5)–C(1). 得驻点x = 4 故当产量x = 4(百台)时, 有最大利润L(4) = 9(万元). 此时的总成本为 C(4) =19 (万元) R(4) = 28 (万元). 及总收入为 2.已知净投资函数(流量), 求总资本量.

29. 由于资本形成的过程就是资本总量增加的过程, 而资 本总量又是随时间的变化而变化的, 所以资本总量是时间 t 的函数, 即 K = K(t), 称之为资本函数. 当资本函数 K = K(t)可导时, 总资本形成率为 由经济学知资本总量的新增部分就是净投资. 因而净 投资I=I(t)是一个关于t的连续函数, 从而投资者在时刻t处 的净投资I(t)即为总资本在时刻t处的瞬时增量. 而由第三章导数定义的引入知: “一个量在某点的瞬时 增量实质上就是这个量在该点的充分小邻域内的平均改变 量的极限(导数), 即

30. 此式两边从 0 到 t 作定积分, 有 此公式的经济意义: 任意时刻t的总资本量 K(t) 等于区间[0, t ]内的新增资本 与初始时刻 t = 0 时的资本（即初始资本)K(0)之和. 这三量的直观意义如下图:

31. ﹜ I K I=I(t) K=K(t) o t t K(0) o t t 显然在时间间隔[a, b]上, 总资本的追加部分(即 [a, b]上的净投资量)为

32. 例30设净投资函数 (百万元/年)且当 t = 0 时 资本总量为100(百万元), 试求: (1) 资本函数K(t)的表达式; (2) 第9年末的资本总量; (3) 从第4年末到第9年末这段时间间隔内总资本的追 加部分的数量. 解